数学理卷·2018届江西省西路片区七校高三第一次联考（2017

数学理卷·2018届江西省西路片区七校高三第一次联考（2017

江西省西路片七校2018届高三第一次联考 数学试题（理科）‎ 命题：井冈山中学 贺平桂 审题：任弼时中学 李忠华 第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）‎ 一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知全集，集合，集合，那么（ ）‎ A. B. C. D．‎ ‎2．若复数，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．若等差数列的公差为，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值等于（ ）‎ ‎ A．7 B．‎6 C．5 D．4 ‎ ‎4.已知上的奇函数满足：当时，，则（ ）‎ A. B． C. D. ‎ ‎5.下列命题正确的个数为（ ）‎ ①“都有”的否定是“使得”；‎ ‚②“”是“”成立的充分条件；‎ ƒ③命题“若，则方程有实数根”的否命题为真命题 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.函数的图象大致是（ ）‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积等于 （ ）‎ A． B． ‎ ‎ ‎ ‎ C． D．‎ ‎8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一 ‎ 首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，‎ 逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，‎ 当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，‎ 则一开始输入的的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.对锐角α若，则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10．如图所示，在梯形ABCD中，∠B＝，，BC＝2，‎ 点E为AB的中点，若向量在向量上的投影为，‎ 则（ ）‎ A． ‎ B．－‎2 C．0 D．‎ ‎11. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为2，的面积为，则（ ） ‎ ‎ A. 2 B． ‎1 C． D．3‎ ‎12.已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）‎ ‎13．若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是_____________ . (结果用最简分数表示).‎ ‎14．，则展开式中，项的系数为 . ‎ ‎15. 已知满足的最大值为，若正数满足，则的最小值为 .‎ ‎16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为 ．‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令,设数列的前项和为,求.‎ ‎18. （本小题满分分）‎ 已知向量，，设函数，若函数的图象关于直线对称且．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，求的最大值．‎ ‎19．（本小题满分12分）高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+‎3”‎的构成模式，第一个“‎3”‎是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“‎3”‎由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，“将A市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B，从学生群体B中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计表如下： 选考物理、化学、生物的科目数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 人数 ‎5‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎（Ⅰ）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；‎ ‎（Ⅱ）从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率，现从学生群体B中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“”的概率．‎ ‎20．(本小题满分12分) 如图，四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，，，，为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）设的中点为，求平面与平面所成二面角的平 ‎ 面角的余弦值．‎ ‎21．(本小题满分12分) 已知椭圆：的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且的周长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于、两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程．‎ ‎22. （本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当a＞0时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）当a＜0时，求函数在上的最小值；‎ ‎（Ⅲ）记函数的图象为曲线C，设点A（，），B（，）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．‎ 西路片七校联考测试卷 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A B B B D C D C B A B 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．‎ ‎13． ; 14. ; 15. ; 16. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 解析：(1)设数列的公差为,数列的公比为,则 由得解得 所以，． …………………5分 ‎ (2)由(1)可知 ‎ ………………①‎ ‎ ………………②‎ ‎①-②得:‎ ‎ …………………10分 ‎18．解：（1）‎ ‎ 　 …………………2分 ‎ 函数的图象关于直线对称，则 ‎ 则，且，则 …………………4分 ‎ ∴，令，解得 ‎∴函数的单调递减区间为　 …………………6分 ‎（2），且A是△ABC内角，‎ ‎∴，则，所以，则，‎ ‎ 　∵，由余弦定理 ‎ 　则，而，所以 ‎，当且仅当时，‎ 所以的最大值为．…………………12分 ‎19. 解：（1）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A ‎ 则 ‎ 　所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为 ‎ 　 　　 ……………3分 ‎（2）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2‎ ‎ 　，　‎ ‎ 　 …………………6分 ‎ 　从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ 　 …………………8分 ‎（3）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名 ‎ 　相应的概率为，所以~ 　 …………………10分 ‎ 　所以事件“”的概率为 ‎　…………12分 ‎20. 解：（1）在等腰梯形中，过点作于点，‎ 如图所示：有 ‎∴在中，有，即 又因为平面平面且交线为，∴平面.---5分 ‎（2） 由平面平面，且为正三角形,为的中点，‎ ‎∴，得平面．‎ 如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于所在直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 由条件，则，，．‎ 则，，，．------- 6分 在等腰梯形中，过点作的平行线交延长线于点如图所示：‎ 则在中，有，，∴．------- 7分 ‎（另解:可不做辅助线，利用求点坐标）‎ ‎∴，，设平面的法向量 则 ，取，则，，‎ ‎∴面的法向量．------- 9分 同理有，，设平面的法向量 则 ，‎ 取，则，，∴面的法向量．--10分 设平面与平面所成二面角的平面角为，‎ ‎∴．‎ 即平面与平面所成二面角的余弦值为．------- 12分 ‎（2）∵，∴四边形为平行四边形，‎ 显然直线的斜率存在，设的方程为，‎ 把代入得，‎ 由得，‎ ‎∴，，‎ ‎∵………………………7分 ‎∴‎ ‎=，‎ 令，∴，‎ ‎∴…………………10分 当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴，此时的方程为。 12分 ‎22. 解：（1）∵f（x）=ax2+（1﹣‎2a）x﹣lnx，‎ ‎∴f′（x）=2ax+（1﹣‎2a）﹣=，‎ ‎∵a＞0，x＞0，‎ ‎∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，‎ ‎∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）； …………………3分 ‎（2）当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=﹣，x2=1，‎ ‎①当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，‎ ‎∴f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1﹣a．‎ ‎②当≤﹣≤1，即﹣1≤a≤﹣时，‎ f（x）在[，﹣]上是减函数，在[﹣，1]上是增函数，‎ ‎∴f（x）的最小值为f（﹣）=1﹣+ln（﹣‎2a）．‎ ‎③当﹣＜，即a＜﹣1时，f（x）在[，1]上是增函数，‎ ‎∴f（x）的最小值为f（）=﹣a+ln2．‎ 综上，函数f（x）在区间[，1]上的最小值为：‎ f（x）min=‎ ‎； …………………8分 ‎（3）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=，‎ 直线AB的斜率k1== [a（x12﹣x22）+（1﹣‎2a）（x1﹣x2）+lnx2﹣lnx1]‎ ‎=a（x1+x2）+（1﹣‎2a）+，‎ 曲线C在点N处的切线斜率k2=f′（x0）=2ax0+（1﹣‎2a）﹣=a（x1+x2）+（1﹣‎2a）﹣，‎ 假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，‎ 即=﹣，‎ ‎∴ln ==，‎ 不妨设x1＜x2， =t＞1，则lnt=，‎ 令g（t）=lnt﹣（t＞1），则g′（t）=﹣=＞0，‎ ‎∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，‎ ‎∴g（t）＞0，即lnt=不成立，‎ ‎∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB． …………………12分