河南省顶级名校2020届高三上学期开学摸底考试数学（文）试题 Word版含解析

河南省顶级名校2020届高三上学期开学摸底考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届高三年级开学摸底考试 文数试卷 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出集合，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】解：‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题．‎ ‎2.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数代数形式的除法运算将复数化成标准形式即可得解；‎ ‎【详解】解：，的虚部为1.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本概念，关键是将其分母实数化，化为的形式，进行判断，属于基础题．‎ - 20 -‎ ‎3.在等差数列中，，，则其公差为（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列中，根据下标和性质解得：、，即可得出公差．‎ ‎【详解】解：在等差数列中，，，‎ 又，，‎ 公差为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用诱导公式、二倍角公式，化简要求的式子，可得结果．‎ ‎【详解】解：，，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．‎ ‎5.如图所示的中，点D、E分别在边BC、AD上，且.，则向量（ ）‎ - 20 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目条件，结合平面向量运算的三角形法则，进行推导即可．‎ ‎【详解】解：，，‎ 又，，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量运算的三角形法则，难度不大，属于基础题．‎ ‎6.在《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.若某个鳖臑的三视图均为直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）.则该鳌臑的中最大面积为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 利用三视图画出几何体的直观图，判断各个面的面积的最大者，求解即可得到结果．‎ ‎【详解】解：根据三视图画出该几何体的直观图为如图所示的四面体，其中PA垂直于等腰直角三角形ABC所在的平面.将其放置于正方体中（如图所示），可知该正方体的棱长为1，所以，‎ ‎，所以表面中最大面的面积为.‎ 故选：A. ‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．‎ ‎7.已知函数是定义在上的偶函数，若当时，，则满足的x的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性和单调性的关系，分两种情况讨论，然后结合函数单调性的性质进行转化求解即可．‎ ‎【详解】解：由题易知在上单调递增，且，则由，得，又因为为偶函数，所以当时，单调递减，且有，则由，得，所以满足的x的取值范围为.‎ - 20 -‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合函数单调性和奇偶性的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎8.已知函数，，且的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求出，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求出的值．‎ ‎【详解】解：，，又，，从而.的图象关于直线对称，，，‎ 即，，‎ 令，得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题，‎ ‎9.已知三个村庄所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且.现在内任取一点建一大型的超市，则点到三个村庄的距离都不小于的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 采用数形结合，计算，以及“点到三个村庄的距离都不小于”这部分区域的面积，然后结合几何概型，可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：‎ 所以该三角形为直角三角形 分别以作为圆心，作半径为2的圆 如图所以 则 “点到三个村庄距离都不小于”‎ 该部分即上图阴影部分，记该部分面积为 又三角形内角和为，‎ 所以 设点到三个村庄的距离都不小于的概率为 所以 故选：D ‎【点睛】本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理解能力，属基础题.‎ ‎10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 20 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取A1D1的中点N，连结MN，B1D1，易得MN∥BD，故异面直线AM与BD所成角的余弦值为直线AM与MN所成角的余弦值.‎ ‎【详解】如图所示，取A1D1的中点N，连结MN，B1D1，‎ ‎∵M为棱A1B1的中点，∴MN∥B1D1，‎ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD∥B1D1，‎ ‎∴异面直线AM与BD所成角的余弦值为直线AM与MN所成角的余弦值，‎ 连结AN，则∠AMN（或其补角）为异面直线AM与BD所成的角，‎ 设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2a，‎ 则AM=AN=，MN=，‎ 在△AMN中，由余弦定理得：cos∠AMN==．‎ 故答案为D ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与计算能力，属于常考题型.‎ ‎11.已知O为坐标原点，点在抛物线，过定点P作两直线分别交抛物线C于点A、B，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，，求得，再求出、的斜率，由斜率和为0‎ - 20 -‎ 求得的值，进一步求出的斜率，则答案可求．‎ ‎【详解】解：设，，则，‎ ‎，同理.‎ 因为，所以，，所以，又，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了整体运算思想方法，属于中档题．‎ ‎12.若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数研究函数在单调性，并计算，可得结果.‎ ‎【详解】令，‎ 则，令 若时，‎ 若时，‎ 所以可知函数在递减，在递增 所以 由对任意的实数恒成立 - 20 -‎ 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.‎ 第II卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.在中，，，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用三角形的面积公式即可计算得解．‎ 详解】解：，，，‎ ‎．‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎14.已知直线与圆，若圆心到直线的距离为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点到直线的距离公式可知，圆心到直线的距离为，结合已知可求．‎ ‎【详解】解：由点到直线的距离公式可知，圆心到直线的距离为，‎ 解可得，，‎ 故答案为：．‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用点到直线的距离公式解决直线与圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎15.若x、y满足约束条件，则的最大值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域后,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标即可求得最大值.‎ ‎【详解】作出可行域如图所示:‎ 由可得,‎ 由图可知最优解为,‎ 联立 ,解得,,‎ 所以最优解为,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划求最大值,利用斜率关系找到最优解是答题关键,属于基础题.