高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题三第3讲课时训练提能

高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题三第3讲课时训练提能

专题三 第3讲　推理与证明 课时训练提能 ‎[限时45分钟，满分75分]‎ 一、选择题(每小题4分，共24分)‎ ‎1．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个是偶数 D．假设a、b、c至多有两个是偶数 解析　至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数．‎ 答案　B ‎2．(2012·济南模拟)在实数的原有运算法则(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2.则当x∈[－2,2]时，函数f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值等于 A．－1　　　　 B．1‎ C．6　　　　 D．12‎ 解析　易知f(x)＝∴当x＝2时，f(x)的最大值为23－2＝6.‎ 答案　C ‎3．(2012·厦门模拟)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a2 012－5＝‎ A．2 018×2 012 B．2 018×2 011‎ C．1 009×2 012 D．1 009×2 011‎ 解析　观察可知a2 012＝2＋3＋4＋…＋2 014‎ ‎＝×2 013×(2＋2 014)＝2 013×1 008，‎ ‎∴a2 012－5＝2 013×1 008－5＝1 009×2 011.‎ 答案　D ‎4．(2012·枣庄模拟)22 012个位上的数字为 A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析　由21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，‎ 观察可知，24k的个位数为6,24k＋1的个位数为2,24k＋2的个位数为4,24k＋3的个数为8，k∈N，‎ ‎∴22 012＝24×503的个位数为6.‎ 答案　C ‎5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：‎ ‎①由“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；‎ ‎②由“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；‎ ‎③由“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；‎ ‎④由“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”．‎ 以上结论正确的是 A．①③ B．①②‎ C．②③ D．②④‎ 解析　因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①②正确，③错误．又因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|，所以④错误．故选B.‎ 答案　B ‎6．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 A. B. C. D. 解析　由平面类比到空间，将面积和体积进行类比，容易得出两个正方体重叠部分的体积恒为，所以选B.‎ 答案　B 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎7．(2012·烟台一模)若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m.若x2－1比1远离0，则x的取值范围是________．‎ 解析　据题意知|x2－1－0|＞|1－0|，即|x2－1|＞1，‎ ‎∴x2－1＞1或x2－1＜－1，‎ 解得x＜－或x＞.‎ 答案　(－∞，－)∪(，＋∞)‎ ‎8．(2012·苏州模拟)观察下列等式：‎ ‎1＝1‎ ‎1＋2＝3‎ ‎1＋2＋3＝6‎ ‎1＋2＋3＋4＝10‎ ‎1＋2＋3＋4＋5＝15‎ ‎…‎ ‎13＝1‎ ‎13＋23＝9‎ ‎13＋23＋33＝36‎ ‎13＋23＋33＋43＝100‎ ‎13＋23＋33＋43＋53＝225‎ ‎…‎ 可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N＋，用含有n的代数式表示)．‎ 解析　由数表知13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)3＝2＝.‎ 答案　 ‎9．(2012·昆明模拟)设f(x)＝ax＋b，其中a，b为实数，f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n＝1,2,3，…，若f7(x)＝128x＋381，则a＋b＝________.‎ 解析　由递推式可得f2(x)＝a2x＋ab＋b，‎ f3(x)＝a3x＋a2b＋ab＋b，‎ f4(x)＝a4x＋a3b＋a2b＋ab＋b，…‎ f7(x)＝a7x＋a6b＋…＋ab＋b＝128x＋38，‎ ‎∴a7＝128，∴a＝2，‎ ‎(a6b＋a5b＋…＋ab＋b)＝b(1＋a＋…＋a6)‎ ‎＝b×＝127 b＝381，‎ ‎∴b＝3.‎ 故a＋b＝5.‎ 答案　5‎ 三、解答题(每小题12分，共36分)‎ ‎10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a、b、c为何值时，等号成立．‎ 证明　因为a，b，c均为正数，由均值不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac，‎ 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①‎ 同理＋＋≥＋＋，②‎ 故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥6.③‎ 所以原不等式成立．‎ 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立；‎ 当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．‎ 即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．‎ ‎11．已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)．‎ ‎(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；‎ ‎(2)用反证法证明f(x)＝0没有负根．‎ 证明　(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，‎ 则x2－x1＞0，，且＞0.‎ 所以＝ (－1)＞0.‎ 又因为x1＋1＞0，x2＋1＞0，‎ 所以－ ‎＝ ‎＝＞0，‎ 于是f(x2)－f(x1)＝＋－＞0，‎ 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．‎ ‎(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－，‎ 又0＜＜1，所以0＜－＜1，‎ 即＜x0＜2，‎ 与x0＜0(x0≠－1)假设矛盾，‎ 故f(x0)＝0没有负根．‎ ‎12．某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.‎ ‎(1)写出这个数列的前五项；‎ ‎(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．‎ 解析　(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，‎ ‎∴a2＝22，a1·a2·a3＝32，∴a3＝；‎ 同理，可得a4＝，a5＝.‎ 因此这个数列的前五项为1,22，，，.‎ ‎(2)观察这个数列的前五项，猜测这个数列的通项公式应为 an＝ 下面用数学归纳法加以证明当n≥2时，an＝.‎ ‎①当n＝2时，a2＝＝22，等式成立．‎ ‎②假设当n＝k，k≥2时，结论成立．‎ 即ak＝.‎ 因为a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，‎ a1·a2·…·ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2，‎ 所以ak＋1＝＝· ‎＝＝.‎ 这就是说n＝k＋1时，结论也成立．‎ 根据①、②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是an＝，‎ 所以an＝