甘肃省兰州市第一中学2019届高三5月月考 数学（理）（PDF版）

甘肃省兰州市第一中学2019届高三5月月考 数学（理）（PDF版）

- 1 - 兰州一中 2019 届高三五月月考试卷 数 学（理） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 { | 1 0}, { 1, 0, 1}A x x B     ，则 AB A.{1} B.{ 1} C. {0, 1} D. { 1, 0} 2．若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是 A. 的虚部为 B. C. 的共轭复数为 D. 为纯虚数 3．已知 m，n 为两条不重合直线，α ，β 为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出 // 的是 A. / / , ,m n m n B. / / , ,m n m n C. , / / , / /m n m n D. ,,m n m n   4．空气质量指数 AQI 是反映空气状况的指数, AQI 指数值越小, 表明空气质量越好, 其对应关系如下表： AQI 指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 ＞300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某市 10 月 1 日 - 20 日 AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是 A.这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100 B.这 20 天中的中度污染及以上的天数占 1/4 C.该市 10 月的前半个月的空气质量越来越好 D.总体来说,该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 5．已知向量 a , b 满足| | 2, | | 2ab，且 ( 2 )a a b , 则b 在 a 方向上的投影为 A．1 B． 2 C． 2 D． 1 - 2 - 6．若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 A.48+π B.48-π C.48+2π D.48-2π 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即 “在一个圆内任意选一条弦， 这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？” 贝特朗用“随机半径”、 “随机端 点”、 “随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同. 该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺 激了概率论基础的严格化. 已知“随机端点”的方法如下：设 A 为圆 O 上一个定点，在圆周上随机取一点 B， 连接 AB，所得弦长 AB 大于圆 O 的内接等边三角形边长的概率. 则由“随机端点”求法所求得的概率为 A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 2 8．已知 服从正态分布 2(1, ),Na R ，则“ ( ) 0.5Pa  ”是“关于x 的二项式 3 2 1()ax x 的展开式的 常数项为 3”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 9．函数 的大致图象为 A. B. C. D. 10．已知双曲线 22 221( 0, 0)xy abab    的左右两个焦点分别为 12, , ,F F A B 为其左、右两个顶点，以线段 - 3 - 12FF为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，且 30AMB  ，则该双曲线的离心率为 21A. 2 B. 13 C. 2 3 19D. 2 11．已知 ABC△ 的边 AB，AC 的长分别为 2，3， 120BAC  ，则 的角平分线 AD 的长为 3A. 35 3B. 5 C. 6 35 6D. 5 12．已知函数 1 ln , 1, () 11, 1,22 xx fx xx    若 12xx ，且 12( ) ( ) 2f x f x，则 12xx 的取值范围是 A.[2, ) B. [ 1, )e    C. [3 2ln2, )   D. [3 2ln3, )   二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．计算： 2 3lg 25 2lg 2 8   . 14．若实数 ,xy满足 , 6, 3 2, yx xy yx      则 5z x y   的最小值为 . 15．已知 sin 3cos 0，则 cos(2 )2   . 16．已知点 F 是抛物线 2:4C y x 的焦点，点 M 为抛物线C 上任意一点，过点 M 向圆 221( 1) 2xy   作切 线，切点分别为 A ， B ，则四边形 AFBM 面积的最小值为 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一） 必考题：共 60 分。 17．（本小 题满分 12 分） 已知正项等比数列{}na 的前 n 项和为 13, 2, 14nS a S. （1）求数列 的通项公式; （2）设 1 2 2 2 1 2log 1, ( 1) log log n n n n n nn bb a c aa       ，求数列{}nc 的前 2n 项和 2nT . - 4 - 18．（本 小题满 分 12 分） 如图，在四边形 ABED 中， AB DE∥ ， AB BE ，点C 在 AB 上，且 AB CD ， 2AC BC CD   ， 现将 ACD△ 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PE 与平面 PBC 所成的角为 45． （1）求证：平面 PBC 平面 DEBC ； （2）求二面角 D PE B的余弦值． 19．（ 本小题 满分 12 分） 据《人民网》报道，“美国国家航空航天局 NASA 发文称，相比 20 年前世界变得更绿色了．