高考数学【理科】真题分类详细解析版专题16 直线和圆（原卷版）
专题16 直线和圆
【2013高考真题】
（2013·新课标Ⅱ理）（12）已知点A（-1，0）；B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是
（A）（0，1） (B)（1-，） ( C)（1-， (D)[,）
（2013·新课标Ⅱ理）（9）已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=
(A) (B) (C)1 (D)2
（2013·新课标Ⅱ理）（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l则（ ）
（A）α∥β且∥α （B）α⊥β且⊥β
（C）α与β相交，且交线垂直于 （D）α与β相交，且交线平行于
（2013·浙江理）13、设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________。
（2013·天津理）11. 已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = .
（2013·天津理）4. 已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0与圆相切.
其中真命题的序号是: （ ）
(A) ①②③ (B) ①②
(C) ①③ (D) ②③
（2013·天津理）2. 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（ ）
(A) －7 (B) －4
(C) 1 (D) 2
（2013·陕西理）13. 若点(x, y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 .
（2013·山东理）8.函数的图象大致为
（2013·山东理）6.在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为
A. B. C. D.
（2013·江西理）9.过点（，0）引直线ι与曲线 交于A,B两点 ，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线ι的斜率等于（ ）
A. B.- C. D-
（2013·湖南理）11.如图2，在半径为的中,弦
（2013·湖南理）4.若变量满足约束条件，
A． B． C． D．
（2013·大纲理）15.记不等式组，所表示的平面区域为D.若直线与D有公共点，则a的取值范围是
（2013·广东理）13. 给定区域:,令点集
是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______
条不同的直线.
（2013·湖南理）9.在平面直角坐标系中，若
右顶点，则常数 .
（2013·大纲理）16.已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为，则球O的表面积等于
（2013·北京理）11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，PA=3，，则PD= ，AB= .
9.在极坐标系中，点(2，)到直线ρsinθ=2的距离等于
（2013·北京理）8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是
A. B. C. D.
（2013·安徽理）（7）在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为
（A） （B）
（C） （D）
（2013·安徽理）（3）在下列命题中，不是公理的是（ ）
（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行
（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么他们有且只有一条过该点的公共直线
（2013·安徽理）（18）（本小题满分12分）
设椭圆的焦点在轴上
（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。
（2013·安徽理）（19）（本小题满分13分）
如图，圆锥顶点为。底面圆心为，其母线与底面所成的角为。和
是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为，
（Ⅰ）证明：平面与平面的交线平行于底面；
（Ⅱ）求。
（2013·陕西理）20. (本小题满分13分)
已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点.
（2013·上海理）22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点”；
(3)求证：圆内的点都不是“C1—C2型点”．
（2013·天津理）13. 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点
A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .
（2013·新课标Ⅱ理）（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，
且BCAE=DCAF,B、E、F、C四点共圆。
（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（Ⅱ）若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值。
（2013·新课标Ⅱ理）（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，
且BCAE=DCAF,B、E、F、C四点共圆。
（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（Ⅱ）若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值。
1．（2012·北京卷） 在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
2．（2012·浙江卷） 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.
3．（2012·北京卷） 已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．
4．（2012·陕西卷） 已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
5．（2012·上海卷） 若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．
6．（2012·浙江卷） 设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
7．（2012·湖北卷） 设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
8．（2012·课标全国卷） 设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
(2)若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
9．（2012·广东卷） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB
的面积；若不存在，请说明理由．
10．（2012·江苏卷） 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
11．（2012·陕西卷） 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．以上三个选项均有可能
12．（2012·重庆卷） 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
13．（2012·天津卷） 设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )
A．[1－，1＋]
B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)
C．[2－2，2＋2]
D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)
14．（2012·重庆卷） 设平面点集A＝(x，y)(y－x)·y－≥0，B＝，则A∩B所表示的平面图形的面积为( )
A.π B.π
C.π D.
【答案】D 【解析】平面点集A表示的平面区域就是不等式组与
15．（2012·课标全国卷）设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】根据题意，一定有∠PF1F2＝30°，且∠PF2x＝60°，故直线PF2的倾斜角是，设直线x＝a与x轴的交点为M，则|PF2|＝2|F2M|，又|PF2|＝|F1F2|，所以|F1F2|＝2|F2M|.所以2c＝2，即4c＝3a，故e＝＝.故选C.
16．（2012·天津卷）设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；
(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞.
【答案】解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．
由题意，有＋＝1. ①
由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.
由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.
(2)证明：(方法一)
依题意，直线OP的方程为y＝kx，
设点P的坐标为(x0，y0)．
由条件得消去y0并整理得
17．（2012·陕西卷）已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
【答案】解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，则a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，
18．（2012·重庆卷）如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
图1－3
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
【答案】解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故
S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.
