2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题

2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题

黑龙江省牡丹江市第三高级中学 2019-2020 学年高二上学期期末考试 理科数学试卷 考试时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1．复数 z＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　) A．第一象限　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．函数 f(x)＝x3＋4x＋5 的图象在 x＝1 处的切线在 x 轴上的截距为(　　) A．10 B．5 C．－1 D．－3 7 3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是(　　) ①平行于同一直线的两条直线平行； ②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A．①②③ B．①③ C．① D．②③ 4．函数 y＝x3－3x2－9x(－22，则 f(x)>2x＋4 的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 12．设函数 f′(x)是奇函数 f (x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x＞0 时，xf′(x)－f(x)＜0，则使 得 f(x)＞0 成立的 x 的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知复数 z＝ －1＋i 1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________　象限． 14．垂直于直线 2x－6y＋1＝0 并且与曲线 y＝x3＋3x2－5 相切的直线方程是________． 15．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直 线 y＝0 在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的 面 积为27 4 ，则 a 的值为________． 16．若 Rt△ABC 中两直角边为 a，b，斜边 c 上的高为 h，则1 h2＝ 1 a2＋ 1 b2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥 P－ABC，PO 为棱锥的高， 记 M＝ 1 PO2，N＝ 1 PA2＋ 1 PB2＋ 1 PC2，那么 M，N 的大小关系是________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知曲线 y＝5 x，求： (1)曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程； (2)求过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程． 3OM OA OB OC= − −    OCOBOAOM 2 1 3 1 5 1 ++= =++ MCMBMA 0 =+++ OCOBOAOM 0 18．(本小题满分 12 分) 已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且 f(－1)＝2，f ′(0)＝0， ∫1 0f(x)dx＝－2，求 a、b、c 的值． 19．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ax3＋bx＋1 的图象经过点(1，－3)且在 x＝1 处，f(x) 取得极值．求： (1)函数 f(x)的解析式； (2)f(x)的单调递增区间． 20．(本小题满分 12 分) 如图所示，四棱锥 S﹣ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形， BA⊥AC，SA⊥平面 ABCD． （Ⅰ）求证：AC⊥SB； （Ⅱ）若 AB＝AC＝SA＝3，E 为线段 BC 的中点，F 为线段 SB 上靠近 B 的三等分点，求直线 SC 与平面 AEF 所成角的正弦值． 21．(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，M 是棱 的中点， 求证： ； 求直线 AM 与平面 所成角的正弦值． 22．(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln(1+x) - ln(1-x), (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)>2; (3)设实数 k 使得 f(x)>k 对 x∈(0,1)恒成立,求 k 的最大值. 2019-2020 学年度第一学期期末试题答案 高二理科数学试卷 考试时间:120 分钟 分值:120 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1．复数 z＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：　∵z＝2－i 2＋i＝ (2－i)2 (2＋i)(2－i)＝4－4i－1 5 ＝3 5－4 5i， ∴复数 z 对应的点的坐标为( 3 5，－4 5)，在第四象限． 答案：　D 2．函数 f(x)＝x3＋4x＋5 的图象在 x＝1 处的切线在 x 轴上的截距为(　　) A．10 B．5 C．－1 D．－3 7 解析：　f′(x)＝3x2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝0 时，x＝－3 7. 答案：　D 3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是(　　) ①平行于同一直线的两条直线平行； ②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A．①②③ B．①③ C．① D．