2018-2019学年四川省成都石室中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省成都石室中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019 学年四川省成都石室中学高一上学期期中考试数 学试题 一、单选题 1．设全集为 ，集合 ， ，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用补集的定义求出集合 的补集，利用一元二次不等式的解法化简集合 ，由 交集的定义可得结果. 【详解】 ， 或 ， 又 ， ，故选 C. 【点睛】 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是 将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素 的集合. 2．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据偶函数的定义,结合对数函数、指数函数、二次函数以及幂函数的单调性 便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项. 【详解】 对于 ， 是偶函数，且在 上单调递减，故正确. 对于 ， 是偶函数，且在区间 上是单调递增，故错误. 对于 , 是奇函数，不满足题意，故错误. 对于 ， 的图象不关于 轴对称,不是偶函数，故错误，故选 A. 【点睛】 本题主要考查偶函数的定义，对数函数、指数函数的图象、二次函以及幂函数的单调性， 意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 3．下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 （ ） 【答案】D 【解析】根据函数的定义，判断每组函数的定义域与对应法则是否都相同即可. 【详解】 对于 ，由于 的定义域为 ， 的定义域是 ，两个函数的定义域不 同，不是同一个函数，故排除 . 对于 ， 的定义域为 , 的定义域为 ，定义域相同，但对应关系 不相同，所以不是同一函数，故排除 . 对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不相同，不是同一函数， 故排除 . 对于 ， 定义域相同，对应法则相同，表示同一函 数，故选 D. 【点睛】 本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域以及对应法则，属于中档 题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常 出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的定义域、对应法则是否都相同，二 者有一个不同，两个函数就不是同一函数. 4．函数 的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【 解 析 】 由零点存在性定理， ，所以零点所在区间为 。故选 B。 5．函数 的定义域为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据二次根号下代数式不小于零、对数的真数大于零、分母不等于零列不等式 组求解即可. 【详解】 要使 有意义， 则 ， 解得 或 ， 即函数 的定义域为 ，故选 D. 【点睛】 本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求 法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题： 由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出. 6．如果函数 的反函数是增函数，那么函数 的图象大致是 （ ） A ． B ． C ． D． 【答案】C 【解析】利用排除法，由 为减函数排除 ；由 排除 ，从而可得结 果. 【详解】 函数 的反函数是增函数， 为增函数， ， 为减函数，可排除 ； 又 排除 ，故选 C. 【点睛】 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7．已知 ， ， ，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对数函数的性质可得 ，再根据指数函数的单调性即 可得到结论. 【详解】 , 由对数函数的性质可得 , , 且函数 是增函数， ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比 较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间；二是利用函数的单调性 直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 8．已知幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据幂函数的图象与性质，求出 的值，根据 的定义域与单调性，再把 不等式 化为等价的不等式组，求出它的解集即可. 【详解】 幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数， 所以 ，解得 ， 因为 ，所以 或 ， 当 时， ，图象关于 轴对称，不满足题意； 当 时， ，图象关于原点对称，满足题意， 不等式 化为， ， 因为函数 在 上递减， 所以 ， 解这个不等式，得 ， 即实数 的取值范围是 ，故选 B . 【点睛】 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,意在 考查对基础知识掌握的熟练程度，是基础题目. 9．已知函数 (a≠1)在区间 上是增函数，则实数 的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 时， 恒成立，可得 ，只需函数 是减 函数即可得结果. 【详解】 因为 时， 恒成立， 所以 ， 所以 , 为负数， 因为函数 是增函数，所以要使 在 上是增函数， 则需函数 是减函数，可得 ， 所以 ， 实数 的取值范围为 ，故选 A. 【点睛】 本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的 判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注 意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性， 正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）. 10．已知 ， 与 的图象关于原点对称，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 与 的图象关于原点对称，可得 ，在 中， 令 即可的结果. 