江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试数学试题含附加题

江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试数学试题含附加题

江苏省泰州市 2019—2020 学年度第二学期调研测试 高三数学试题 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．） 1．已知集合 A＝{l，2}，B＝{2，4，8}，则 A B＝ ． 2．若实数 x，y 满足 x＋yi＝﹣1＋(x﹣y)i（i 是虚数单位），则 xy＝ ． 3．如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ． 4．根据如图所示的伪代码，可得输出的 S 的值为 ． 5．若双曲线 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率 为 ． 6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） 先 后 抛 掷 2 次 ， 这 两 次 出 现 向 上 的 点 数 分 别 记 为 x ， y ， 则 的 概 率 是 ． 7．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2＝4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的 3 倍，则点 P 的横坐标为 ． 8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半， 一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里． 9．若定义在 R 上的奇函数 满足 ， ，则 ＋ ＋ 的值为 ． 10．将半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为 ，则 R ＝ ．  2 2 2 2 1x y a b − = 2y x= 1x y− = ( )f x ( 4) ( )f x f x+ = (1) 1f = (6)f (7)f (8)f 9 3π 11．若函数 只有一个零点，则实数 a 的取值范围为 ． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( ， )，B( ， )在圆 O： 上， 且满足 ，则 的最小值是 ． 13 ． 在 锐 角 △ ABC 中 ， 点 D ， E ， F 分 别 在 边 AB ， BC ， CA 上 ， 若 ， ，且 ， ，则实数 的值为 ． 14．在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 AD＝BD，3tan2B﹣2tanA＋3＝0，则 的取 值范围为 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 P— ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB＝AC，点 D，E，F 分別是 AB， AC，BC 的中点． （1）求证：BC∥平面 PDE； （2）求证：平面 PAF ⊥平面 PDE． 16．（本小题满分 14 分） 已知函数 ，x R ． （1）求函数 的最大值，并写出相应的 x 的取值集合； （2）若 ， ( ， )，求 sin2 的值． 2( ) 1 x a x af x x x a + ≥=  − < ， ， 1x 1y 2x 2y 2 2 4x y+ = 1 2 1 2 2x x y y+ = − 1 2 1 2x x y y+ + + AB 3AD=  AC AFλ=  BC ED 2EF ED 6⋅ = ⋅ =    ED 1= λ BD CD 2 1( ) sin sin cos 2f x x x x= + − ∈ ( )f x 2( ) 6f α = α ∈ 8 π− 3 8 π α 17．（本小题满分 14 分） 某温泉度假村拟以泉眼 C 为圆心建造一个半径为 12 米的圆形温泉池，如图所示，M， N 是圆 C 上关于直径 AB 对称的两点，以 A 为四心，AC 为半径的圆与圆 C 的弦 AM，AN 分别交于点 D，E，其中四边形 AEBD 为温泉区，I、II 区域为池外休息区，III、IV 区域为 池内休息区，设∠MAB＝ ． （1）当 时，求池内休息区的总面积（III 和 IV 两个部分面积的和）； （2）当池内休息区的总面积最大时，求 AM 的长． 18．（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 M： (a＞b＞0)的左顶点为 A，过 点 A 的直线与椭圆 M 交于 x 轴上方一点 B，以 AB 为边作矩形 ABCD，其中直线 CD 过原 点 O．当点 B 为椭圆 M 的上顶点时，△AOB 的面积为 b，且 AB＝ ． （1）求椭圆 M 的标准方程； （2）求矩形 ABCD 面积 S 的最大值； （3）矩形 ABCD 能否为正方形？请说明理由． θ 4 πθ = 2 2 2 2 1x y a b + = 3b 19．（本小题满分 16 分） 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”． （1）判断函数 是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数 (m R)是“YZ 函数”，求实数 m 的取值范围； （3）已知 ，x (0， )，a，b R，求证：当 a≤﹣2， 且 0＜b＜1 时，函数 是“YZ 函数”． 