‎ ‎16.如下分组的正整数对：第1组为，，第2组为，，第3组为，，，，第4组为，，，，‎ - 20 -‎ ‎，则第40组第21个数对为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得第n组各个数和为，且各个数对无重复数字，按照顺序排列，即可得到所求数对．‎ ‎【详解】由题意可得第一组的各个数和为3，第二组各个数和为4，‎ 第三组各个数和为5，第四组各个数和为6，‎ ‎，‎ 第n组各个数和为，且各个数对无重复数字，‎ 可得第40组各个数和为42，‎ 则第40组第21个数对为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，注意总结各组数对的特点，考查简单的归纳推等基础知识，考查判断能力、推理能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．，‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列的前项和．‎ ‎（1）求数列通项公式； ‎ ‎（2）令，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据和关系得到答案.‎ ‎（2）首先计算数列通项，再根据裂项求和得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）当时，‎ - 20 -‎ 当时，‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了和关系，裂项求和，是数列的常考题型.‎ ‎18.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.‎ ‎（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；‎ ‎（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.‎ ‎【答案】(1) ；中位数为82.5. (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为，结合频率计算公式求解即可；‎ ‎（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可 ‎【详解】（1）由频率和为1，得，；‎ - 20 -‎ 设综合评分的中位数为，则，解得，‎ 所以综合评分的中位数为82.5.‎ ‎（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为，即概率为0.6；‎ 所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；‎ 所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为、、，非一等品2个，记为、；‎ 从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：、、、、、、、、、共10种；‎ 抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：、、、、、共6种，‎ 所以所求的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题 ‎19.如图所示，在四棱锥中，底面BCDE为正方形.且，， .‎ ‎（1）证明：平面BCDE；‎ ‎（2）若点P在线段AD上，且，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，，由此能证明平面．‎ ‎（2）由，，得平面，过点作，交于点，推导出为点到平面的距离，由此能求出三棱锥的体积．‎ ‎【详解】解：（1）因为底面BCDE为正方形，且，，，‎ - 20 -‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 又，平面BCDE，平面，‎ 所以平面BCDE.‎ ‎（2）由（1）知，，又底面BCDE为正方形，‎ 所以，‎ 又，平面，平面，所以平面.‎ 过点P作交AC于点F.‎ 因为，‎ 所以，所以平面， ‎ 所以PF为点P到平面的距离.‎ 由，知， ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎20.已知椭圆的中心为原点O，过O作两条相互垂直的射线分别交椭圆于P、Q两点.‎ ‎（1）证明：为定值；‎ ‎（2）若椭圆，过原点O作直线PQ的垂线，垂足为D，求.‎ - 20 -‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论，当，斜率存在且不为0时，设直线的方程，代入椭圆方程，求得，同理求得，即可求证为定值；‎ ‎（2）根据（1）及三角形面积相等，即可求得的值．‎ ‎【详解】解：（1）当射线或在轴上时，显然有； ‎ 当射线，不在轴上时，设，，‎ 联立方程，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则，‎ 所以. ‎ 用是代替上式中的，可得， ‎ 所以.‎ 综上为定值. ‎ ‎（2）由（1）的证明，可知， ‎ - 20 -‎ 即， ‎ 所以 所以.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中定值问题，考查三角形的面积相等，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程.‎ ‎（2）当时，若对任意的，都有，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；‎ ‎（2）求得的导数，讨论，，的单调区间，考虑在，的单调性，求得最小值，可令其不小于，解不等式可得所求范围．‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 所以，‎ 所以曲线在点处的切线斜率，‎ 又，所以曲线在点处的切线方程为，即. ‎ ‎（2）由，‎ 得 当时，，在上单调递增，‎ - 20 -‎ 则，显然成立；‎ 当时，由，得；‎ 由，得，‎ 所以在上单调递减，在和上单调递增. ‎ ‎①时，，在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以对任意的，都有等价于，‎ 即，‎ 解得，‎ 又，所以； ‎ ‎②当时，，‎ 所以在上的最小值为.‎ 又当时，，显然成立. ‎ 综上，实数a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点.求 - 20 -‎ ‎【答案】（1）.；（2）5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将（t为参数）中的参数t消去，即可求得直线l的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）令，得到直线的参数方程（为参数），代入，结合直线参数方程中参数的几何意义，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，将（t为参数）中的参数t消去，可得 即直线l的普通方程为，‎ 由，可得，‎ 又由，代入可得，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为.‎ ‎（2）令，则有（为参数）.‎ 将其代入方程中，得，其中.‎ 设点A，B对应的参数分别为，，则，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，熟练应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ - 20 -‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，恒成立，求实数a的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，可得，即可求得不等式的解集；‎ ‎（2）由，恒成立，转化为，恒成立，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】（1）根据题意，函数，‎ 由，可得，即，解得，‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎（2）由，恒成立，即为，恒成立，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 因为，当且仅当，即时等号成立，‎ 所以.‎ 综上可得，即实数a的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题的解答，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ - 20 -‎ ‎ ‎ - 20 -‎