2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（文史类）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ ‎•如果事件，互斥，那么 •圆锥的体积公式.‎ ‎ 其中表示圆锥的底面面积，‎ ‎•圆柱的体积公式. 表示圆锥的高.‎ 其中表示棱柱的底面面积， ‎ 表示棱柱的高. ‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）是虚数单位，复数（　　）‎ ‎ （A） （B）　 （C） （D）‎ ‎（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（　　）‎ ‎ （A）2　　 （B）3　 （C）4　　　 （D）5‎ ‎（3）已知命题：，总有，则为（　　）‎ ‎（A），使得 （B），使得 ‎（C），总有 （D），总有 ‎（4）设，，，则（　　）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则（　　）‎ ‎（A）2　　（B）-2　　（C）　　 （D）‎ ‎（6）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（　　）‎ ‎（A）　　 （B）‎ ‎（C）　 　（D）‎ ‎（7）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④.‎ 则所有正确结论的序号是（　　）‎ ‎（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④‎ ‎（8）已知函数，，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（　　）‎ ‎（A）　　（B）　　（C）　　 （D）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎ 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ ‎ 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 ‎ 3．本卷共12小题，共100分。‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）‎ ‎（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.‎ ‎（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______.‎ ‎（11）阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为________.‎ ‎（12）函数的单调递减区间值是________.‎ ‎（13）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，.若，则的值为_______.‎ ‎（14）已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为__________.‎ 三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 女同学 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）.‎ ‎（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；‎ ‎（Ⅱ）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发表的概率.‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 在中，内角的对边分别为.已知，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱，的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明 平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角为，‎ ‎（ⅰ）证明 平面平面；‎ ‎（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切于点，，求椭圆的方程.‎ ‎（‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，都存在，使得.求的取值范围.‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.‎ ‎（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；‎ ‎（Ⅱ）设，，，其中，. 证明：若，则.‎ ‎.‎ 参考答案 一、（1）解：，选A.‎ ‎（2） 解：作出可行域，如图 结合图象可知，当目标函数通过点时，取得最小值3，选B.‎ ‎（3）解：依题意知为：，使得，选B.‎ ‎（4）解：因为，，，所以，选C.‎ ‎（5）解：依题意得，所以，解得，选D.‎ ‎（6）解：依题意得，所以，，选A.‎ ‎（7）解：由弦切角定理得，又，‎ 所以∽，所以，即，排除A、C.‎ 又，排除B，选D.‎ ‎（8）解：因为，所以得，‎ 所以或，.‎ 因为相邻交点距离的最小值为，所以，，，选C.‎ 二、（9）解：应从一年级抽取名.‎ ‎（10）解：该几何体的体积为.‎ ‎（11）解：时，；时，，所以输出的的值为-4.‎ ‎（12）解：由复合函数的单调性知，的单调递减区间是.‎ ‎（13）解：因为，菱形的边长为2，所以.‎ 因为，，‎ 所以，解得.‎ ‎（14）解：作出的图象，如图 当直线与函数相切时，由可得，所以.‎ 三、（15）解：（I）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为 ‎{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.‎ ‎（II）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能接过为 ‎{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种. 因此，事件发生的概率 ‎（16）解：（I）在三角形ABC中，由及，可得又，有，所以 ‎(II) 在三角形ABC中，由，可得，于是，所以 ‎（17）解：（I）)证明：如图取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点，故MF//BC且MF=BC.由已知有BC//AD，BC=AD.又由于E为AD中点，因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF//平面PAB.‎ ‎（II）（i）证明：连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点，故PEAD,BEAD,所以PEB为二面角P-AD-B的平面角.在三角形PAD中，由，可解得PE=2. 在三角形ABD中，由,可解得BE=1. 在三角形PEB中，PE=2, BE=1, ,由余弦定理，可解得PB=，从而，即BEPB,又BC//AD,BEAD,从而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD,‎ ‎（ii）连接BF，由（i）知BE平面PBC.所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由PB=，PA=,AB=得ABP为直角，而MB=PB=,可得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直线EF与平面PBC所成角的正弦值为 ‎（18）（Ⅰ）解：依题意得，所以，解得，.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知椭圆方程可化为.‎ 因为，所以直线的斜率.‎ 因为，所以直线的斜率，‎ 直线的方程为.‎ 设，则有，解得或（舍），所以.‎ 因为线段的中点为，所以圆的方程为.‎ 因为直线与该圆相切，且，所以，解得.‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（19）（Ⅰ）解：因为，所以.‎ 令得或.‎ 因为当或时，单调递减，当时，单调递增，‎ 所以，.‎ ‎（Ⅱ）解：因为，所以.‎ ‎（20）（Ⅰ）解：当，时，，，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）证明：因为，所以，所以，，.‎ 所以 ‎ ‎ ‎ .‎