【详解】 与 的图象关于原点对称， ， ， 在 中，令 ，得 ， ，故选 D. 【点睛】 本题主要考查函数的对称性以及函数的解析式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的 能力，属于基础题. 11．已知函数 的图象关于 对称，且对 ，当 时， 成立，若 对任意的 恒成立，则 的范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据对称性以及函数图象的平移变换判断函数 是偶函数，根据 时， 成立判断函数的单调性，从而转化原不等式为 对任意的 恒成立，分离参数后利用基本不等式求解即可. 【详解】 函数 的图象关于 对称， 向左平移 1 个单位，得到 的图象关于 轴对称， 即 是偶函数， ， 成立， 在 上递减， 在 上递增， 对任意的 恒成立， 等价于 对任意的 恒成立， 即 恒成立， ， ，故选 A. 【点睛】 本题主要考查函数的对称性、奇偶性与单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等 式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立 （ 即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值 或 恒成立. 12．设函数 若关于 的方程 恰有四个不同的实数解， 则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【 解 析 】 由 可 得 或 或 ， 画 出 函 数 ,数形结合可得方程 与 分别有 2 个与 1 个根，只需 与 的图象有 1 个交点即可. 【详解】 由 可得 或 或 ， 作出函数 的图象如图， 由图可知 与 的图象有 2 个交点； 与 的图象有 1 个交点， 所以方程 与 分别有 2 个与 1 个根， 要使方程 恰有四个不同的实数解， 只需 由 1 个不同于以上 3 个根的解， 即 与 的图象有 1 个交点， 有图可知，当 且 或 时符合题意， 所以使方程 恰有四个不同的实数解， 实数 的取值范围为 ，故选 D . 【点睛】 本题考査方程的解、函数的零点、图象的交点，考査数形结合的解题思想方法，是中档 题. 函数零点的几种等价形式：函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点. 二、填空题 13．已知角 ，则角 的终边在第______象限. 【答案】三 【解析】由角 ，可得角 与 的终边相同，从而可得结果. 【详解】 角 ， 角 与 的终边相同， 的终边在第三象限， 的终边在第三象限，故答案为三. 【点睛】 本题主要考查相同终边的角，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 14．函数 的值域是_____________. 【答案】 【解析】由 ，知 ，当 时， ，解得 ，检验当 时不成立，由此能求出函数 的值域. 【详解】 ， ， 整理，得 ， 当 时， ， 解得 ， 当 时， 不成立， ，故答案为 . 【点睛】 本题考查了函数值域的求法，高中函数值域求法有：1 观察法；2.配方法；3.反函数法； 4.判别式法；5.换元法；6.数形结合法；7.不等式法；8.分离常数法；9.单调性法； 10.利用导数求函数的值域； 11.最值法；12.构造法； 13.比例法,要根据题意选择 . 15．已知 ， 且 ，则 _____________. 【答案】4 【 解 析 】 设 ， 则 ， 可 得 ，从而可得结果. 【详解】 设 ， 则 ， ， ， 因为 ， ，故答案为 4. 【点睛】 本题主要考查函数奇偶性的应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题. 16．给出下列说法： ①集合 与集合 是相等集合； ②不存在实数 ,使 为奇函数； ③若 ，且 f(1)=2,则 ； ④对于函数 在同一直角坐标系中，若 ，则函数 的图 象关于直线 对称； ⑤对于函数 在同一直角坐标系中，函数 与 的图象关于 直线 对称；其中正确说法是____________. 【答案】①②③ 【解析】利用集合 与集合 都是奇数集判断①；由 的图象是轴对称图 形判断②；推导出 ，求出 可判断③；令 ， 有 ,则可判断④；根据函数 与 的图象可以由 与 的 图象向右移了一个单位而得到判断⑤. 【详解】 在①中，集合 与集合 都是奇数集，是 相等集合，故①正确. 在②中，由二次函数的图象与性质可知 的图象是轴对称图形，所以不 存在实数 ,使 为奇函数，故②正确. 在 ③ 中 ， 若 ， 且 ， 令 可 得 ， ，故③正确. 在④中，对于函数 在同一直角坐标系中，若 ，令 ，有 ,则函数 的图象关于直线 对称，故④错误. 在⑤中，对于函数 ，在同一直角坐标系中， 与 的图象关于 直线 对称，函数 与 的图象可以由 与 的图象分别向右移 了一个单位而得到，从而可得函数 与 的图象关于直线 对称，故⑤ 错误，故答案为①②③. 【点睛】 本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查集合相等、函数的奇偶性、函数图 象的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为 某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量 挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集 中精力突破较难的命题. 三、解答题 17．已知集合 （1）求集合 、 ； （2）若 ，求 的取值范围. 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】（1）利用对数函数的性质化简集合 ，由指数函数的性质化简集合 ；（2）由 得 ，利用包含关系列不等式组求解即可. 【详解】 （1）解 得： ∴ ∵ ∴ ∴ （2）由 得 ， 当 ，即 时， ，符合题意； 当 时， ，若 ，则 解得 ， 综上所述，a 的取值范围是 . 【点睛】 集合的基本运算的关注点： （1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运 算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了， 易于解决； （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 图． 18．（1）计算 ； （2）若关于 的二次方程 在区间 内有两个根，求 的取值范围． 【答案】（1）10；（2） 【解析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则以及对数的运算法则求解即可，化 简过程注意避免出现符号错误；（2）利用二次函数的图象与性质，结合零点存在定理 列不等式组求解即可. 