数学理卷·2018届辽宁省抚顺市六校联合体高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届辽宁省抚顺市六校联合体高二上学期期末考试（2017-01）

‎2016－2017学年抚顺市六校联合体高二上学期期末考试试题 数 学（理科）‎ 命题单位：抚顺县高级中学 命题人：秦丽萍 校对人：孙肖 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分.‎ 第I卷（选择题60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.下列说法错误的是（　 ）‎ A．命题“，”的否定是“，” ‎ B．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m=0有实根”的逆命题为真命题 C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题 D．若命题“”为假命题，则“”为真命题 ‎2. 若＝(1，－1，－1)，＝(0,1,1)且，则实数的值是(　　) ‎ ‎ A． 0 B．－1 C．1 D．2 ‎ ‎3. 设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)‎ A．8 B． C．1 D. 4‎ ‎4. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则=（ ）‎ A. 27 B. -1或27 C. 3 D. 或3‎ ‎5. 设p：实数x，y满足(x–2)2+(y–2)2≤8, q：实数x，y满足 ,则p是q的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日 织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织 布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织 布的尺数为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7.下列函数中，最小值为4的是（ ） ‎ A. = B. =‎ C. D. ‎ ‎8. 在中，内角，，的对边分别是，，，已知，且 ‎=，则的值为（ ）‎ A．4 B．5 C. 6 D． 7‎ ‎9．若变量，满足约束条件且目标函数的最大值是最小值的2倍，则的值是（ ）‎ ‎ A． B. 4 C. 3 D. ‎ ‎10.如图， 是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则双曲线的渐近线方程是 (　　) ‎ A． B. ‎ C. y=± D. y=±‎ ‎11.定义为n个正数的“均倒数”．若已知数列的前n项的“均倒数”为，又，则=（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎12.过顶点在原点，焦点在y轴正半轴的抛物线的焦点F作直线 交抛物线于A,B两点,过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D,若，且=72，则该抛物线的方程为（ ）‎ A． B. ‎ ‎ C. D. ‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把正确答案填在题中横线上） ‎ ‎13.如图，在正四棱柱中，底面的边长为7， 与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于 . ‎ ‎14．中，是它的两边，是的面积，若，则的形状为 .‎ ‎15.一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等，若机器人接触不到过点P（-1,0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是 . ‎ ‎16.方程的曲线即为的图象，对于函数，下列命题中正确的是 .（请写出所有正确命题的序号）‎ ‎①函数的图象关于直线对称；‎ ‎②函数在上是单调递减函数； ‎ ‎③函数的图象不经过第一象限；‎ ‎④函数至少存在一个零点；‎ ‎⑤函数的值域是. ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知命题恒成立；命题不等式有解.‎ ‎（Ⅰ）若和均为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是真命题，抛物线与直线相交于M，N两点，O为坐标原点，‎ 求面积的最大值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且有bcos C＋ccos B＝2acos B.‎ ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积是，且a＋c＝5，求b.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱柱-中,侧棱⊥底面，‎ ‎⊥,,. ‎ ‎（Ⅰ）若的中点为，求与所成的角的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角(锐角)的余弦值． ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 某小区要将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．‎ ‎（Ⅰ）设的长为米，若使矩形的面积大于平方米，则x应在什么范围内？‎ ‎（Ⅱ）当的长度为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出这个最小值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，已知=1.