2019-2020学年贵州省遵义市南白中学高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年贵州省遵义市南白中学高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年贵州省遵义市南白中学高二上学期第三次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由二次不等式的解法求再利用集合交集的运算可得，得解.‎ ‎【详解】‎ 解:因为 ‎ 所以,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题.‎ ‎2．己知等差数列中，，则（ ）‎ A．7 B．8 C．14 D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等差数列的性质，求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质，属于基础题型.‎ ‎3．椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出后可求椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则 ‎，所以，故离心率为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的求法，一般地，可从椭圆的标准方程中得到基本量即长半轴长、短半轴长，再利用计算半焦距后可求椭圆的离心率.‎ ‎4．命题“”的否定为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零，‎ 即命题“”的否定为“”，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了特称命题与全称命题的否定,属基础题.‎ ‎5．若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】正视图是从前向后看得到的视图，结合选项即可作出判断．‎ ‎【详解】‎ 解：所给图形的正视图是A选项所给的图形，满足题意． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握正视图是从前向后看得到的视图．‎ ‎6．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用指对函数的图象与性质即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎∴‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数、指数函数的单调性，中间量0和1，考查了推理和计算能力，属于基础题．‎ ‎7．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】B ‎【解析】先解得，而根据q是p的必要不充分条件便得到，解该不等式组即得m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，是的必要不充分条件，‎ 所以由能推出，而由推不出，，，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用一元二次不等式的解法先求出p，q所表示的范围是解决本题的关键，属基础题.‎ ‎8．已知是定义在上的偶函数，对于任意的非负实数，若，则，如果，那么不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得到函数在上是减函数，在上是增函数，由得到，解之即得解.‎ ‎【详解】‎ 对于任意的非负实数，若，则，‎ 所以函数在上是减函数，‎ 因为函数是R上的偶函数，‎ 所以函数在上是减函数，在上是增函数，‎ 因为，，‎ 所以 所以，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性的判断和应用，考查函数的奇偶性的应用，考查抽象函数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9．明代数学家程大位(1533-1606 年)所著《算法统宗》中有这样一个问题:“旷野之地有个桩，桩上系着一腔羊，团团踏破三亩二。试问羊绳几丈长”意思是“一条绳索系着一只羊，羊踏坏一块面积为亩的圆形庄稼，试求绳的长度(即圆形半径)”(明代度量制:步=尺，亩=平方步，丈=尺，圆周率.)‎ ‎（ ）.‎ A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 ‎【答案】B ‎【解析】由题得已知圆的面积,求圆的半径即可,注意单位的转换即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得面积为亩,即平方步,由圆的面积设半径步,则,‎ 取则,步,又丈=尺, 步=尺,故丈=2步,故步丈,‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的面积公式,注意单位转换即可,属于简单题.‎ ‎10．函数的图像大致为 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.‎ 详解：为奇函数，舍去A,‎ 舍去D;‎ ‎，‎ 所以舍去C；因此选B.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． ‎ ‎11．设正实数满足．则当取得最大值时，的最大值为（　　　　）‎ A．0 B．1 C． D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出取得最大值为1，得到x，y，z的关系，代入所求式子，得到关于y的函数求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：正实数满足，‎ 即，‎ 所以，当且仅当时，取等号 所以的最大值为1，且，此时，‎ ‎=，‎ 令t=，则，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 考查了均值不等式的应用，一元二次函数求最值，换元法等，中档题．‎ ‎12．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是一个正三角形，若平面平面，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】过作，交于，取的中点，连接，取的三等分点（），取的中点，在平面过分别作 的垂线，交于点，可证为外接球的球心，利用解直角三角形可计算．‎ ‎【详解】‎ 如图，过作，交于，取的中点，连接，在的三等分点（），取的中点，在平面过分别作的垂线，交于点．‎ 因为为等边三角形，，所以．‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，因平面，故． ‎ 又因为四边形为正方形，而为的中点，故，故，‎ 因，故平面．‎ 在中，因，故，故平面，‎ 同理平面．‎ 因为正方形的中心，故球心在直线上，‎ 因为的中心，故球心在直线上，故为球心，为球的半径．‎ 在中，，，‎ 故，所以球的表面积为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 几何体的外接球的半径的计算，关键在于球心位置的确定，其基本方法是利用球心到各顶点的距离相等，因此球心在底面（或侧面）上的投影为底面（或侧面）的外接圆的圆心，从而把半径的计算归结为平面图形中几何线段的长度的计算．‎ 二、填空题 ‎13．向量，若，则实数____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由向量垂直对应坐标形式的数量积为零，即可求解出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据向量垂直求解参数，难度较易.已知，若则有.‎ ‎14．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理得，‎ 所以，‎ 即 解得（舍去）‎ 所以，‎ ‎【点睛】‎ 本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．‎ ‎15．