天津市和平区耀华中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

天津市和平区耀华中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

耀华中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.‎ ‎【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A选项正确.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎2.已知数列等差数列，若，，则公差（　　　　）‎ A. 0 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用等差数列的通项公式，可得公差d的值．‎ ‎【详解】解：∵数列是等差数列设公差为，若， ，解得 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．‎ ‎3.若，则“成等比数列”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论．‎ 详解：由题意得，例如，此时构成等比数列，而不成立，‎ 反之当时，若，则，所以构成等比数列，‎ 所以当时，构成等比数列是构成的等比数列的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．‎ ‎4.在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为（　　　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合等差数列的求和公式可得，，由等差数列的性质可知，，结合已知可得，，即可判断．‎ ‎【详解】解：等差数列中，且满足，‎ ‎∴，‎ 由等差数列的性质可知，，‎ ‎∵首项，公差，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 则的最大项为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．‎ ‎5.数列满足，，则（　　　　）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知分析数列的周期性，可得答案．‎ ‎【详解】解：∵数列满足，，‎ ‎∴，， ， ，‎ 故数列以4为周期呈现周期性变化，‎ 由，‎ 故，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档．‎ ‎6.若不等式的解集是，则不等式的解集是（　　　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的解集求出a、b和c的关系，‎ 代入不等式中化简，即可求出该不等式的解集．‎ ‎【详解】解：不等式的解集是，‎ 所以方程的解是-2和3，且；‎ 即，‎ 解得，；‎ 所以不等式化为，‎ 即，‎ 解得或，‎ 所以所求不等式的解集是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与对应一元二次方程的关系问题，是基础题．‎ ‎7.不等式 ，对一切 恒成立，则 的取值范围是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎①当a=2时，不等式恒成立。故a=2成立 ‎②当a≠2时，要求 解得：a∈(−2,2)‎ 综合①②可知：a∈(−2,2]‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．‎ ‎8.设常数a＞0，若对一切正实数x成立，则a的取值范围为（　　　　）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用基本不等式求出的范围，再解关于a的不等式即可．‎ ‎【详解】解：因为：，，‎ 所以：2=‎6a．‎ ‎∴原不等式恒成立，即可转换为，解得．‎ 所以a的取值范围为：．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式以及不等式恒成立问题，属于常见题型，是基础题目．‎ ‎9.数列满足=，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前项和公式，化简数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的前项和.‎ ‎【详解】，所以数列的前项和为,‎ ‎，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的前项和，利用裂项相消法求数列的前项和.‎ ‎10.已知，，且满足，则的最小值为（　　　　）‎ A. 7 B. ‎9 ‎C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，利用基本不等式可求得最值，注意等号成立的条件．‎ ‎【详解】解：因为，，且满足，‎ 所以≥9，‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．‎ ‎11.已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，得到数列为单调递减数列，可知，分和两种情况讨论，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，对于任意的都有，所以数列为单调递减数列，‎ 由时，，根据指数函数的性质，可知，‎ ‎①当时，时，单调递减，而时，单调递减，‎ 所以，解得，所以；‎ ‎②当时，时，单调递增，不符合题意（舍去）．‎ 综上可知，实数的取值范围是，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的单调性，以及分段函数的的单调性的应用，其中解答中根据数列的单调性，利用分段函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12.设正实数满足．则当取得最大值时，的最大值为（　　　　）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出取得最大值为1，得到x，y，z关系，代入所求式子，得到关于y的函数求解即可．‎ ‎【详解】解：正实数满足，‎ 即，‎ 所以，当且仅当时，取等号 所以的最大值为1，且，此时，‎ ‎=，‎ 令t=，则，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】考查了均值不等式的应用，一元二次函数求最值，换元法等，中档题．‎ 二、填空题（本大题共6小题）‎ ‎13.等比数列中，为其前n项和，若，则______．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出a1，a2，a3，再由a1，a2，a3是等比数列，能求出a的值．‎ ‎【详解】解：∵等比数列中，为其前n项和，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵是等比数列，‎ ‎∴，∴，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查实数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎14.已知p：，q：，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出，的的范围，利用是的充分而不必要条件，即可得出答案 ‎【详解】：，解得 ‎：，解得 是的充分而不必要条件，‎ ‎，解得，等号不同时成立 的取值范围为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法、充分不必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，解题的关键是掌握两个命题之间的关系 ‎15.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). 121‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，‎ 再由，又，‎ 所以 ‎【考点】等比数列的定义，等比数列的前项和．‎ ‎【易错点睛】由转化为的过程中，一定要检验当时是否满足，否则很容易出现错误.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.等比数列中，如果，则的值为______．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的通项公式的性质求解．‎ ‎【详解】解：∵等比数列中，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的两项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎17.已知数列满足则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．‎ ‎【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33‎ 且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．‎ 从而 设f（n），令f′（n），‎ 则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，‎ 因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．‎ 又因为，，‎ 所以的最小值为 故答案为： ‎ ‎【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．‎ ‎18.下列命题中：‎ ‎①若a2+b2=2，则a+b的最大值为2；‎ ‎②当a＞0，b＞0时，；‎ ‎③函数的最小值为2；‎ ‎④当且仅当a，b均为正数时，恒成立．‎ 其中是真命题的是______．（填上所有真命题的序号）‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①，设，，进而利用三角函数求解；‎ ‎②③④均可利用基本不等式求解；‎ ‎【详解】解：①，设，，则 ‎，所以①正确；‎ ‎②当a＞0，b＞0时，+2≥+2≥2=4，当且仅当a=b=1时等号成立，所以②正确；‎ ‎③函数==+≥2=2，当且仅当，即时等号成立，故③不正确；‎ ‎④当且仅当同号时，，， 恒成立，所以可以同时为负，故④不正确；‎ 故答案为：①②‎ ‎【点睛】考查基本不等式的“一正，二定，三相等”，及三角函数在求最值时的应用，属于中档题；‎ 三、解答题（本大题共2小题）‎ ‎19.已知为各项均为正数的等比数列， ，；为等差数列的前n项和，，．‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）设，求．‎ ‎【答案】(1) an=4n-1．bn= 3n-1．(2) Tn=（n-）4n+‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用a1=1，a5=256求出公比即可求出{an}的通项公式；把5S5=2S8转化为用首项和公差来写求出公差即可求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）直接利用（1）的结论对数列{an•bn}用错位相减法求和即可求Tn．‎ ‎【详解】解：（1）设的公比为，由得，因为各项均为正数，所以，所以．‎ 设的公差为，由得，，‎ 所以．‎ ‎（2）‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎②-①得：‎ ‎【点睛】本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若正数a，b满足，且对于任意的，恒成立，求实数a，b的值．‎ ‎【答案】(1)答案不唯一见解析；(2) a，b的值分别为1，2．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可得，然后分， 和三种情况解出不等式即可；‎ ‎（2）根据条件利用基本不等式可得，又，从而得到=3且a=1，进一步求出b的值．‎ ‎【详解】解：（1）当时，不等式，‎ 即．‎ ‎∴①当时，不等式的解集为；‎ ‎②当时，不等式的解集为；‎ ‎③当时，不等式的解集为．‎ ‎（2）由对于任意恒成立，可得．‎ ‎∴≥=≥，‎ 当且仅当，即a=1时取等号，‎ 又∵，∴=3且a=1，∴b=2．‎ ‎∴a，b的值分别为1，2．‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式解法，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．‎