卫星资 料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的 42% 来自于植树造林，下表是 中国十个地区在 2017 年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林 修复、人工更新的面积之和） 单位：公顷 地区 造林总面积 造林方式 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新 内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950 河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643 河南 149002 97647 13429 22417 15376 133 重庆 226333 100600 62400 63333 陕西 297642 184108 33602 63865 16067 甘肃 325580 260144 57438 7998 新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091 青海 178414 16051 159734 2629 宁夏 91531 58960 22938 8298 1335 - 5 - 北京 19064 10012 4000 3999 1053 （1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区 （只要求写出结果即可）. （2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过 50% 的概率 是多少？ （3）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记 X 为这两个地 区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求 X 的分布列及数学期望． 20．（ 本小题 满分 12 分） 椭圆 22 22: 1 ( 0)xyE a bab    的离心率是 5 3 ，过点 P（0, 1）作斜率为k 的直线l ， 椭圆 E 与直线 l 交于 ,AB两点，当直线 垂直于 y 轴时| | 3 3AB  ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）当 变化时，在 x 轴上是否存在点 ( ,0)Mm ，使得 AMB 是以 AB 为底的等腰三 角形，若存在求出 m 的取值范围，若不存在说明理由． 21．（ 本小题 满分 12 分） 已知函数 2( ) , ( ) ( ) (xxg x xe f x g x e ax a    是常数). 若对 aR ，函数 ( ) (h x kx k 是常数)的图象与 曲线 ()y f x 总相切于一个定点. （1）求 k 的值； - 6 - （2）若对 1 2 1 1 2 2, (0, ), [ ( ) ( )][ ( ) ( )] 0x x f x h x f x h x       ，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对 应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答的第一题评分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2cos 2sin x y        （  为参数），已知点  4,0Q ，点 P 是曲 线 1C 上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点 M 的轨迹 2C 的极坐标方程； （2）已知直线 :l y kx 与曲线 2C 交于 A ， B 两点，若 3OA AB ，求 k 的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数   2f x x m x m    的最大值为 3，其中 0m  . - 7 - （1）求 m 的值； （2）若 ,abR ， 0ab  ， 2 2 2a b m ，求证： 33 1ab ba. - 8 - 兰州一中 2019 届高三五月月考试卷 数学（理） 参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B C D A B A A B D C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 6 14. 12 15. 3 5 16. 1 2 三、解答题：共 70 分． 17. 解：（1）设数列{}na 的公比为 q . 若 1q  ，则 313 6 14Sa   ，与题意不符. 若 1q  ，则 3 3 2(1 ) 141 qS q  ，化简得 2 6 0,qq   解得 2q  或 3q  (舍) 12 2 2nn na     . ……………………………… 6 分 （2）由(1)及已知得 22log 2 1 2 1n nbn    ， 112 1 1 1( 1) ( 1) ( )( 1) 1 nn n nc n n n n       . 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 .1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1n nT n n n n n n                    … 12 分 18.（1）证明：∵ AB CD ， AB BE ，∴ CD EB∥ ， ∵ AC CD ，∴ PC CD ，∴ EB PC ，且 PC BC C ，∴ EB  平面 PBC ， 又∵ EB  平面 DEBC ，∴平面 PBC  平面 DEBC ． ……………………………… 6 分 （2）解：由（ 1）知 EB  平面 PBC ，∴ EB PB ，由 PE 与平面 PBC 所成的角 为 45 得 45EPB   ，∴ PBE△ 为等腰直角 三角形， ∴ PB EB ， ∵ AB DE∥ ，结合 CD EB∥ 得 2BE CD， ∴ 2PB  ，故 PBC△ 为等边三角形， 取 BC 的中点 O ，连结 PO ，∵ PO BC ，∴ PO  平面 EBCD ， 以 O 为坐标原点，过点 O 与 BE 平行的直线为 x 轴，CB 所在的直线为 y 轴，OP 所在的直线为 z 轴建 立空间直角坐标系如图， 则  0,1,0B ，  2,1,0E ，  2, 1,0D  ，  0,0, 3P ， - 9 - 从而  0,2,0DE  ，  2,0,0BE  ，  2,1, 3PE ， 设平面 PDE 的一个法向量为  ,,x y zm ，平面 PEB 的一个法向量为  ,,abcn ， 则由 0 0 DE PE    m m 得 20 2 3 0 y x y z     ，令 2z  得  3,0, 2  m ， 由 0 0 BE PE    n n 得 20 2 3 0 a a b c     ，令 1c  得  0, 3,1n ， 设二面角 D PE B的大小为 ，则 27cos 772       mn mn ， 即二面角 D PE B的余弦值为 7 7 ． ……………………………… 12 分 19．