②③ 解析：　类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为： 一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为： 如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立． 答案：　A 4．函数 y＝x3－3x2－9x(－20；当 x>－1 时， y′<0. 当 x＝－1 时，y 极大值＝5，x 取不到 3，无极小值． 答案：　C 5．函数 y＝4x2＋1 x的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，1) C．( 1 2，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：　令 y′＝8x－1 x2＝8x3－1 x2 >0，即(2x－1)(4x2＋2x＋1)>0，且 x≠0，得 x>1 2. 答案：　C 6．下列计算错误的是(　　) A．∫π －π sin xdx＝0 B．∫1 0 xdx＝2 3 C． cos xdx＝2 cos xdx D．∫π －π sin2xdx＝0 解析：　由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果． 答案：　D 7．余弦函数是偶函数，f(x)＝cos(x＋1)是余弦函数，因此 f(x)＝cos(x＋1)是偶函数，以上 推理(C ) A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 解析：f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误． 8.设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z=(　A　) A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i 9.若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围是(　D　) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) 10.在下列条件中，使 M 与 A、B、C 一定共面的是 （A ） A． B． C． D． 11．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)>2，则 f(x)>2x＋4 的解集为 (　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析：　设 m(x)＝f(x)－(2x＋4)， 则 m′(x)＝f′(x)－2>0， ∴m(x)在 R 上是增函数． ∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0， ∴m(x)>0 的解集为{x|x>－1}， 即 f(x)>2x＋4 的解集为(－1，＋∞)． 答案：　B 12．设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x＞0 时，xf′(x)－f(x)＜0， 则使得 f(x)＞0 成立的 x 的取值范围是(A) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－ 1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：记函数 g(x)＝ f（x） x ，则 g′(x)＝ xf′（x）－f（x） x2 ，因为当 x＞0 时，xf′(x)－f(x)＜ 0，故当 x＞0 时，g′(x)＜0，所以 g(x)在(0，＋∞)单调递减；又因为函数 f(x)(x∈R)是奇函数， 故函数 g(x)是偶函数，所以 g(x)在(－∞，0)单调递减，且 g(－1)＝g(1)＝0.当 0＜x＜1 时，g(x)＞ 0，则 f(x)＞0；当 x＜－1 时，g(x)＜0，则 f(x)＞0，综上所述，使得 f(x)＞0 成立的 x 的取值范 围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知复数 z＝ －1＋i 1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________　象限． 3OM OA OB OC= − −    OCOBOAOM 2 1 3 1 5 1 ++= =++ MCMBMA 0 =+++ OCOBOAOM 0 解析：　z＝ －1＋i 1＋i －1＝－1＋i. 答案：　二 14．垂直于直线 2x－6y＋1＝0 并且与曲线 y＝x3＋3x2－5 相切的直线方程是________． 解析：　设切点为 P(a，b)，函数 y＝x3＋3x2－5 的导数为 y′＝3x2＋6x，切线的斜率 k＝ y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得 a＝－1，代入到 y＝x3＋3x2－5，得 b＝－3，即 P(－1，－3)，y＋3 ＝－3(x＋1)，3x＋y＋6＝0. 答案：　3x＋y＋6＝0 15．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线 y＝0 在原点处相切， 此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为27 4 ，则 a 的值为________． 解析：　由题意可知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(0)＝0 ∴b＝0， ∴f(x)＝x2(x＋a)，有27 4 ＝∫－a0 [0－(x3＋ax2)]dx＝－( x4 4＋ax3 3 )Error!－a0 ＝a4 12，∴a＝±3. 又－a>0⇒a<0，得 a＝－3. 答案：　－3 16．若 Rt△ABC 中两直角边为 a，b，斜边 c 上的高为 h，则1 h2＝ 1 a2＋ 1 b2，如图，在正方体 的一角上截取三棱锥 P－ABC，PO 为棱锥的高，记 M＝ 1 PO2，N＝ 1 PA2＋ 1 PB2＋ 1 PC2，那么 M， N 的大小关系是________． 