2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(三十四)　数列的综合应用

2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(三十四)　数列的综合应用

课时跟踪检测(三十四)　数列的综合应用 ‎(分A、B卷，共2页)‎ A卷：夯基保分 ‎1．(2015·云南检测)在数列{an}中，a1＝1，数列{an＋1－3an}是首项为9，公比为3的等比数列．‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn.‎ ‎2．(2015·合肥质检)已知函数f(x)＝x＋(x＞0)，以点(n，f(n))为切点作函数图象的切线ln(n∈N*)，直线x＝n＋1与函数y＝f(x)图象及切线ln分别相交于An，Bn，记an＝|AnBn|.‎ ‎(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn＜1.‎ ‎3．已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn＞kan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．‎ B卷：增分提能 ‎1．(2015·湖南耒阳二中月考)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．‎ ‎(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；‎ ‎(2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．‎ ‎2.已知点A(1,0)，B(0,1)和互不相同的点P1，P2，P3，…，Pn，…，满足＝an＋bn (n∈N*)，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点．‎ ‎(1)求a1，b1的值；‎ ‎(2)点P1，P2，P3，…，Pn，…能否在同一条直线上？请证明你的结论．‎ 答案 A卷：夯基保分 ‎1．解：(1)∵数列{an＋1－3an}是首项为9，公比为3的等比数列，‎ ‎∴an＋1－3an＝9×3n－1＝3n＋1，‎ ‎∴a2－‎3a1＝9，a3－‎3a2＝27，‎ ‎∴a2＝12，a3＝63.‎ ‎(2)∵an＋1－3an＝3n＋1，∴－＝1，‎ ‎∴数列是首项为，公差为1的等差数列，‎ ‎∴数列的前n项和Sn＝＋＝.‎ ‎2．解：(1)对f(x)＝x＋(x＞0)求导，得f′(x)＝1－，‎ 则切线ln的方程为：y－＝(x－n)，‎ 即y＝x＋.‎ 易知An，Bn，‎ 由an＝|AnBn|知an＝＝.‎ ‎(2)证明：∵nan＝＝－，‎ ‎∴Sn＝a1＋‎2a2＋…＋nan＝1－＋－＋…＋－＝1－＜1.‎ ‎3．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，∴a2＋a1＝9，‎ a3＋a2＝18，‎ ‎∴q＝＝＝2，‎ ‎∴‎2a1＋a1＝9，∴a1＝3.‎ ‎∴an＝3·2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝＝＝3(2n－1)，‎ ‎∴不等式3(2n－1)＞k·3·2n－1－2，‎ 即k＜2－对一切n∈N*恒成立．‎ 令f(n)＝2－，则f(n)随n的增大而增大，‎ ‎∴f(n)min＝f(1)＝2－＝，∴k＜.‎ ‎∴实数k的取值范围为.‎ B卷：增分提能 ‎1．解：(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量．‎ 依题意，得{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，{bn ‎}是首项为400，公差为a的等差数列．‎ 所以{an}的前n项和 Sn＝＝256，‎ ‎{bn}的前n项和Tn＝400n＋a.‎ 所以经过n年，该市被更换的公交车总数为 S(n)＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a.‎ ‎(2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10 000，‎ 所以256＋400×7＋a≥10 000，‎ 即‎21a≥3 082，所以a≥146.‎ 又a∈N*，所以a的最小值为147.‎ ‎2．解：(1)P1是线段AB的中点⇒＝＋，‎ 又＝a1＋b1，且，不共线，‎ 由平面向量基本定理，知a1＝b1＝.‎ ‎(2)由＝an＋bn (n∈N*)⇒＝(an，bn)，‎ 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 则由于P1，P2，P3，…，Pn，…互不相同，‎ 所以d＝0，q＝1不会同时成立．‎ 若d＝0，q≠1，则an＝a1＝(n∈N*)‎ ‎⇒P1，P2，P3，…，Pn，…都在直线x＝上；‎ 若q＝1，d≠0，则bn＝为常数列 ‎⇒P1，P2，P3，…，Pn，…都在直线y＝上；‎ 若d≠0且q≠1，P1，P2，P3，…，Pn，…在同一条直线上⇔＝(an－an－1，bn－bn－1)与＝(an＋1－an，bn＋1－bn)始终共线(n≥2，n∈N*)‎ ‎⇔(an－an－1)(bn＋1－bn)－(an＋1－an)(bn－bn－1)＝0‎ ‎⇔d(bn＋1－bn)－d(bn－bn－1)＝0‎ ‎⇔bn＋1－bn＝bn－bn－1‎ ‎⇔q＝1，这与q≠1矛盾，‎ 所以当d≠0且q≠1时，P1，P2，P3，…，Pn，…不可能在同一条直线上．‎