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 设椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与 AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且=.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线++=0相切，求椭圆C的方程； （Ⅲ）过F2的直线L与（Ⅱ）中椭圆C交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存 在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎2016－2017学年度抚顺市六校联合体高二上学期期末考试试题 数学(理科)参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分 60分） ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C D A B C D A D B A C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13. 14. 等腰直角三角形 15. 16. ②③⑤‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分,答案仅供参考，其它解法请各位老师酌情给分）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）解：∵pq和q均为真命题，∴p为真命题且q为假命题.‎ ‎∵命题恒成立，‎ ‎∴△=.∴-3≤a≤1.‎ 故命题p为真命题时，-3≤a≤1.‎ 又命题q: 不等式有解 ‎∴△= ∴a>或a<-‎ 从而命题q为假命题时，-≤a≤‎ 所以命题p为真命题，q为假命题时，实数的取值范围是-≤a≤1. （5分）‎ ‎（Ⅱ）解：设点M、N的坐标分别为，‎ ‎ 联立消去，得到，‎ ‎ (10分)‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 解: （Ⅰ）依题意，由正弦定理化边为角，得sinBcos C＋sinCcos B=2sinAcosB.‎ 即sin(B＋C)＝2sinAcos B.‎ ‎∵B＋C＝π－A,0＜A＜π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0.‎ ‎∴sinA＝2sinAcos B, ∴ cosB=， ∴B= （6分）‎ ‎（Ⅱ）由B=， ,‎ 得ac·= ∴ac=3, -2accosB ‎=25-6-6×=16 ,所以, b=4. （12分） ‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 解:由 ,的中点为E，所以 DEAC．如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0 )，B(1,0,0)，A1（0,0,2）C(0,2,0)，‎ D(-2,1,0)， B1(1,0,2), D1(-2,1,2)，‎ E（0,1,0）．‎ ‎（Ⅰ），，‎ 因为，‎ 所以，∴与DE所成的角为． ‎ 即与DE所成的角的正弦值为 sin=1. (6分)‎ ‎（Ⅱ）设平面的法向量为，平面的法向量为． ‎ ‎=(1,0,2),=(-2,1,2),． ‎ 由，得 令，则 ‎,同理可得 ,‎ ‎==,‎ 所以,二面角(锐角)的余弦值为． (12分)‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设DN的长为x (x>0)米，则AN＝(x＋2)米． ‎ ‎∵，∴＝=，‎ ‎∴＝·＝(x＋2)·=.‎ 由=>32，得>32，又x>0，整理得3x2－20x＋12>0，‎ 解得：06，即DN长的取值范围是∪(6，＋∞)． （6分）‎ ‎（Ⅱ）矩形花坛AMPN的面积为 ＝＝3x＋＋12≥2＋12＝24，‎ 当且仅当3x＝，即x＝2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24平方米.‎ 故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米． （12分）‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由=1可得 ‎ ∴，‎ 而，则 （5分）‎ ‎（Ⅱ）由及 可得 ‎ .‎ ‎ ‎ 两式相减，得 ‎ ‎ （12分）‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）依题意A（0，b），F1为QF2的中点. ‎ 设F1（-c，0），F2（c，0），则Q（-3c,0）, =(-3c,-b),=(c,-b), ‎ 由⊥，即·==0，∴+=0，‎ 即，∴e=. (3分)‎ ‎（Ⅱ）由题Rt△QAF2外接圆圆心为斜边QF2的中点，‎ F1（-c，0），半径r=2c,‎ ‎∵由题Rt△QAF2外接圆与直线++=0相切，‎ ‎ ∴d=r,即=2c, 解得c=1 .∴a=2,c=1,b=.‎ 所求椭圆C的方程为： （6分）‎ ‎（Ⅲ）设M,N由题知异号，‎ 设△FMN的内切圆的半径为R,则△FMN的周长为4a=8,‎ ‎∴=R=4R,‎ ‎ ∴要使△FMN内切圆的面积最大，只需R最大，此时也最大. （8分）‎ ‎=.=，由题知，直线l的斜率不为零，‎ 可设直线l的方程为x=my+1,‎ 由得+6my-9=0,‎ 由韦达定理，得 ‎+=，=，（△＞0mR）‎ ‎===.‎ 令t=,则t≥1, =(t≥1),‎ 当t=1时，=4R有最大值3.‎ 此时，m=0,=.‎ 故△FMN的内切圆的面积最大值为 此时直线l的方程为x=1. (12分) ‎