20．（本小题满分 16 分） 已知数列 ， ， 满足 ， ． （1）若数列 是等比数列，试判断数列 是否为等比数列，并说明理由； （2）若 恰好是一个等差数列的前 n 项和，求证：数列 是等差数列； （3）若数列 是各项均为正数的等比数列，数列 是等差数列，求证：数列 是等差数列． ( ) 1x xf x e = − ( ) lng x x mx= − ∈ 3 21 1 1( ) 3 2 3h x x ax bx b= + + − ∈ +∞ ∈ ( )h x { }na { }nb { }nc 2n n nb a a+= − 12n n nc a a+= + { }na { }nc na { }nb { }nb { }nc { }na 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 已知列向量 在矩阵 M＝ 对应的变换下得到列向量 ，求 ． B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)．以坐标原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ，点 P 为曲线 C 上任一点，求点 P 到直线 l 距离的最大值． C．选修 4—5：不等式选讲 已 知 实 数 a ， b ， c 满 足 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， c ＞ 0 ， ， 求 证 ： ． 5 a     3 4 1 2      2b b −     1M b a −      cos 3sin x y α α = = α sin( ) 4 24 πρ θ + = 2 2 2 3a b c b c a + + = 3a b c+ + ≤ 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADE⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 的 正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE＝ ，EF⊥平面 ADE，EF＝1． （1）求异面直线 AE 和 DF 所成角的余弦值； （2）求二面角 B—DF—C 的余弦值． 23．（本小题满分 10 分） 给定 n(n≥3，n )个不同的数 1，2，3，…，n，它的某一个排列 P 的前 k(k ，1 ≤k≤n)项和为 ，该排列 P 中满足 的 k 的最大值为 ．记这 n 个不同数的所有 排列对应的 之和为 ． （1）若 n＝3，求 ； （2）若 n＝4l＋1，l ，①证明：对任意的排列 P，都不存在 k(k ，1≤k≤n)使 得 ；②求 (用 n 表示)． 2 π N∗∈ N∗∈ kS 2 k nS S≤ Pk Pk nT 3T N∗∈ N∗∈ 2 k nS S= nT 2019～2020 学年度第二学期调研测试 高三数学答案 一、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题 15.（本题满分 14 分） 证明：（1）在 中，因为 分别是 的中点， 所以 ， ……………2 分 因为 ， ， 所以 ． ……………6 分 （2）因为 ， ， 所以 ， 在 中，因为 ， 分别是 的中点， 所以 ， ……………8 分 因为 ，所以 ， 又因为 ， ， 所以 ， ……………12 分 因为 ，所以 ． ……………14 分 16.（本题满分 14 分） { }1,2,4,8 1 2 80 8 5 5 18 1 2 192 1− 6 ( 1] (0,1]−∞ −  2 2− 3 (1,2] ABC∆ ,D E ,AB AC / /DE BC BC PDE⊄ 平面 DE PDE⊂ 平面 / /BC PDE平面 PA ABC⊥ 平面 DE PDE⊂ 平面 PA DE⊥ ABC∆ AB AC= F BC AF BC⊥ / /DE BC DE AF⊥ AF PA A= ,AF PAF PA PAF⊂ ⊂平面 平面 DE PAF⊥ 平面 DE PDE⊂ 平面 PAF PDE⊥平面 平面 解：（1）因为 ， 所以 ……………2 分 ……………4 分 当 ，即 时， 取最大值 ， 所以 的最大值为 ，此时 的取值集合为 ．………7 分 （2）因为 ，则 ，即 ， 因为 ，所以 ， 则 ， ……………10 分 所以 . ……………14 分 17.（本题满分 14 分） 解：（1）在 中，因为 ， ， 所以 ， ， 所以池内休息区总面积 ． ……………4 分 （2）在 中，因为 ， ， 所以 ， ， 由 得 ， ……………6 分 则池内休息区总面积 ， ； 2 1( ) sin sin cos 2f x x x x= + − 1 cos2 1 1( ) sin 22 2 2 xf x x −= + − 1 (sin 2 cos2 )2 x x= − 2 (sin 2 cos cos2 sin )2 4 4x x π π= − 2 sin(2 )2 4x π= − 2 24 2x k π ππ− = + ( Z)k ∈ 3 (8 Z)x k k ππ= + ∈ ( )f x 2 2 ( )f x 2 2 x 3 ,8 Zx x k k ππ = + ∈    2( ) 6f α = 2 2sin(2 )2 4 6 πα − = 1sin(2 )4 3 πα − = 3( , )8 8 π πα ∈ − 2 ( , )4 2 2 π π πα − ∈ − 2 