2021版新高考数学一轮复习单元质检卷八解析几何新人教A版

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单元质检卷八　解析几何 ‎(时间:100分钟　满分:150分)‎ 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎1.已知点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.7‎ ‎2.(2019云南师范大学附中模拟,8)已知直线l与双曲线x2-y‎2‎‎2‎=1交于A,B两点,以AB为直径的圆C的方程为x2+y2+2x+4y+m=0,则m=(　　)‎ A.-3 B.3 C.5-2‎2‎ D.2‎‎2‎ ‎3.(2019湖南湖北八市十二校一调联考,8)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点,且直线l与圆x2-px+y2-‎3‎‎4‎p2=0交于C、D两点.若|AB|=2|CD|,则直线l的斜率为(　　)‎ A.±‎2‎‎2‎ B.±‎3‎‎2‎ C.±1 D.±‎‎2‎ ‎4.(2019江西名校(临川一中、南昌二中)2019联考,7)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点P满足‎|PA|‎‎|PB|‎‎=‎‎2‎,当P、A、B不共线时,三角形PAB面积的最大值是(　　)‎ A.2‎2‎ B.‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ 16‎ ‎5.设F1、F2是双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,点P为双曲线C右支上一点,|F1F2|=10,PF2⊥F1F2,|PF2|=‎16‎‎3‎,O为坐标原点,则OA‎·‎OP=(　　)‎ A.-‎29‎‎3‎ B.‎16‎‎3‎ C.15 D.-15‎ ‎6.(2019山东青岛调研,11)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|等于(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.1 C.2 D.4‎ ‎7.(2019黑龙江齐齐哈尔市二模,9)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直x轴的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方.若|AB|=3,△ABF2的内切圆的面积为‎9π‎16‎,则直线AF2的方程是(　　)‎ A.3x+2y-3=0 B.2x+3y-2=0‎ C.4x+3y-4=0 D.3x+4y-3=0‎ ‎8.(2019四川南充三模,8)已知直线x+y=1与椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)交于P,Q两点,且OP⊥OQ(其中O为坐标原点),若椭圆的离心率e满足‎3‎‎3‎≤e≤‎2‎‎2‎,则椭圆长轴的取值范围是(　　)‎ A.[‎5‎‎,‎‎6‎] B.‎‎5‎‎2‎‎,‎‎6‎‎2‎ C.‎5‎‎4‎‎,‎‎3‎‎2‎ D.‎5‎‎2‎,3‎ 二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎9.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是(　　)‎ 16‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10.已知三个数1,a,9成等比数列,则圆锥曲线x‎2‎a‎+‎y‎2‎‎2‎=1的离心率为(　　)‎ A.‎5‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎10‎‎2‎ D.‎‎3‎ ‎11.已知双曲线C过点(3,‎2‎)且渐近线为y=±‎3‎‎3‎x,则下列结论正确的是(　　)‎ A.C的方程为x‎2‎‎3‎-y2=1‎ B.C的离心率为‎3‎ C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点 D.直线x-‎2‎y-1=0与C有两个公共点 ‎12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”,后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足‎|PA|‎‎|PB|‎‎=‎‎1‎‎2‎.设点P的轨迹为C,下列结论正确的是(　　)‎ A.C的方程为(x+4)2+y2=9‎ B.在x轴上存在异于A,B的两定点D,E,使得‎|PD|‎‎|PE|‎‎=‎‎1‎‎2‎ C.当A,B,P三点不共线时,射线PO是∠APB的平分线 D.在C上存在点M,使得|MO|=2|MA|‎ 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ 16‎ ‎13.