2018-2019学年江苏省苏州陆慕高级中学等三校高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2018-2019学年江苏省苏州陆慕高级中学等三校高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

江苏省苏州陆慕高级中学等三校2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题（理科）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1. 已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是 ▲ . ‎ ‎2. 的展开式中常数项为 ▲ .‎ ‎3. 用反证法证明命题：“如果，可被整除，那么中至少有一个能被整除”时，假设的内容应为 ▲ . ‎ ‎4. 利用数学归纳法证明“ ”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ▲ . ‎ ‎5. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设，且，求证：” 索的因应是 ▲ . ‎ ①；②；③；④.‎ ‎6. 若，则 ▲ . ‎ ‎7. 现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 ‎ ▲ 种不同的选派方案.（用数字作答）‎ ‎8. 观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想第2019个式子是 ▲ . ‎ ‎9. 平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，，‎ 且,则等于 ▲ . ‎ ‎10. 设复数（为虚数单位），则 ▲ . ‎ ‎11. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有5种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是 ▲ .‎ ‎12．若多项式则 ▲ . ‎ ‎13．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为. 类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ . ‎ ‎14. 观察下列等式：‎ ‎①cos 2α＝2cos2α－1；‎ ‎②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；‎ ‎③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；‎ ‎④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；‎ ‎⑤cos 10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.‎ 可以推测，m－n＋p＝ ▲ . ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分14分）已知是虚数，是实数．‎ ‎（1）求为何值时，有最小值，并求出|的最小值；‎ ‎（2）设，求证：为纯虚数．‎ ‎16. （本小题满分14分）从中任取2个数，从中任取2个数，‎ ‎（1）能组成多少个没有重复数字的四位数？‎ ‎（2）若将（1）中所有个位是的四位数从小到大排成一列，则第个数是多少？‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ 已知函数，其中．‎ 证明：（1）在区间上为单调增函数；‎ ‎（2）方程无负实数根．‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992.求的展开式中：‎ ‎（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 如图，平行四边形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，且，为 中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成的角；‎ ‎（2）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 已知为正整数，‎ ‎（1）证明：当时，；‎ ‎（2）对于，已知求证:；‎ ‎（3）求出满足等式的所有正整数．‎ ‎2018-2019学年度 高二年级数学学科第二学期期中试题（理科）‎ 评分标准 ‎1.“自然数是3的倍数”‎ ‎2. ‎ ‎3. a、b都不能被5整除 ‎ ‎4. 左边==2（2k+1）=‎ ‎5.③‎ ‎6.5‎ ‎7.55 ‎ ‎8. ‎ ‎9.5 ‎ ‎10. ‎ ‎11. 420 ‎ ‎12. ‎ ‎13. ‎ ‎14. ‎ ‎15．解：设，则 所以，，又可得 …………………………………4分 （1） 表示点到点的距离，所以最小值为 ………7分 解方程组并结合图形得 …………………………………9分 （2） 又，所以为纯虚数 ……………………………………………………………14分 ‎16.⑴不用0时，有个；用0时，有个；共有个四位数. …………………………………7分 ‎⑵ ①“1＊＊5”，中间所缺的两数只能从中选排，有个；‎ ‎②“2＊＊5”，中间所缺的两数是奇偶数各一个，有个；‎ ‎③“3＊＊5”，仿“1＊＊5”，也有个；‎ ‎④“4＊＊5”，仿“2＊＊5”，也有个；‎ ‎⑤“6＊＊5” 也有个；即小于的数共有个.‎ 故第个数是，第个数是，第个数是，第个数是. ‎ ‎…………………………………14分 ‎17.证明：（1）当时，‎ ‎ 所以，在区间上为单调增函数；…………………………………5分 ‎ （2）假设方程有负实数根，…………………………………7分 ‎ 所以，‎ ‎ 因为，，所以，所以，‎ ‎ 则，‎ ‎ 当时，；当时，．‎ ‎ 所以不存在，这与假设相矛盾，所以假设不成立，‎ ‎ 所以，方程无负实数根．…………………………………14分 ‎18.解：由题意 ‎ ‎ （1）的展开式中第6项的二项式系数最大，‎ 即. …………………………………5分 ‎ （2）设第项的系数的绝对值最大，‎ ‎…………………………………16分 ‎19.在中，，‎ 所以 所以，所以 又因为平面平面，平面平面，‎ 平面，所以平面…………………………………4分 如图，建立空间直角坐标系，则 ‎…………………………………6分 ‎⑴‎ 设异面直线与所成的角为，则 所以异面直线与所成的角为； ………………………………11分 ‎ ⑵是平面的一个法向量， ‎ 设平面的一个法向量，‎ 则，‎ 得，取，则，‎ 故是平面的一个法向量，………………………………13分 设平面与平面所成的二面角（锐角）为，‎ 则． ………………………………16分 ‎20．第（1）小题共5分；第（2）小题共5分；第（3）小题共6分 解法1：（1）证：用数学归纳法证明：‎ ‎（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，‎ 因为，所以左边右边，原不等式成立；………………2分 ‎（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，‎ ‎，，于是在不等式两边同乘以得 ‎，‎ 所以．即当时，不等式也成立．‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．………………5分 ‎（2）证：当时，由（Ⅰ）得：，‎ ‎（令易知）……7分 于是，．…10分 ‎(3)解：由（Ⅱ）知，当时，‎ ‎，‎ ‎．………………12分 即．即当时，不存在满足该等式的正整数．‎ 故只需要讨论的情形：‎ 当时，，等式不成立；‎ 当时，，等式成立；‎ 当时，，等式成立；‎ 当时，为偶数，为奇数，故，等式不成立；‎ 当时，同的情形可分析出，等式不成立．‎ 综上，所求的只有．…………………………16分 解法2：（1）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：‎ 当，且时，，．　　①‎ ‎（ⅰ）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，‎ 因为，所以．又因为，所以．‎ 于是在不等式两边同乘以得 ‎，‎ 所以．即当时，不等式①也成立．‎ 综上所述，所证不等式成立．‎ ‎（2）证：当，时，，，‎ 而由（Ⅰ），，‎ ‎．‎ ‎（3）解：假设存在正整数使等式成立，‎ 即有．　　　　　②‎ 又由（Ⅱ）可得 ‎，与②式矛盾．‎ 故当时，不存在满足该等式的正整数．‎ 下同解法1．‎