21 2 2cos(2 ) 1 sin (2 ) 1 ( )4 4 3 3 π πα α− = − − = − = sin 2 sin[(2 ) ] sin(2 )cos cos(2 )sin4 4 4 4 4 4 π π π π π πα α α α= − + = − + − 1 2 2 2 2 4 2 3 2 3 2 6 += ⋅ + ⋅ = Rt ABM∆ 24AB = 4 πθ = 12 2MB AM= = 24cos 12 12 2 124MD π= − = − 12 12 2(12 2 12) 144(2 2)2S MB DM= ⋅ ⋅ = − = − Rt ABM∆ 24AB = MAB θ∠ = 24sin , 24cosMB AMθ θ= = 24cos 12MD θ= − 24sin 0, 24cos 12 0MB MDθ θ= > = − > 0, 3 πθ  ∈   12 24sin (24cos 12)2S MB DM θ θ= ⋅ ⋅ = − 0, 3 πθ  ∈   ……………9 分 设 ， ，因为 ， 又 ，所以 ，使得 ， 则当 时， 在 上单调增， 当 时， 在 上单调减， 即 是极大值，也是最大值，所以 ， 此时 ． ……………13 分 答：（1）池内休息区总面积为 ； （2）池内休息区总面积最大时 的长为 ．………14 分 18.（本题满分 16 分） 解：（1）由题意： ，解得 ， 所以椭圆 的标准方程为 ． ……………4 分 （2）显然直线 的斜率存在，设为 且 ， 则直线 的方程为 ，即 ， 联立 得 ， 解得 ， ，所以 ， ( ) ( )sin 2cos 1f θ θ θ= − 0, 3 πθ  ∈   ( ) ( ) 2 2 1 33cos 2cos 1 2sin 4cos cos 2 0 cos 8f θ θ θ θ θ θ θ ±′ = − − = − − = ⇒ = 1 33 1cos 8 2 θ += > 0 0, 3 πθ  ∃ ∈   0 1 33cos 8 θ += ( )00,x θ∈ ( ) ( )0f fθ θ′ > ⇒ ( )00,θ 0 , 3x πθ ∈   ( ) ( )0f fθ θ′ < ⇒ ( )00,θ ( )0θf ( ) ( )max 0f fθ θ= 024cos 3 3 33AM θ= = + 2144(2 2)− m AM (3 3 33)AM = + m 2 2 2 2 2 3 1 2 a b b ab b a b c  + =  =   = + 2, 2a b c= = = M 2 2 14 2 x y+ = AB k 0k > AB ( 2)y k x= + 2 0kx y k− + = 2 2 ( 2) 14 2 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 4 0k x k x k+ + + − = 2 2 2 4 1 2B kx k −= + 2 4 1 2B ky k = + 2 2 2 2 4 1( 2) 1 2B B kAB x y k += + + = + 直线 的方程为 ，即 ，所以 ， 所以矩形 面积 ， 所以当且仅当 时，矩形 面积 的最大值为 ．……………11 分 （3）若矩形 为正方形，则 ， 即 ，则 ， 令 ， 因为 ，又 的图象不间断， 所以 有零点，所以存在矩形 为正方形． ……………16 分 19.（本题满分 16 分） 解：（1）函数 是“YZ 函数”，理由如下： 因为 ，则 ， 当 时， ；当 时， ， 所以 的极大值 ， 故函数 是“YZ 函数”． ……………4 分 （2）定义域为 ， ， 当 时， ，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当 时，当 时， ，函数单调递增， 当 时， ，函数单调递减， 所以 的极大值为 ， CD y kx= 0kx y− = 2 2 2 2 1 1 k kBC k k = = + + ABCD 2 2 22 4 1 2 8 8 8 2 211 2 1 2 2 21 2 k k kS k kk kk += ⋅ = = =+ ++ + ≤ 2 2k = ABCD S 2 2 ABCD AB BC= 2 2 2 4 1 2 1 2 1 k k k k + =+ + 3 22 2 2 0k k k− + − = ( 0)k > 3 2( ) 2 2 2( 0)f k k k k k= − + − > (1) 1 0, (2) 8 0f f= − < = > 3 2( ) 2 2 2( 0)f k k k k k= − + − > 3 2( ) 2 2 2( 0)f k k k k k= − + − > ABCD ( ) 1x xf x = − e ( ) 1x xf x = − e 1( ) x xf x −′ = e 1x < ( ) 0f x′ > 1x > ( ) 0f x′ < ( ) 1x xf x = − e 1(1) 1 0f = − < e ( ) 1x xf x = − e (0, )+∞ 1( )g x mx ′ = − 0m ≤ 1( ) 0g x mx ′ = − > 0m > 10 x m < < 1( ) 0g x mx ′ = − > 1x m > 1( ) 0g x mx ′ = − < ( )g x 1 1 1( ) ln ln 1g m mm m m = − ⋅ = − − 由题意知 ，解得 ． ……………10 分 （3）证明： ， 因为 ， ，则 ， 所以 有两个不等实根，设为 ， 因为 ，所以 ，不妨设 ， 当 时， ，则 单调递增； 当 时， ，则 单调递减， 所以 的极大值为 ， ……………13 分 由 得 ， 因为 ， ， 所以 ． 