【详解】 （1）原式= = =10 ； (2)令 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 则它与 x 轴交点均落在区间(0，1)内， 如图(2)所示，列不等式组 ⇒ ， 故 m 的取值范围是 . 【点睛】 本题主要考查指数幂与对数的运算，以及一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对 于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的 题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上 的题型， 一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、 的符号）的方法解答. 19．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品 专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并 约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3600 元 后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件 14 元；②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如下图所示；③每月需各种开支 2000 元． (1)当商品的销售价格为每件多少元时，月利润余额最大?并求最大余额；（利润余额= 销售利润－各种开支－最低生活费） (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫? 【答案】(1) 19.5 元，450 元；（2）20 年. 【 解 析 】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 根 据 利 润 等 于 销 售 额 乘 以 单 价 减 去 成 本 得 ： L ＝ ，再分段根据二次函数对称轴与定义区间位置关 系求最大值，最后取两个最大值中最大值（2） 由脱贫的含义：无债务，列不等式： 12n×450－50 000－58 000≥0，解得 n≥20. 试题解析：设该店月利润余额为 L 元， 则由题设得 L＝Q（P－14）×100－3 600－2 000，（） 由销量图易得 Q＝ 代入式得 L＝ （1）当 14≤P≤20 时，Lmax＝450 元，此时 P＝19.5 元； 当 20＜P≤26 时，Lmax＝ 元，此时 P＝ 元. 故当 P＝19.5 元时，月利润余额最大，为 450 元. （2）设可在 n 年后脱贫， 依题意有 12n×450－50 000－58 000≥0，解得 n≥20. 即最早可望在 20 年后脱贫. 【考点】分段函数最值 20．设函数 且 . （1）若 ，求不等式 的解集；（其中单调性只需判断） （2）若 ，且 在 上恒成立，求 的最大值. 【答案】（1） ；（2）-2 【解析】（1）由 ，可得 ，可得 递增，结合 的奇偶性，原不等式等价于 ，从而可得结果；（2）由 可得 ，令 ， 在 恒 成 立 ， 等 价 于 在 上 恒 成 立 , 即 在 上恒成立,结合二次函数的性质可得结果. 【详解】 （1） ，又 ，所以 所以 单调递增， 单调递减，故 在 R 上单调递增， 又∵ 且 ∴ 是 R 上的奇函数， 由 得 ∴ ∴ . （2） ，解得 （舍）或 ，则 ∴ 令 ∵ ，∴ 在 恒成立， 即 在 上恒成立, 即 在 上恒成立, 而 ∴ ∴m 的最大值为 . 【点睛】 本题主要考查函数 的奇偶性与单调性，以及不等式恒成立问题，属于中档题. 对于求 不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含 有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离 参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法. 21．已知函数 定义在 上且满足下列两个条件： ①对任意 都有 ；②当 时，有 ． （1）证明函数 在 上是奇函数； （2）判断并证明 的单调性. （3）若 ，试求函数 的零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】（1）令 ,求得 ，再令 ，则 ，从而可得结果； （2）设 ，结合奇偶性可得 ， 从 而 可 得 结 论 ； （ 3 ） ， 等 价 于 则 ，由函数 在 上单调递增，可得 ， 从而可得结果. 【详解】 （1）令 ,则 ，则 ；又令 ，则 ， 即 ，所以函数 在 上是奇函数. （2）设 ，则 ，因为 则由条件知 而 ， ，所以函数 在 上单调递 增. （ 3 ） 由 则 从 而 ， 等 价 于 则 ，因为函数 在 上单调递增，所以 即 ，则 ，由 ，得 ，故 的零点为 . 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单 调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取 ；（2）作差 ；（3）判断 的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得 在已 知区间上是增函数， 可得 在已知区间上是减函数. 22．已知函数 ， 是偶函数． （1）求 的值； （2）若函数 的图象在直线 上方，求 的取值范围； （3）若函数 ， ，是否存在实数 使得 的最小值 为 0？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】（1）由 ，化简可得 ，对任意 恒成立，从而可得 ； （2）函数 的图象在直线 上方，等价于 对任意的 成立，即 ，利用复合函数的单调性求出 的最 小 值 即 可 得 结 果 ； （ 3 ） ， 令 ，则 ， ，分类讨论，利用二 次函数的单调性，分别求出最小值，令其为零，解方程即可的结果. 【详解】 （1）∵ ，所以 ， 即 ，∴ ，对任意 恒成立，所以， . 所以， . （2）函数 的图象在直线 上方，等价于 对任意的 成立，即 . 令 ， 在 上单调减， 而 ，所以 ，由此 . （3） ，令 ， 则 ， . ①当 即 时， 在 递增，从而 ， 舍去； ②当 即 时， 在 上递减，在 递增， 从而 ，则 ； ③ 即 时， 在 递减，从而 ，则 舍去. 综上： . 【点睛】 本题主要考查利用奇偶性求函数解析式、考查指数函数、对数函数以及二次函数的性质， 考查了转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 已知函数的奇偶性求参数，主要 方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.