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△AOB的面积取最小值时,直线l的方程为　　　　　. ‎ ‎14.(2019河北唐山摸底)已知直线l:kx-y-k+2=0与圆C:x2+y2-2y-7=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为　　　　　. ‎ ‎15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F斜率为‎3‎的直线l'与抛物线C交于点M(M在x轴的上方),过M作MN⊥l于点N,连接NF交抛物线C于点Q,则‎|NQ|‎‎|QF|‎=　　　　　. ‎ ‎16.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=　　　　,‎1‎‎|AF|‎‎+‎‎1‎‎|BF|‎=　　　　. ‎ 四、解答题(本大题共5小题,共70分)‎ ‎17.(14分)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线3x-4y+15=0相切.‎ ‎(1)若直线l:y=-2x+5与圆O交于M,N两点,求|MN|;‎ ‎(2)已知A(-9,0),B(-1,0),设P为圆O上任意一点,证明:‎|PA|‎‎|PB|‎为定值.‎ 16‎ ‎18.(14分)(2019河南洛阳模拟,20)已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率e=‎3‎‎3‎,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.‎ 16‎ ‎19.(14分)(2019湖南益阳,20)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m>0)在抛物线上,且|MF|=2.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)若点P(x0,y0)为抛物线上任意一点,过该点的切线为l0,过点F作切线l0的垂线,垂足为Q,则点Q是否在定直线上,若是,求定直线的方程;若不是,说明理由.‎ 16‎ ‎20.(14分)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎3‎‎2‎,点-‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆上,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,点M(t,2)(t≠0).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若直线MA,MB与椭圆C的另一交点分别为P,Q,证明:直线PQ过定点.‎ ‎21.(14分)(2019河北衡水模拟,20)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为‎1‎‎3‎,点P在椭圆C上,且△PF1F2的面积的最大值为2‎2‎.‎ 16‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)已知直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在x轴上存在点G,使得|GM|=|GN|,求点G的横坐标的取值范围.‎ 参考答案 16‎ 单元质检卷八　解析几何 ‎1.A　直线方程即y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),‎ 当直线l⊥PM时,d有最大值,结合两点之间距离公式可得d的最大值为‎(2-2)‎‎2‎‎+‎‎(3-0)‎‎2‎=3.故选A.‎ ‎2.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),根据圆的方程可知C(-1,-2),C为AB的中点,根据双曲线中点差法的结论kAB=b‎2‎a‎2‎‎×x‎0‎y‎0‎=‎2‎‎1‎×‎‎-1‎‎-2‎=1,由点斜式可得直线AB的方程为y=x-1,将直线AB方程与双曲线方程联立x‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1,‎y=x-1,‎解得x=-3,‎y=-4,‎或x=1,‎y=0,‎所以|AB|=4‎2‎,由圆的直径|AB|=D‎2‎‎+E‎2‎-4F‎=‎‎2‎‎2‎‎+‎4‎‎2‎-4m=4‎2‎,可解得m=-3,故选A.‎ ‎3.C　由题设可得x-p‎2‎2+y2=p2,故圆心在焦点上,故CD=2p,AB=4p,设直线l的方程为x=ty+p‎2‎,设A(x1,y1)B(x2,y2)代入y2=2px(p>0)得y2-2pty-p2=0,所以y1+y2=2pt,y1y2=-p2,则AB=‎(1+t‎2‎)(4p‎2‎t‎2‎+4p‎2‎)‎=2p(1+t2)=4p,即1+t2=2,也即t=±1.