2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知随机变量满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据期望的性质，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为随机变量满足，‎ 所以.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查随机变量的期望，熟记期望的性质即可，属于常考题型.‎ ‎2．不等式的解集为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分，，三种情况，即可求出不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 当时，原不等式可化为，即，显然成立，所以；‎ 当时，原不等式可化为，解得，所以；‎ 当时，原不等式可化为，即，显然不成立，所以舍去；‎ 综上，原不等式的解集为.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查含绝对值不等式的解法，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.‎ ‎3．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为随机变量服从正态分布，，‎ 根据正态分布的特征，可得，解得.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查正态分布的特征，熟记正态分布的特征即可，属于基础题型.‎ ‎4．执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 ‎（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040‎ ‎【答案】B ‎【解析】框图表示，且所求720，选B ‎5．在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，··· ，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据频率分布直方图确定成绩在内的频率，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：成绩在内的频率为，‎ 又本次赛车中，共名参赛选手，‎ 所以，这名选手中获奖的人数为.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图，会根据频率分布直方图求频率即可，属于常考题型.‎ ‎6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】4项工作分成3组,可得：=6，‎ 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，‎ 可得：种。‎ 故选：D.‎ ‎7．已知随机变量的分布列如表所示，若，则的值可能是( )‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由期望得到三者之间关系，由概率之和为，得到，再根据方差的计算公式，用表示出方差，根据概率的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，，所以，‎ ‎，‎ 由概率的性质可知，因此的值可能是.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查随机变量的期望与方差、以及概率的性质，熟记概率的性质即可，属于常考题型.‎ ‎8．的展开式中，的系数为 A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ ‎【答案】C ‎【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.‎ ‎【考点】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.‎ ‎【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.‎ ‎9．六个学习小组依次编号为，每组人.现从中任选人组成一个新的学习小组，则人来自不同学习小组的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由题意确定，从个人中任选人所包含的基本事件个数，再确定“人来自不同学习小组”所包含的基本事件个数，基本事件个数比，即为所求概率.‎ ‎【详解】‎ 因为六个学习小组依次编号为，每组人.‎ 所以，“从个人中任选人”共包含个基本事件；‎ ‎“人来自不同学习小组”共包含，‎ 所以，人来自不同学习小组的概率为.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎10．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．‎ ‎【考点】次独立重复试验．‎ ‎11．某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的份调查问卷，得到了如下的列联表： ‎ 同意限定区域停车 不同意限定区域停车 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 则认为“是否同意限定区域停车与家长性别有关”的把握约为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题中数据，由计算出，再结合临界值表，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题中数据可得：‎ ‎，‎ 又由临界值表可得，‎ 而，‎ 所以，“是否同意限定区域停车与家长性别有关”的把握约为.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验，熟记的计算公式以及独立性检验的思想即可，属于常考题型.‎ ‎12．如图，矩形中曲线的方程分别是，.，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由微积分基本定理，计算出阴影部分的面积，再求出矩形的面积，由几何概型的概率计算公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，当时，由可得；‎ 所以，‎ 又，‎ 所以在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式以及微积分基本定理即可，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎13．已知变量，且，，则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据题意先求出，再由，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为变量，且，，‎ 所以，解得，‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项分布，熟记二项分布的期望与方差的公式即可，属于常考题型.‎ ‎14．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】先记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，根据条件概率的计算公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，‎ 则，，‎ 所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为 ‎.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎15．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．‎ ‎【考点】二项式定理．‎ ‎16．在我校举行的演讲比赛中，七位评委为号选手打出的分数的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为分，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】32.‎ ‎【解析】先根据题意得到的值，再结合基本不等式求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，‎ 所以，‎ 因此，‎ 当且仅当时，取最小值.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图，以及基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎(1)若关于的不等式有解，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若关于的不等式的解集为，求的值.‎ ‎【答案】(1)a>4 (2)a+b=3.5‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集为（b，）代入相应函数，求出a，b，即可求a+b的值．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，‎ ‎∵关于x的不等式f（x）＜a有解，‎ ‎∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）当时，f（x）=5，即 又f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－3｜关于轴对称，‎ ‎∴b+2，即 故a+b=3.5‎ 点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．‎ ‎2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.‎ ‎18．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎（1）求X的分布列；‎ ‎（2）若要求，确定n的最小值；‎ ‎（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎【答案】（1）见解析.‎ ‎（2）见解析.‎ ‎（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值．（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适 试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19．‎ ‎（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．‎ 当时，‎ ‎．‎ 当时，‎ ‎．‎ 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列 ‎19．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.‎ ‎（1）证明：PA⊥BD；‎ ‎（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】试题解析：‎ ‎（1）∵∠DAB=600，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，从而BD2+AD2=AB2‎ 故BD⊥AD，即BD⊥平面PAD，故PA ⊥BD ‎（2）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为X轴的正半轴建立空间坐标系 则A（1，0，0），B（0， ，0），C（-1， ，0），P（0，0，1）‎ 设平面PAB的法向量，则 ‎，解得 平面PBC的法向量，则 ‎，解得 ‎【考点】本题考查线线垂直 二面角 点评：解决本题的关键是用向量法证明注意计算准确性 ‎20．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）‎ 如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且 ‎（1）若，求椭圆的标准方程 ‎（2）若求椭圆的离心率 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题解析：（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数的值，而由，应用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求椭圆的离心率，就是要找到关于的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设，则，，于是有，这样在中求得，在中可建立关于的等式，从而求得离心率.‎ ‎（1）由椭圆的定义，‎ 设椭圆的半焦距为c，由已知，因此 即 从而 故所求椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）解法一：如图（21）图，设点P在椭圆上，且，则 求得 由,得,从而 由椭圆的定义，,从而由，有 又由，知，因此 于是 解得.‎ 解法二：如图由椭圆的定义，,从而由 ‎，有 又由，知，因此,‎ ‎,从而 由,知，因此 ‎【考点】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力．‎ ‎21．随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站年月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据.‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 促销费用 ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎21‎ ‎15‎ ‎18‎ 产品销量 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3.5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)根据数据可知与具有线性相关关系，请建立关于的回归方程（系数精确到）；‎ ‎(2)已知月份该购物网站为庆祝成立周年，特定制奖励制度：用（单位：件）表示日销量，若，则每位员工每日奖励元；若，每位员工每日奖励元；若，则每位员工每日奖励元.现已知该网站月份日销量服从正态分布，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元.（当月奖励金额总数精确到百分位）‎ 参考数据：，，其中分别为第个月的促销费用和产品销量，.‎ 参考公式：①对于一组数据，其回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ ‎②若随机变量服从正态分布，则，.‎ ‎【答案】(1)；(2)元.‎ ‎【解析】【试题分析】(1)利用回归直线方程计算公式计算出回归直线方程.(2)根据正态分布概率可计算得销售量在,,上的概率,用奖金乘以对应的概率然后相加,再乘以,可求得总奖金额.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由题可知， ‎ 将数据代入得 ‎ ‎ 所以关于的回归方程 ‎ ‎（2）由题6月份日销量服从正态分布，则 日销量在的概率为， ‎ 日销量在的概率为， ‎ 日销量的概率为， ‎ 所以每位员工当月的奖励金额总数为 元. ‎ ‎22．设函数。‎ ‎（1）证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎（2）若对于任意，都有，求m的取值范围。‎ ‎【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）．‎ 若，则当时，，；当时，，．‎ 若，则当时，，；当时，，．‎ 所以，在单调递减，在单调递增．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．‎ ‎【考点】导数的综合应用．‎