所以函数 是“YZ 函数”． ……………16 分 （其他证法相应给分） 20.（本题满分 16 分） 解：（1）设等比数列 的公比为 ，则 ， 当 时， ，数列 不是等比数列， ……………2 分 当 时，因为 ，所以 ，所以数列 是等比数 列． ……………5 分 （2）因为 恰好是一个等差数列的前 项和，设这个等差数列为 ，公差为 ， 因为 ，所以 ， 1( ) ln 1 0g mm = − − < 1m > e 2( )h x x ax b′ = + + 2a ≤ − 0 1b< < 2 4 0a b∆ = − > 2( ) 0h x x ax b′ = + + = 1 2,x x 1 2 1 2 0 0 x x a x x b + = − >  = > 1 20, 0x x> > 1 20 x x< < 10 x x< < ( ) 0h x′ > ( )h x 1 2x x x< < ( ) 0h x′ < ( )h x ( )h x 3 2 1 1 1 1 1 1 1( ) 3 2 3h x x ax bx b= + + − 2 1 1 1( ) 0h x x ax b′ = + + = 3 2 1 1 1 1 1( )x x ax b ax bx= − − = − − 2a −≤ 0 1b< < 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )3 2 3 3 2 3h x x ax bx b ax bx ax bx b= + + − = − − + + − 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 6 3 3 3 3 3ax bx b x bx b= + − ≤ − + − 2 1 1 1( ) ( 1) 03 3x b b b= − − + − < ( )h x { }na q 12 2 (2 1)n n n n n nc a a a q a q a+= + = + = + 1 2q = − 0nc = { }nc 1 2q ≠ − 0nc ≠ 1 1(2 1) (2 1) n n n n c q a qc q a + ++= =+ { }nc na n { }nd d 1 2n na d d d= + + + 1 1 2 1n n na d d d d+ += + + + + 两式相减得 ， 因为 ， 所以 ， 所以数列 是等差数列． ……………10 分 （3）因为数列 是等差数列，所以 ， 又因为 ，所以 ， 即 ，则 ， 又因为数列 是等比数列，所以 ，则 ， 即 ， 因为数列 各项均为正数，所以 ， ……………13 分 则 ， 即 ， 又因为数列 是等差数列，所以 ， 即 ， 化简得 ，将 代入得 ， 化简得 ，所以数列 是等差数列． ……………16 分 （其他证法相应给分） 数学Ⅱ（附加题） 21. A． [选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 解：因为 ，所以 ，解得 ，……………4 分 设 ，则 ， 1 1n n na a d+ +− = 2n n na a b+ = + 1 3 1 2 3 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n n nb b a a a a a a a a+ + + + + + +− = − − − = − − − 3 1 2n nd d d+ += − = { }nb { }nc 3 2 1n n n nc c c c+ + +− = − 12n n nc a a+= + 4 3 3 2 2 1 12 (2 ) 2 (2 )n n n n n n n na a a a a a a a+ + + + + + ++ − + = + − + 4 2 3 1 22( ) ( ) ( )n n n n n na a a a a a+ + + + +− = − + − 2 12 n n nb b b+ += + { }nb 2 1 2n n nb b b+ += 2 1 1 2 n n n n b bb b + + += ⋅ 1 1( )(2 ) 0n n n nb b b b+ +− + = { }nb 1n nb b+ = 3 1 2n n n na a a a+ + +− = − 3 2 1n n n na a a a+ + += + − { }nc 2 12n n nc c c+ ++ = 3 2 1 2 1(2 ) (2 ) 2(2 )n n n n n na a a a a a+ + + + ++ + + = + 3 22 3n n na a a+ ++ = 3 2 1n n n na a a a+ + += + − 2 1 22( ) 3n n n n na a a a a+ + ++ − + = 2 12n n na a a+ ++ = { }na     −=        b ba 2 521 43 3 20 2 10 a b a b + = −  + = 6 4 a b = −  = 1 m pM n q −  =    3 4 1 0 1 2 0 1 m p n q      =           即 ，解得 ， 所以 ， ……………8 分 所以 . ……………10 分 B.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 解：由题：直线方程即为 ， 由 ， 得直线的直角坐标方程为 ，……………4 分 设 点的坐标为 ， 点 到直线的距离 ，……………8 分 当 ，即 时， 取得最大值 ， 此时点 的坐标为 . ……………10 分 C.