解：（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海 省． ……………………………… 2 分 （2）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过 50% 为事件 A ， 在十个地区中，有 7 个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比值 超过 ，则   7 10PA ． ……………………………… 6 分 （3）新封山育林面积超过五万公顷有 7 个地区：内蒙、河北、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中 退化林修复面积超过六万公顷有 3 个地区：内蒙、河北、重庆， 所以 X 的取值为 0，1，2， 所以   2 4 2 7 C 12 20 C 42 7PX    ；   11 34 2 7 C C C 24 41 42 7PX    ；   2 3 2 7 C C 612 42 7PX    ， 随机变量 的分布列为 X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 2 4 6( ) 0 1 27 1 777EX        ． ……………………………… 12 分 20．解：（1）由已知椭圆过点 33,12   ，可得 22 2 2 2 27 1 1,4 , 5 .3 ab a b c c a        - 10 - 解得 229, 4ab. 所以椭圆的 E 方程为 22 194 xy. ……………4 分 （2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， AB 的中点 00( , )C x y 由 22 1 194 y kx xy   消去 y 得 22(4 9 ) 18 27 0k x kx    ，显然 0 所以 12 0 0 022 94, 12 4 9 4 9 xx kx y kxkk       . …………………6 分 当 0k  时，设过点C 且与l 垂直的直线方程 22 1 9 4()4 9 4 9 kyxk k k    . 将 ( ,0)Mm 代入得： 5 4 9 m kk   . ……………………………8 分 若 0k  ，则 449 2 9 =12kkkk   ， 若 0k  ，则 4 4 49 [ ( 9 )] 2 ( 9 )= 12k k kk k k          . 所以 5 012 m   或 50 12m . ………………………………………11 分 当 0k  时， 0m  . 综上所述，存在点 M 满足条件, 实数 m 取值范围是 55{ | }12 12mm   . ……………12 分 21．解：（1）由已知得 2( ) , ( ) ( 1) 2xxf x xe ax f x x e ax     . 可设函数 ()h x kx 的图象与曲线 ()y f x 总相切于定点 00( , ( ))x f x ， 可得 0 0 0 0( ) ( 1) 2xf x x e ax    ，且 0()fx 的值是与 a 无关的常数，因而 000, ( ) 1x f x， 进而可求得切线方程为 yx ，得 ()h x x ，所以 1k  . ………………………………………4 分 （2）因为 ，所以可设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)( 0)xu x f x h x f x x x e ax x        . 可得题设即 1 2 2, (0, ), ( ) ( ) 0x x u x u x     ，也即 1()ux 与 2()ux 同号，也即 ( ) 0( 0)u x x恒成立或 ( ) 0( 0)u x x恒成立. - 11 - 设 ( ) 1( 0)xp x e ax x    ，可得 ( ) ( 0)xp x e a x    . 可得题设即 ( ) (0)( 0)p x p x恒成立或 ( ) (0)( 0)p x p x恒成立. ………………………………6 分 ①_x0001_ 1a  时，可得 ，所以 ()px 是增函数，此时满足题 意. ………………8 分 ②当 1a  时，可得 在 (0, ln ), (ln , )aa 上分别是减函数、增函数， 进而可得题设即 ( ) (0)( 0)p x p x恒成立. 取 2( ) 1( 1)ap a e a a    ，下面判断 ()pa 的正负： 设函数 2( ) 1( 1)aq a e a a    ，可得 ( ) 2 , ( ) 1 0( 1), ( )aaq a e a q a e a q a        是增函数， 因而 ( ) (1) 2 0( 1), ( )q a q e a q a     是增函数； 故 ( ) (1) 2 0( 1), ( ) 0( 1)q a q e a p a a        ， 说明 时不满足题意. 综上所述，可得所求实数 a 的取值范围是 ( , 1] . ………………………………………12 分 22. 解：（1）设  2cos ,2sinP ，  ,M x y ．且点  4,0Q ，由点 M 为 PQ 的中点， 所以 2cos 4 2 cos2 2sin sin2 x y             ，整理得 2 221xy   ．即 224 3 0x y x    ， 化为极坐标方程为 2 4 cos 3 0     ． ………………………………………5 分 （2）设直线 :l y kx 的极坐标方程为 ．设  1,A ，  2 ,B ， 因为 3OA AB ，所以 43OA OB ，即 1243 ． 联立 2 4 cos 3 0           ，整理得 2 4cos 3 0      ． 则 12 12 12 4cos 3 43            ，解得 7cos 8  ． 所以 22 2 1 15tan 1cos 49k      ，则 15 7k  ． ………………………………………10 分 23. 解：（1）∵ 0m  ，∴   3, 2 2 , 2 3 , 2 m x m f x x m x m x m m x m m x m              . - 12 - ∴当 2xm 时，  fx取得最大值3m . ∴ 1m  . ………………………………………5 分 （2）由（Ⅰ），得 221ab，  22 2 2 23 3 4 4 2 1 2 a b a ba b a b abb a ab ab ab      . ∵ 2212a b ab   ，当且仅当 ab 时等号成立， ∴ 10 2ab. 令   1 2h t tt ， 10 2t . 则  ht在 10, 2    上单调递减.∴   1 12h t h . ∴当 时， 1 21abab . ∴ 33 1ab ba. ………………………………………10 分