故选C.‎ ‎4.A　以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系;则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),‎∵‎|PA|‎‎|PB|‎=‎‎2‎,‎∴‎(x+1)‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎(x-1)‎‎2‎‎+‎y‎2‎=‎‎2‎,两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,当点P到AB(x轴)的距离最大时,三角形PAB的面积最大,此时面积为‎1‎‎2‎‎×‎2×2‎2‎=2‎2‎,故选A.‎ ‎5.D　由题得a‎2‎‎+b‎2‎=25,‎b‎2‎a‎=‎16‎‎3‎,‎‎∴‎a=3,b=4.所以双曲线的方程为x‎2‎‎9‎‎-‎y‎2‎‎16‎=1,所以点P的坐标为5,‎16‎‎3‎或5,-‎16‎‎3‎,所以OA‎·‎OP=(-3,0)·5,±‎16‎‎3‎=-15.故选D.‎ 16‎ ‎6.C　∵M,N分别是PQ,PF的中点,∴MN∥FQ,且PQ∥x轴,∵∠NRF=60°,∴∠FQP=60°,由抛物线定义知,|PQ|=|PF|,∴△FQP为正三角形,则FM⊥PQ⇒QM=p=2,正三角形边长为4,PQ=4,FN=‎1‎‎2‎PF=2,又可得△FRN为正三角形,‎ ‎∴FR=2,故选C.‎ ‎7.D　设内切圆半径为r,则πr2=‎9π‎16‎,∴r=‎3‎‎4‎,∵F1(-c,0),∴内切圆圆心为-c+‎3‎‎4‎,0,由|AB|=3知A-c,‎3‎‎2‎,又F2(c,0),所以AF2方程为3x+4cy-3c=0,由内切圆圆心到直线AF2距离为r,即‎|3(-c+‎3‎‎4‎)-3c|‎‎3‎‎2‎‎+(4c‎)‎‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎,得c=1,所以AF2方程为3x+4y-3=0,故选D.‎ ‎8.A　联立x+y=1,‎x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1,‎得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴Δ=4a4-4(a2+b2)(a2-a2b2)>0,化为a2+b2>1.‎ 则x1+x2=‎2‎a‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎,x1x2=‎a‎2‎‎-‎a‎2‎b‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎.‎ ‎∵OP⊥OQ,‎ ‎∴OP·‎OQ‎=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-1)(x2-1)=2x1x2-(x1+x2)+1=0,‎ ‎∴2‎×a‎2‎‎-‎a‎2‎b‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎-‎‎2‎a‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎+1=0.‎ 化简得a2+b2=2a2b2.∴b2=‎a‎2‎‎2a‎2‎-1‎‎.‎ ‎∵椭圆的离心率e满足‎3‎‎3‎‎≤‎e‎≤‎‎2‎‎2‎,‎ ‎∴‎1‎‎3‎≤‎e2‎≤‎‎1‎‎2‎,‎∴‎1‎‎3‎≤a‎2‎‎-‎b‎2‎a‎2‎≤‎‎1‎‎2‎,‎ ‎1‎‎3‎‎≤‎‎1-‎1‎‎2a‎2‎-1‎‎≤‎‎1‎‎2‎,化为5≤4a2≤6,解得‎5‎‎≤‎2a‎≤‎6‎.‎满足Δ>0.∴椭圆长轴的取值范围是[‎5‎‎,‎‎6‎].故选A.‎ 16‎ ‎9.AB　∵x2+y2-4x=0,∴(x-2)2+y2=4.‎ 过P点所作的圆的两条切线相互垂直,∴点P,圆心C,两切点构成正方形,则PC=2‎2‎,即(x-2)2+y2=8.‎ ‎∵点P在直线y=k(x+1)上,则圆心距d=‎|2k-0+k|‎‎1+‎k‎2‎‎≤‎2‎2‎,‎ 得-2‎2‎‎≤‎k≤2‎2‎‎.‎故选AB.‎ ‎10.BC　由三个数1,a,9成等比数列,得a2=9,即a=±3;当a=3,圆锥曲线为x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1,曲线为椭圆,则e=‎1‎‎3‎‎=‎‎3‎‎3‎;当a=-3时,曲线为y‎2‎‎2‎‎-‎x‎2‎‎3‎=1,曲线为双曲线,e=‎5‎‎2‎‎=‎‎10‎‎2‎,‎ 则离心率为‎3‎‎3‎或‎10‎‎2‎.