2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先解不等式得集合M，再求交集得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2．已知复数（是虚数单位），则共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】先化复数代数形式，再求共轭复数，最后根据复数几何意义确定选项.‎ ‎【详解】‎ ‎，对应点为,在第四象限，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查共轭复数定义以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3．命题“”的否定是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据全称命题的否定求解.‎ ‎【详解】‎ 命题“”的否定是,所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎4．已知非空集合，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据方程的根列式求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意得有且仅有两个相等的根，即，，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方程的根与集合元素互异性，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎5．已知,则下列不等式成立的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解.‎ 详解：-（）=，因为，所以 所以.故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.‎ ‎6．已知命题 :在 中，的充分不必要条件是， :.则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先分别判断的真假，再判断复合命题的真假.‎ ‎【详解】‎ 在 中，,所以的充分必要条件是,命题为假；‎ ‎，所以命题为假；‎ 因此、、为假命题，为真命题，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎7．用数学归纳法证明，则从到时，左端需增乘的代数式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】当n=k到n=k+1时，左端式子为(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k)(k+1+k+1),所以需要增加的式子为,应选B.‎ ‎8．由曲线，以及所围成的图形的面积等于（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求出曲线的交点，得到积分下限，利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可.‎ 详解：曲线的交点坐标为，由曲线以及围成的图形的面积，就是，故选D.‎ 点睛：本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线 以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.‎ ‎9．若函数在处的导数值与函数值互为相反数，则的值为（ ）‎ A．0 B． C．1 D．不存在 ‎【答案】B ‎【解析】先求导数，再根据条件列式求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数导数，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则=（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据类比，列方程求解结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用类比方法列方程求解数学问题，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎11．命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可．‎ ‎【详解】‎ 因为，等价于，恒成立，‎ 设，‎ 则 ．‎ 所以命题为真命题的充要条件为，‎ 所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解．‎ ‎12．已知函数，若方程 有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先解一元二次方程，再利用导数研究函数单调性，最后根据图象列不等式，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以或，‎ 因为，而，‎ 所以当时；当时；‎ 函数的图象如图，‎ 由图象得或，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数图象，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若复数满足，则的虚部为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据复数的模以及除法法则化复数为代数形式，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因此的虚部为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的虚部、模以及除法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14．_________.‎ ‎【答案】π ‎【解析】设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.∴dx＝×4π＝π.‎ ‎15．第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行。武汉市体育局为了让市民更多地了解军运会，准备组建四个宣讲小组，开展宣传活动，其中甲、乙、丙、丁四人在不同的四个小组，在被问及参加了哪个宣讲小组时，甲说：“我没有参加和小组.”乙说：“我没有参加和小组.”丙说：“我也没有参加和小组。”丁说：“如果乙不参加小组，我就不参加小组.”则参加小组的人是___.‎ ‎【答案】丙 ‎【解析】根据四人说法进行推理即得结果.‎ ‎【详解】‎ 由甲、乙、丙都没参加A组得丁必在A组；‎ 再根据丁说：“如果乙不参加小组，我就不参加小组.”得乙参加小组；‎ 由此可得乙、丙、丁都没参加D组得甲必在D组；‎ 从而丙必在C组.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎16．已知不等式恒成立，其中为自然常数，则的最大值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定的最大值.‎ ‎【详解】‎ 令 当时，，不满足条件；‎ 当时，，‎ 当时当时 因此，‎ 从而 令 再令 所以当时；‎ 当时；‎ 即，从而的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.‎ 三、解答题 ‎17．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）； ;（2）‎ ‎【解析】（1）消参数得的普通方程，根据得的直角坐标方程（2）根据直线与圆位置关系得最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 因为，‎ 所以，即 ‎（2）因为圆心到直线距离为，‎ 所以点到直线距离的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎18．为了进一步提升基层党员自身理论素养，市委组织部举办了党建主题知识竞赛（满分120分），从参加竞赛的党员中采用分层抽样的方法抽取若干名党员，统计他们的竞赛成绩得到下面频率分布表：‎ 成绩/分 频率 ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 已知成绩在区间内的有人.‎ ‎（1）将成绩在内的定义为“优秀”，在内的定义为“良好”，请将列联表补充完整.‎ 男党员 女党员 合计 优秀 良好 ‎15‎ 合计 ‎25‎ ‎（2）判断是否有的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关？‎ ‎（3）若在抽取的竞赛成绩为优秀的党员中任意抽取2人进行党建知识宣讲，求被抽取的这两人成绩都在内的概率.‎ 附： ‎ ‎ ‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) ‎ ‎【解析】（1）根据频率分布表以及频数等于总数与频率乘积，计算数据并填入表格，（2）根据卡方公式求，对照数据确定把握率，（3）先确定优秀党员总人数，再确定成绩在人数，最后根据组合数以及古典概型概率公式求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 男党员 女党员 合计 优秀 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 良好 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 合计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎（2）,‎ 故没有的把握认为成绩是否优秀与性别有关。‎ ‎（3）竞赛成绩在,,内人数分别为15, 10, 5，‎ 则所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布表、列联表、卡方计算以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎19．已知.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或 ‎【解析】（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式求最小值，再解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以或或，‎ 即或或，‎ 从而 ‎（2）因为，‎ 所以 或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解含绝对值不等式以及绝对值三角不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎20．如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长均为2，为棱的中点 .‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）是否存在平行于的动直线，分别与棱交于点，使得平面与平面所成的锐二面角为，若存在，求出点到直线的距离；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）设，根据计算以及等腰三角形性质得,根据线面垂直判定定理得平面，再根据面面垂直判定定理得结果，（2）建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面与平面各自法向量，根据向量数量积以及法向量夹角与二面角关系列方程，解得坐标，即得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设，因为直三棱柱的底面边长和侧棱长均为2，为棱的中点，所以，因此,‎ 因为平面，，所以平面，‎ 因为平面所以平面平面；‎ ‎（2）以A为坐标原点，AB所在直线，垂直于AB所在直线，AA1所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，‎ 其中，即 设平面与平面法向量分别为 则由得，令，‎ 由得，令，‎ 因为平面与平面所成的锐二面角为，‎ 所以，‎ 即 因此点到直线的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量研究二面角，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线,为椭圆的右顶点. 若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）定值为0.‎ ‎【解析】（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c，再根据离心率得，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为直线过椭圆的右焦点,所以，‎ 因为离心率为，所以，‎ ‎（2），设直线，‎ 则 因此 由得，‎ 所以，‎ 因此 即 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数的两个零点分别为，且，求证：函数的图像在处的切线的斜率恒小于.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间，（2）先求导数得函数的图像在处的切线的斜率，再根据零点将斜率转化为积的形式，利用导数研究因子单调性，进而根据最值确定符号即得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 所以当时，，所以增区间，减区间 当时，，所以增区间，减区间；‎ 当时，，所以增区间，无减区间 当时，，所以增区间，减区间 ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 因此函数的图像在处的切线的斜率为 因为函数的两个零点分别为，‎ 所以 即，‎ 所以 令，则 所以，从而.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属难题.‎