2019-2020学年山西省应县第一中学校高二上学期第四次月考数学(理)试题

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2019-2020学年山西省应县第一中学校高二上学期第四次月考数学(理)试题

山西省应县第一中学校2019-2020学年高二上学期第四次月考 ‎ 数 学 试 题(理) 2019.12‎ 时间:120分钟 满分:150分 一.选择题.(5分*12=60分)‎ ‎1. 倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线方程是(  )‎ A.x-y+1=0 B.x-y-=0‎ C.x+y-=0 D.x+y+=0‎ ‎2.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是(  )‎ A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1‎ C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1‎ ‎3. 椭圆C的一个焦点为F1(0,1),并且经过点P(,1)的椭圆的标准方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎4.已知椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在y轴上,离心率为,过点F2的直线交椭圆C于M,N两点,且△MNF1的周长为8,则椭圆C的焦距为(  )‎ A.4 B.2‎ C.2 D.2 ‎5.若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线的斜率为(  )‎ A.±2 B.± C.± D.± ‎6.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M为直线y=2b上的一点,△F1MF2是等边三角形,则椭圆C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. ‎7.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P点在椭圆上,若 |PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.5‎ ‎ ‎ ‎8.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(  )‎ A. B. C. D. ‎9.已知焦点在y轴上的双曲线C的中心是原点O,离心率等于,以双曲线C的一个焦点为圆心,1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为(  )‎ A.-=1 B.y2-=1‎ C.-x2=1 D.-y2=1‎ ‎10.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(  )‎ A. B.2‎ C. D.3‎ ‎11.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为(  )‎ A.3 B. C.2 D.2‎ ‎12.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得=,则该椭圆离心率的取值范围为(  )‎ A.(0,-1) B. C. D.(-1,1)‎ 二. 填空题.‎ ‎13.已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是 .‎ ‎14.过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=________.‎ ‎15.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________________.‎ ‎16.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则当 ‎|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB的倾斜角的正弦值为________.‎ 三. 解答题。‎ ‎17.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),‎ P2(-,-),求该椭圆的方程.‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线 x-y+-2=0相切.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程.‎ ‎19.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-),点M(3,m)在双曲线上.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)求证:·=0;‎ ‎(3)求△F1MF2的面积.‎ ‎20.已知圆C过定点F,且与直线x=相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l:y=k(x+1)(k∈R)相交于A,B两点.‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.‎ ‎21.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点,离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)当△F2AB的面积为时,求直线的方程.‎ ‎22.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左焦点为F(-1,0),过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)在y轴上,是否存在定点E,使·恒为定值?若存在,求出E点的坐标和这个定值;若不存在,请说明理由.‎ 高二月考四理数答案2019.12‎ ‎1D 2A 3D 4C 5B 6C 7B 8B 9C 10B 11D 12D ‎12.解析:选D 在△MF1F2中,=,‎ 而=,‎ ‎∴==.①‎ 又M是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,‎ ‎∴|MF1|+|MF2|=2a.②‎ 由①②得,|MF1|=,|MF2|=.‎ 显然|MF2|>|MF1|,‎ ‎∴a-c<|MF2|0,∴e2+2e-1>0,又00,x2>0,‎ 则x1+x2=,①‎ x1x2=1, ②‎ +=+= ‎==1.‎ 当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2,‎ 故+=1.‎ 设|AF|=a,|BF|=b,则+=1,‎ 所以|AF|+4|BF|=a+4b=(a+4b)=5++≥9,当且仅当a=2b时取等号,‎ 故a+4b的最小值为9,‎ 此时直线的斜率存在,且x1+1=2(x2+1), ③‎ 联立①②③得,x1=2,x2=,k=±2,‎ 故直线AB的倾斜角的正弦值为.‎ ‎17. 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).‎ 因为椭圆经过P1,P2两点,‎ 所以P1,P2点坐标适合椭圆方程,‎ 则 ‎①②两式联立,解得 所以所求椭圆方程为+=1.‎ ‎18. (1)将圆C:x2+y2+4x-2y+m=0化为(x+2)2+(y-1)2=5-m,‎ 因为圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-y+-2=0相切,‎ 所以圆心(-2,1)到直线x-y+-2=0的距离d==2=r,‎ 所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=4.‎ ‎(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,则可设直线MN的方程为 2x-y+c=0,‎ 因为|MN|=2,半径r=2,‎ 所以圆心(-2,1)到直线MN的距离为=1,‎ 即=1,‎ 所以c=5±,‎ 所以直线MN的方程为2x-y+5±=0.‎ ‎19.(1)因为e=,则双曲线的实轴、虚轴相等.‎ 所以可设双曲线方程为x2-y2=λ.‎ 因为双曲线过点(4,-),‎ 所以16-10=λ,即λ=6.‎ 所以双曲线方程为x2-y2=6.‎ ‎(2)证明:设F1(-2,0),F2(2,0),‎ 则=(-2-3,-m),‎ =(2-3,-m).‎ 所以·=(3+2)×(3-2)+m2‎ ‎=-3+m2,‎ 因为M点在双曲线上,‎ 所以9-m2=6,即m2-3=0,‎ 所以·=0.‎ ‎(3)△F1MF2的底边长|F1F2|=4.‎ 由(2)知m=±.‎ 所以△F1MF2的高h=|m|=,‎ 所以S△F1MF2=×4×=6.‎ ‎20.(1)由题意,点C到定点F和直线x=的距离相等,‎ 故点C的轨迹E的方程为y2=-x.‎ ‎(2)由方程组消去x后,‎ 整理得ky2+y-k=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由根与系数的关系有y1+y2=-,y1y2=-1.‎ 设直线l与x轴交于点N,则N(-1,0).‎ 所以S△OAB=S△OAN+S△OBN ‎=|ON||y1|+|ON||y2|,‎ ‎=|ON||y1-y2|‎ ‎=×1× ‎= =,‎ 解得k=±.‎ ‎21.(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)过点,‎ 所以+=1.①‎ 又因为离心率为,所以=,‎ 所以=.②‎ 解①②得a2=4,b2=3.‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时,‎ A,B,‎ S△ABF2=|AB|·|F1F2|=×3×2=3≠.‎ 当直线的倾斜角不为时,设直线方程为y=k(x+1),‎ 代入+=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1x2=,‎ 所以S△ABF2=|y1-y2|×|F1F2|‎ ‎=|k| ‎=|k| ‎==,‎ 所以17k4+k2-18=0,‎ 解得k2=1,‎ 所以k=±1,‎ 所以所求直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.‎ ‎22.(1)由已知可得解得a2=2,b2=1,‎ 所以椭圆C的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)设过点D(0,2)且斜率为k的直线l的方程为y=kx+2,‎ 由消去y,整理得(1+2k2)x2+8kx+6=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1x2=.‎ 又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-,‎ y1+y2=(kx1+2)+(kx2+2)=k(x1+x2)+4=.‎ 设存在点E(0,m),‎ 则=(-x1,m-y1),=(-x2,m-y2),‎ 所以·=x1x2+m2-m(y1+y2)+y1y2=+m2-m·-=.‎ 要使·=t(t为常数),‎ 只需=t,‎ 从而(2m2-2-2t)k2+m2-4m+10-t=0,‎ 故解得m=,从而t=,‎ 故存在定点E,使·恒为定值.‎
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