‎ ‎11.AC　对于选项A:由已知y=±‎3‎‎3‎x,可得y2=‎1‎‎3‎x2,从而设所求双曲线方程为‎1‎‎3‎x2-y2=λ,又由双曲线C过点(3,‎2‎),从而‎1‎‎3‎‎×‎32-(‎2‎)2=λ,即λ=1,从而选项A正确;‎ 对于选项B:由双曲线方程可知a=‎3‎,b=1,c=2,从而离心率为e=ca‎=‎2‎‎3‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎,所以B选项错误;‎ 对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足y=ex-2-1,从而选项C正确;对于选项D:联立x-‎2‎y-1=0,‎x‎2‎‎3‎‎-y‎2‎=1,‎整理,得y2+2‎2‎y+2=0,由Δ=(2‎2‎)2-4×2=0,知直线与双曲线C只有一个交点,选项D错误.‎ 故选AC.‎ ‎12.BC　设点P(x,y),则‎|PA|‎‎|PB|‎‎=‎1‎‎2‎=‎‎(x+2‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎(x-4‎)‎‎2‎+‎y‎2‎,化简整理得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,故A错误;‎ 当D(-1,0),B(2,0)时,‎|PD|‎‎|PE|‎‎=‎‎1‎‎2‎,故B正确;‎ 16‎ 对于C选项,cos∠APO=AP‎2‎+PO‎2‎-AO‎2‎‎2AP·PO,cos∠BPO=BP‎2‎+PO‎2‎-BO‎2‎‎2BP·PO,要证PO为角平分线,只需证明cos∠APO=cos∠BPO,即证AP‎2‎+PO‎2‎-AO‎2‎‎2AP·PO‎=‎BP‎2‎+PO‎2‎-BO‎2‎‎2BP·PO,化简整理即证PO2=2AP2-8,设P(x,y),则PO2=x2+y2,2AP2-8=2x2+8x+2y2=(x2+8x+y2)+(x2+y2)=x2+y2,则证cos∠APO=cos∠BPO,故C正确;‎ 对于D选项,设M(x0,y0),由|MO|=2|MA|可得x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎‎=‎‎(x‎0‎+2‎)‎‎2‎+‎y‎0‎‎2‎,整理得3x‎0‎‎2‎+3y‎0‎‎2‎+16x0+16=0,而点M在圆上,故满足x2+y2+8x=0,联立解得x0=2,y0无实数解,故D错误.故答案为BC.‎ ‎13.2x+3y-12=0　设直线l的方程为xa‎+‎yb=1(a>0,b>0),将点P(3,2)代入得‎3‎a‎+‎‎2‎b=1≥2‎6‎ab,即ab≥24,当且仅当‎3‎a‎=‎‎2‎b,即a=6,b=4时等号成立,又S△AOB=‎1‎‎2‎ab,所以当a=6,b=4时△AOB的面积最小,此时直线l的方程为x‎6‎‎+‎y‎4‎=1,即2x+3y-12=0.‎ ‎14.2‎6‎　kx-y-k+2=0,化为y-2=k(x-1),直线过定点E(1,2),E(1,2)在圆x2+y2-2y-7=0内,当E是AB中点时,|AB|最小,由x2+y2-2y-7=0得x2+(y-1)2=8,圆心C(0,1),半径2‎2‎,|AB|=2‎8-|EC‎|‎‎2‎=2‎8-2‎=2‎6‎,故答案为2‎‎6‎‎.‎ ‎15.2　由抛物线定义可得MF=MN,又斜率为‎3‎的直线l'倾斜角为π‎3‎,MN⊥l,所以∠NMF=π‎3‎,即三角形MNF为正三角形,因此NF倾斜角为‎2π‎3‎,由y‎2‎‎=2px,‎y=-‎3‎(x-p‎2‎),‎解得x=p‎6‎或x=‎3p‎2‎(舍),即xQ=p‎6‎‎,‎|NQ|‎‎|QF|‎=‎p‎6‎‎-(-p‎2‎)‎p‎2‎‎-‎p‎6‎=2.‎ ‎16.2　1　由题意知p‎2‎=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.‎ ‎(方法一)将x=1代入,解得|AF|=|BF|=2,从而‎1‎‎|AF|‎‎+‎‎1‎‎|BF|‎=1.‎ ‎(方法二)设AB的方程为y=k(x-1),联立y=k(x-1),‎y‎2‎‎=4x,‎整理,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x‎1‎‎+x‎2‎=‎2k‎2‎+4‎k‎2‎,‎x‎1‎x‎2‎‎=1.‎ 16‎ 从而‎1‎‎|AF|‎‎+‎1‎‎|BF|‎=‎1‎x‎1‎‎+1‎+‎1‎x‎2‎‎+1‎=x‎1‎‎+x‎2‎+2‎x‎1‎‎+x‎2‎+x‎1‎x‎2‎+1‎=‎x‎1‎‎+x‎2‎+2‎x‎1‎‎+x‎2‎+2‎=1.‎ ‎17.(1)解由题意知,圆心O到直线3x-4y+15=0的距离d=‎15‎‎9+16‎=3,‎ ‎∵圆O与直线相切,∴r=d=3,∴圆O方程为x2+y2=9.‎ 圆心O到直线l:y=-2x+5的距离d1=‎5‎‎4+1‎‎=‎‎5‎,‎ ‎∴|MN|=2‎9-‎d‎1‎‎2‎=4.‎ ‎(2)证明设P(x0,y0),则x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎=9,‎ ‎∴‎|PA|‎‎|PB|‎=‎(x‎0‎+9)‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎‎(x‎0‎+1)‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎=x‎0‎‎2‎‎+18x‎0‎+81+‎y‎0‎‎2‎x‎0‎‎2‎‎+2x‎0‎+1+‎y‎0‎‎2‎=‎‎18x‎0‎+90‎‎2x‎0‎+10‎‎=3,‎ 即‎|PA|‎‎|PB|‎为定值3.