[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 证明：由柯西不等式，得 ………………5 分 所以 ． ………………10 分 3 4 1 3 4 0 2 0 2 1 m n p q m n p q + =  + = + =  + = 1 1 2 2 3 2 m n p q =   = − = −  =         − − =− 2 3 2 1 21 1M 1 1 -2 4 16= 1 3 -6 11 2 2 bM a −         =       −−       (sin cos cos sin ) 4 24 4 π πρ θ θ+ = cos xρ θ = sin yρ θ = 8 0x y+ − = P ( )cos , 3sinα α ∴ P 2 2 2sin 8cos 3sin 8 6 21 1 d παα α  + − + −  = = + 2 ( )6 2 Zk k π πα π+ = − ∈ 22 (3 Z)k kα π π= − ∈ d 5 2 P 1 3,2 2  − −   2 2 2 3( ) ( )( )a b ca b c b c a b c a + + = + + + + 2 2 2 2 2 2[( ) ( ) ( ) ][( ) ( ) ( ) ]a b cb c a b c a = + + + + 2 2( ) ( )a b cb c a a b c b c a ⋅ + ⋅ + ⋅ = + +≥ 3a b c+ + ≤ 22.（本小题满分 10 分） 解：因为平面 平面 ,又 ， 即 ，因为 ， ， 平面 , 由四边形 为边长为 2 的正方形, 所以 两两互相垂直． 以 为坐标原点， 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2 分 由 平面 且 , （1） , ， 则 , 所以 和 所成角的余弦值为 . ……………5 分 （2） , ,设平面 的一个法向量为 ， 由 ,取 ,得 , 平面 的一个法向量为 , , 由二面角 的平面角为锐角,所以二面角 的余弦值为 .……10 分 23.（本小题满分 10 分） 解：（1） 的所有排列为 ， 因为 ，所以对应的 分别为 ，所以 ； ……………3 分 ADE ⊥ ABCD 2ADE π∠ = DE AD⊥ DE ADE⊂ 平面 ADE ABCD AD=平面 平面 DE∴ ⊥ ABCD ABCD , ,DA DC DE D { , , }DA DC DE   EF ⊥ ADE 1EF = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 2,0,0 , 0,0,2 , 0,2,0 , 2,2,0 , 0,1,2 ,D A E C B F∴ ( )2,0,2AE = − ( )0,1,2DF = 4 10cos , 52 2 5 AE DFAE DF AE DF ⋅< = = = ×⋅ >      AE DF 10 5 ( )2,2,0DB = ( )0,1,2DF = BDF ( ), ,n x y z= 2 +2 0 2 0 n DB x y n DF y z  ⋅ = =  ⋅ = + =   1z = )1,2,2( −=n  DFC ( )1,0,0m = 2 2cos , 3 1 3 m nm n m n ⋅∴ < >= = =⋅ ×      B DF C− − B DF C− − 2 3 1,2,3 1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1 3 6S = Pk 2,1,2,1,1,1 3 8T = x y z A B C FE D （2）（i）设 个不同数的某一个排列 为 ， 因为 ，所以 为奇数， 而 为偶数，所以不存在 使得 ； ……………5 分 (ii) 因为 ，即 ， 又由（i）知不存在 使得 ， 所以 ； 所以满足 的最大下标 即满足 ① 且 ②， 考虑排列 的对应倒序排列 ， ①②即 ， , 由题意知 ， 则 ； ……………8 分 又 ，这 个不同数共有 个不同的排列，可以构成 个对应组合 ， 且每组 中 ，所以 ． ……………10 分 n P 1 2, , , na a a⋅⋅⋅ 4 1, Nn l l ∗= + ∈ ( ) ( )( )1 4 1 2 12n n nS l l += = + + 2 kS ( ,1 )Nk k k n∗∈ ≤ ≤ 2 k nS S= 2 k nS S≤ 1 2 1 2k k k na a a a a a+ ++ +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+≤ ( ,1 )Nk k k n∗∈ ≤ ≤ 2 k nS S= 1 2 1 2k k k na a a a a a+ ++ +⋅⋅⋅+ < + +⋅⋅⋅+ 2 k nS S≤ k 1 2 1 2k k k na a a a a a+ ++ +⋅⋅⋅+ < + +⋅⋅⋅+ 1 2 1 2k k k na a a a a a+ ++ +⋅⋅⋅+ + > +⋅⋅⋅+ P :P′ 1 1, , ,n na a a− ⋅⋅⋅ 2 1 2 1n k k ka a a a a a+ ++⋅⋅⋅+ < + +⋅⋅⋅+ + 2 1 2 1n k k ka a a a a a+ ++⋅⋅⋅+ + > +⋅⋅⋅+ + 1Pk n k′ = − − 1P Pk k n′+ = − 1,2,3, ,n⋅⋅⋅ n !n ! 2 n ( ),P P′ ( ),P P′ 1P Pk k n′+ = − ( )! 12n nT n= −