由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.
因此所求椭圆的标准方程为：
＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：
x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此
y1＋y2＝，y1·y2＝－，
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以
·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16
＝－，
由PB2⊥QB2，得·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
19．（2012·辽宁卷）如图1－7，椭圆C0：＋＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点．C1与C0相交于A，B，C，D四点．
图1－7
(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等．证明：t＋t为定值．
【答案】解：(1)设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则
直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)，②
19．（2012·北京卷） 已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．
【答案】解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当
解得
0，
即k2>.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，
x1＋x2＝，x1x2＝.
直线BM的方程为y＋2＝x，点G的坐标为.
因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝，kAG＝－，
所以kAN－kAG＝＋
＝＋
＝k＋
＝k＋＝0，
即kAN＝kAG.故A，G，N三点共线．
20．（2012·广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)∵e＝＝＝，
假设直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，则圆心O到l的距离
d＝<1.
因为点M(m，n)∈C，所以＋n2＝1b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.
(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；
(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
【答案】解：(1)(方法一)由条件知，P，
故直线PF2的斜率为kPF2＝＝－.
因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝x－，故Q.
由题设知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.
故椭圆方程为＋＝1.
(方法二)设直线x＝与x轴交于点M，
由条件知，P.
因为△PF1F2∽△F2MQ，所以＝.
即＝，解得＝2a.
所以a＝2，c＝1，
故椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：直线PQ的方程为＝，
即y＝x＋a.
将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0.
解得x＝－c，y＝，
所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．
22．（2012·福建卷）如图1－4，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
图1－4
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.
由得Q(4,4k＋m)．
解法二：(1)同解法一．
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.
由得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
取k＝0，m＝，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此时P，Q(4,0)，以PQ为直23．（2012·湖北卷）设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y
轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
N(0，kx1)，直线QN的方程为y＝2kx＋kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得(m2＋4k2)x2＋4k2x1x＋k2x－m2＝0.
依题意可知此方程的两根为－x1，x2，于是由韦达定理可得
－x1＋x2＝－，即x2＝.
因为点H在直线QN上，
所以y2－kx1＝2kx2＝.
于是＝(－2x1，－2kx1)，
＝(x2－x1，y2－kx1)＝.
而PQ⊥PH等价于·＝＝0，
即2－m2＝0，又m＞0，得m＝，
故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.
方法2：如图(2)、(3)，对任意x1∈(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－y1)，N(0，y1)．
因为P，H两点在椭圆C上，所以
两式相减可得
m2(x－x)＋(y－y)＝0.③
依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，
故(x1－x2)(x1＋x2)≠0.于是由③式可得
＝－m2.④
又Q，N，H三点共线，所以kQN＝kQH，即＝.
于是由④式可得kPQ·kPH＝·＝·＝－.
而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH＝－1，即－＝－1，又m＞0，得m＝，
故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.
24．（2012·江西卷）椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．
25．（2012·山东卷）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】D 【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，中档题．
由离心率为得，a2＝4b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±x，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为，代入选项A、C、D，知选项D正确．
26．（2012·上海卷）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；
(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
【答案】解：(1)双曲线C1：－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.
过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.
解方程组得
所以所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.
(2)设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，
故＝1，即b2＝2.
由得x2－2bx－b2－1＝0.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则
又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以
·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.
故OP⊥OQ.
(3)当直线ON垂直于x轴时，
|ON|＝1，|OM|＝，则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时，
设直线ON的方程为y＝kx，
则直线OM的方程为y＝－x.
由得所以|ON|2＝.
27．（2012·四川卷）椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
【答案】3 【解析】如图，设椭圆右焦点为F′，直线x＝m与x轴相交于C，
由椭圆第一定义，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a＝4，
而|AB|＝|AC|＋|BC|≤|AF′|＋|BF′|，
∴当且仅当AB过F′时，△ABF周长最大．
此时，由c＝1，得A，B，即|AB|＝3，
∴S△ABF＝|AB||FF′|＝3.
【2011高考真题】
（2011·安徽卷）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．
【答案】①③⑤
【解析】 ①正确，比如直线y＝x＋，不与坐标轴平行，且当x取整数时，y始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y＝x－中k与b都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点；⑤正确，比如直线y＝x－只经过一个整点(1,0)．
（2011·福建卷）已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．
【解答】 解法一：
图1－6
(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．
因为MP⊥l，所以×1＝－1，
解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．
从而圆的半径
r＝|MP|＝＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，
所以直线l′的方程为y＝－x－m.
由得x2＋4x＋4m＝0.
Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．
①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；
②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．
综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．
解法二：
(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则
解得
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
(2)同解法一．
图1－2
（2011·湖北卷）如图1－2，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标系x′Oy′(其中y′轴与y轴重合)所在的平面为β，∠xOx′＝45°.
(1)已知平面β内有一点P′(2，2)，则点P′在平面α内的射影P的坐标为________；
(2)已知平面β内的曲线C′的方程是(x′－)2＋2y′2－2＝0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是______________．
2＋y2＝1.
（2011·福建卷）设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
【答案】A
【解析】 设|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|，
若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝＝；
若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝＝，故选A.
（2011·湖南卷）如图1－9，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．
(1)求C1，C2的方程；
(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
①证明：MD⊥ME；
②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得＝？请说明理由．
图1－10
【解答】 (1)由题意知，e＝＝，从而a＝2b.又2＝a，解得a＝2，b＝1.
故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，y＝x2－1.
(2)①由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.
由得x2－kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.
又点M的坐标为(0，－1)，所以
y＝k1x－1，由解得
或
则点A的坐标为(k1，k－1)．
又直线MB的斜率为－，同理可得点B的坐标为.
于是S1＝|MA|·|MB|＝·|k1|··＝.
由得(1＋4k)x2－8k1x＝0.
解得或
则点D的坐标为.
又直线ME的斜率为－，同理可得点E的坐标为.
于是S2＝|MD|·|ME|＝.
（2011·江西卷）若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
【答案】 ＋＝1
【解析】 由题可知过点与圆x2＋y2＝1的圆心的直线方程为y＝x，由垂径定理可得kAB＝－2.
显然过点的一条切线为直线x＝1，此时切点记为A(1,0)，即为椭圆的右焦点，故c＝1.
由点斜式可得，直线AB的方程为y＝－2(x－1)，
即AB：2x＋y－2＝0.
令x＝0得上顶点为(0,2)，∴b＝2，∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为＋＝1.
（2011·课标全国卷）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2
在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．
【答案】 ＋＝1
【解析】 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
因为离心率为，所以＝，
解得＝，即a2＝2b2.
图1－7
又△ABF2的周长为＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2a＋2a＝4a，，所以4a＝16，a＝4，所以b＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.
（2011·陕西卷）
图1－8
如图1－8，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，即x2－3x－8＝0.
∴x1＝，x2＝.
∴线段AB的长度为
|AB|＝＝＝＝.
（2011·浙江卷）设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上．若＝5，则点A的坐标是________．
【答案】(0，±1)
【解析】 设直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B′，又∵＝5，由椭圆的对称性可得＝5，设A，B′，
又∵|F1A|＝，|F1B′|＝，
∴ 解之得x1＝0，
∴点A的坐标为.
（2011·安徽卷）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】C
【解析】 双曲线方程可化为－＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.故实轴长为4.
（2011·全国卷）已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________.
【答案】6
【解析】 根据角平分线的性质，＝＝.又－＝6，故＝6.
【2010高考真题】
1.（2010江西理）8.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是
A. B. C. D.
2.（2010重庆理）(8) 直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】数形结合
由圆的性质可知
故
3.（2010安徽理）9、动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是
A、 B、 C、 D、和
【答案】 D
【解析】画出图形，设动点A与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在上，在上，动点的纵坐标关于都是单调递增的。
4.（2010四川理）（14）直线与圆相交于A、B两点，则 .
解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2
圆心到直线的距离为d＝
故
得|AB|＝2
答案：2
5.（2010广东理）12.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
答案：．
解析：设圆心为，则，解得
【2009高考真题】
1.（辽宁理，4）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为
A. B.
C. D.
【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.
【答案】B
2.（重庆理，1）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。
【答案】B
3.（天津理，13）设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为
y=3x+4则与的距离为_______
【解析】由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。
【答案】
4.（全国Ⅱ理16）已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。
【解析】设圆心到的距离分别为,则.
四边形的面积
【答案】5
6.（2009江苏卷18）（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
【解析】
解：(1)设直线的方程为：，即
由垂径定理，得：圆心到直线的距离，
结合点到直线距离公式，得：
化简得：
求直线的方程为：或，即或
(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。
由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。
故有：，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有：
解之得：点P坐标为或。
【2008年高考真题】
1.（2008年全国Ⅱ理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-4=0,
原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 （ ）.
A．3 B．2 C． D．
答案 A
解析 ，，设底边为
由题意，到所成的角等于到所成的角于是有
再将A、B、C、D代入验证得正确答案 是A。
2．（2008·江苏18）在平面直角坐标系中，二次函数（）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆．
（Ⅰ）求实数b的取值范围；
（Ⅱ）求圆的方程；
（Ⅲ）圆是否经过定点（与的取值无关）？证明你的结论．