解析：　在 Rt△ABC 中，c2＝a2＋b2①，由等面积法得 ch＝ab， ∴c2·h2＝a2·b2②，①÷②整理得 1 h2＝ 1 a2＋ 1 b2. 类比得，S 2△ ABC＝S 2△ PAB＋S 2△ PBC＋S 2△ PAC③，由等体积法得 S △ABC·PO＝1 2PA·PB·PC， ∴S 2△ ABC·PO2＝1 4PA2·PB2·PC2④， ③÷④整理得 M＝N. 答案：　M＝N 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知曲线 y＝5 x，求： (1)曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程； (2)求过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程． 解析：　(1)设切点为(x0，y0)，由 y＝5 x， 得 y′|x＝x0＝ 5 2 x0. ∵切线与 y＝2x－4 平行， ∴ 5 2 x0＝2，∴x0＝25 16，∴y0＝25 4 ， 则所求切线方程为 y－25 4 ＝2(x－25 16)，即 2x－y＋25 8 ＝0. (2)∵点 P(0,5)不在曲线 y＝5 x上， 故需设切点坐标为 M(x1，y1)，则切线斜率为 5 2 x1. 又∵切线斜率为y1－5 x1 ，∴ 5 2 x1＝y1－5 x1 ＝5 x1－5 x1 ， ∴2x1－2 x1＝x1，得 x1＝4. ∴切点为 M(4,10)，斜率为5 4， ∴切线方程为 y－10＝5 4(x－4)，即 5x－4y＋20＝0. 18．(本小题满分 12 分) 已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且 f(－1)＝2，f ′(0)＝0，∫1 0f(x)dx＝ －2，求 a、b、c 的值． [解析]　∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2.① 又∵f ′(x)＝2ax＋b，∴f ′(0)＝b＝0② 而 ∫1 0f(x)dx＝∫1 0(ax2＋bx＋c)dx， 取 F(x)＝1 3ax3＋1 2bx2＋cx， 则 F′(x)＝ax2＋bx＋c， ∴∫1 0f(x)dx＝F(1)－F(0)＝1 3a＋1 2b＋c＝－2③ 解①②③得 a＝6，b＝0，c＝－4. 19．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ax3＋bx＋1 的图象经过点(1，－3)且在 x＝1 处，f(x) 取得极值．求： (1)函数 f(x)的解析式；(2)f(x)的单调递增区间． 解析：　(1)由 f(x)＝ax3＋bx＋1 的图象过点(1，－3)得 a＋b＋1＝－3， ∵f′(x)＝3ax2＋b， 又 f′(1)＝3a＋b＝0， ∴由Error!得Error!， ∴f(x)＝2x3－6x＋1. (2)∵f′(x)＝6x2－6， ∴由 f′(x)>0 得 x>1 或 x<－1， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)． 20．(本小题满分 12 分) 如图所示，四棱锥 S﹣ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形， BA⊥AC，SA⊥平面 ABCD． （Ⅰ）求证：AC⊥SB； （Ⅱ）若 AB＝AC＝SA＝3，E 为线段 BC 的中点，F 为线段 SB 上靠近 B 的三等分点，求直线 SC 与平面 AEF 所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）∵SA⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，∴SA⊥AC， 又 BA⊥AC，SA∩BA＝A，∴AC⊥平面 SAB， 又 SB⊂平面 SAB，∴AC⊥SB． （Ⅱ）以 AB、AC、AS 为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示坐标系， 则 A（0，0，0），S（0，0，3），C（0，3，0），E（ ， ，0），F（2，0，1）， ∴ ＝（ ， ，0）， ＝（2，0，1）， ＝（0，﹣3，3）， 设 ＝（x，y，z）为平面 AEF 的法向量， ，∴ ，∴ ， 令 x＝﹣1，得一个法向量 ＝（﹣1，1，2）， cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝ 即直线 SC 与平面 AEF 所成角的正弦值为 ． 21．(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，M 是棱 的中点， 求证： ； 求直线 AM 与平面 所成角的正弦值． 【解析】 如图，以 B 为原点，BA、 所在直线为 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则 0， ， 2， ， 2， ， ， ， ， ， 即 ， ； 轴 面 ， 面 的法向量取 0， ， 设直线 AM 与平面 所成角为 ， ， 直线 AM 与平面 所成角的正弦值为 ． 22．(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln(1+x) - ln(1-x), (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)>2; (3)设实数 k 使得 f(x)>k 对 x∈(0,1)恒成立,求 k 的最大值. 解:(1)因为 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x), 所以 f'(x)=,f'(0)=2. 又因为 f(0)=0,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=2x. (2)令 g(x)=f(x)-2, 则 g'(x)=f'(x)-2(1+x2)=. 因为 g'(x)>0(0g(0)=0,x∈(0,1), 即当 x∈(0,1)时,f(x)>2. (3)由(2)知,当 k≤2 时,f(x)>k 对 x∈(0,1)恒成立. 当 k>2 时,令 h(x)=f(x)-k, 则 h'(x)=f'(x)-k(1+x2)=. 所以当 02 时,f(x)>k 并非对 x∈(0,1)恒成立. 综上可知,k 的最大值为 2.