已知，分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首次按判断出为等腰三角形只可能，再利用直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中，即可解出椭圆离心率的范围 ‎【详解】‎ 为等腰三角形，只可能 ‎ 即，‎ 又因为点在直线上，即 又因为椭圆 ‎ 所以 故填 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的离心率的取值范围，找到直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中，是解本题的关键，属于中档题。‎ ‎16．已知为单位圆的一条弦，为单位圆上的点，若（）的最小值为，当点在单位圆上运动时，的最大值为，则线段的长度为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,则,即为点到直线 的距离,再根据弦长公式求解即可 ‎【详解】‎ 设,则,‎ ‎,点在直线上,‎ 为点到直线的距离,且,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查弦长公式的应用,考查线性运算,考查直线与圆的位置关系,考查数形结合思想与转化思想 三、解答题 ‎17．在平面四边形中，，，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；‎ ‎（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，由正弦定理得.‎ 由题设知，，所以.‎ 由题设知，，所以；‎ ‎（2）由题设及（1）知，.‎ 在中，由余弦定理得 ‎.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.‎ ‎18．《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 违章驾驶员人数 ‎（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；‎ ‎（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ 参考公式： ,参考数据：.‎ ‎【答案】（1）；（2）49.‎ ‎【解析】（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得的值，得到回归直线方程；‎ ‎（2）令，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表中数据知， ，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴所求回归直线方程为.‎ ‎（2）令，则人.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知等比数列的公比，且为，的等比中项，为，的等差中项。‎ ‎（Ⅰ）求q的值；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：。‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】(I)利用等比中项、等差中项即可列出关系式求解；(II)由可得数列的通项，当时，满足条件；当时，利用放缩法将数列放大成数列，利用等比数列求和公式即可得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意得则解得.‎ ‎（Ⅱ）由题知，则.‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 故，‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】‎ 数列求和常用方法有错位相减法、裂项相消法、公式法、分组求和法.‎ ‎20．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，且,为中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由平面，可得，再由正方形中，得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，再由等腰三角形的性质可得，可得证； ‎ ‎（2）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，再分别求出面的一个法向量和平面的一个法向量，再由向量的夹角运算可求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）证明：平面，，‎ 又正方形中，，平面，‎ 又平面，，，是的中点，‎ 所以，平面 ‎（2）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意知：‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，则，‎ ‎，令，得到，，‎ 平面，，‎ 又正方形中，，平面 又，‎ 平面的一个法向量为，‎ 设二面角的平面角为，由图示可知二面角为锐角，‎ 则.二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间的线面垂直关系的证明和求二面角的问题，关键在于需证明线垂直于面内的两条相交直线，在运用向量法求得法向量的夹角的余弦值后需判断二面角是锐角还是钝角，再取相应的值，属于基础题.‎ ‎21．设是圆上的动点，点是在轴上的投影，且.‎ ‎（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）求过点(1,0)，倾斜角为的直线被所截线段的长度.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设的坐标为,的坐标为.由,可得,可列出,坐标关系式为,即可得到的轨迹的方程.‎ ‎（2）设直线方程为:,代入椭圆方程,由韦达定理和弦长公式:,即可求得直线被C所截线段的长度.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设的坐标为,的坐标为.‎ ‎ 由,可得,‎ ‎ 的坐标为,是圆上的动点 ‎ ┄①‎ ‎ ,坐标关系式为: ┄②代入①得:‎ 整理可得的轨迹的方程: ‎ ‎（2）求过点,倾斜角为的直线方程为: ‎ 设直线与轨迹的交点为 ‎ 将直线方程与轨迹方程联立方程组,消掉 ‎ 得: ‎ 整理可得: ‎ 根据韦达定理得: ‎ ‎∴线段AB的长度为: ‎ 所以线段AB的长度:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了动点轨迹和弦长求解.在求直线和圆锥曲线交点弦长时,结合韦达定理和弦长公式可以简化计算.‎ ‎22．设椭圆，右顶点是，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）由椭圆右顶点的坐标为A（2，0），离心率，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；（2）当直线斜率不存在时，设，易得，当直线斜率存在时，直线，与椭圆方程联立，得，由可得，从而得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）右顶点是，离心率为，‎ 所以，∴，则，‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，设，‎ 与椭圆方程联立得：，，‎ 设直线与轴交于点，，即，‎ ‎∴或 (舍），‎ ‎∴直线过定点；‎ 当直线斜率存在时，设直线斜率为，，则直线 ‎，与椭圆方程联立，得，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，则，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ ‎∴直线或，‎ ‎∴直线过定点或舍去；‎ 综上知直线过定点.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中定点问题的常见解法 ‎（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