‎ ‎18.解(1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以c=1,又因为e=ca‎=‎1‎a=‎‎3‎‎3‎,所以a=‎3‎,所以b2=2,所以椭圆的标准方程为x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)(i)当直线BD的斜率k存在且k≠0时,直线BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.‎ 设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-‎6‎k‎2‎‎3k‎2‎+2‎,x1x2=‎3k‎2‎-6‎‎3k‎2‎+2‎,‎ ‎|BD|=‎1+‎k‎2‎‎·‎|x1-x2|=‎(1+k‎2‎)·‎‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎‎-4‎x‎1‎x‎2‎‎=‎4‎3‎(k‎2‎+1)‎‎3k‎2‎+2‎.‎易知AC的斜率为-‎1‎k,所以|AC|=‎‎4‎3‎(‎1‎k‎2‎+1)‎‎3×‎1‎k‎2‎+2‎‎=‎4‎3‎(k‎2‎+1)‎‎2k‎2‎+3‎.‎ 所以|AC|+|BD|=4‎3‎(k2+1)‎1‎‎3k‎2‎+2‎‎+‎‎1‎‎2k‎2‎+3‎=‎‎20‎‎3‎‎(k‎2‎+1)‎‎2‎‎(3k‎2‎+2)(2k‎2‎+3)‎ 16‎ ‎≥‎‎20‎‎3‎‎(k‎2‎+1)‎‎2‎‎(3k‎2‎+2)+(2k‎2‎+3)‎‎2‎‎2‎ ‎=‎‎20‎‎3‎‎(k‎2‎+1)‎‎2‎‎25‎‎(k‎2‎+1)‎‎2‎‎4‎‎=‎16‎‎3‎‎5‎.‎ 当k2=1,即k=±1时,上式取等号,‎ 故|AC|+|BD|的最小值为‎16‎‎3‎‎5‎‎.‎ ‎(ii)当直线BD的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=‎‎10‎‎3‎‎3‎‎>‎16‎‎3‎‎5‎.‎ 综上,|AC|+|BD|的最小值为‎16‎‎3‎‎5‎‎.‎ ‎19.解(1)由抛物线的定义可知,|MF|=m+p‎2‎=2,①‎ 又M(2,m)在抛物线上,所以2pm=4,②‎ 由①②联立解得p=2,m=1,‎ 所以抛物线C的方程为x2=4y.‎ ‎(2)①当x0=0,即点P为原点时,易知点Q在直线y=0上;‎ ‎②当x0≠0,即点P不在原点时,‎ 由(1)得,x2=4y,则y'=‎1‎‎2‎x,‎ 所以在点P处的切线的斜率为‎1‎‎2‎x0,‎ 所以在点P处的切线l0的方程为y-y0=‎1‎‎2‎x0(x-x0),又x‎0‎‎2‎=4y0,‎ 16‎ 所以y=‎1‎‎2‎x0x-y0.‎ 又过点F与切线l0垂直的方程为y-1=-‎2‎x‎0‎x,‎ 联立方程y=‎1‎‎2‎x‎0‎x-y‎0‎,‎y-1=-‎2‎x‎0‎x,‎ 消去x,得y=-‎1‎‎4‎(y-1)x‎0‎‎2‎-y0.(*)‎ 因为x‎0‎‎2‎=4y0,‎ 所以(*)可化为y=-yy0,即(y0+1)y=0,由y0>0,可知y=0,即垂足Q必在x轴上.‎ 所以点Q必在直线y=0上,‎ 综上,点Q必在直线y=0上.‎ ‎20.(1)解由题意知ca‎=‎3‎‎2‎,‎‎3‎a‎2‎‎+‎1‎‎4‎b‎2‎=1,‎a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎,‎解得a=2,‎b=1,‎c=‎3‎,‎所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)证明易知A(0,1),B(0,-1),则直线MA的方程为y=‎1‎tx+1,直线MB的方程为y=‎3‎tx-1.‎ 联立y=‎1‎tx+1,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎得‎4‎t‎2‎+1x2+‎8‎tx=0,于是xP=‎-8tt‎2‎‎+4‎,yP=t‎2‎‎-4‎t‎2‎‎+4‎,‎ 同理可得xQ=‎24tt‎2‎‎+36‎,yQ=‎36-‎t‎2‎t‎2‎‎+36‎,‎ 又由点M(t,2)(t≠0)及椭圆的对称性可知定点在y轴上,‎ 16‎ 设为N(0,n),则直线PN的斜率k1=t‎2‎‎-4‎t‎2‎‎+4‎‎-n‎-8tt‎2‎‎+4‎,直线QN的斜率k2=‎36-‎t‎2‎t‎2‎‎+36‎‎-n‎24tt‎2‎‎+36‎,令k1=k2,则t‎2‎‎-4‎t‎2‎‎+4‎‎-n‎-8tt‎2‎‎+4‎‎=‎‎36-‎t‎2‎t‎2‎‎+36‎‎-n‎24tt‎2‎‎+36‎,化简得t‎2‎‎-4-n(t‎2‎+4)‎‎-8t‎=‎‎36-t‎2‎-n(t‎2‎+36)‎‎24t,解得n=‎1‎‎2‎,‎ 所以直线PQ过定点0,‎1‎‎2‎.‎ ‎21.解(1)由已知得ca‎=‎1‎‎3‎,‎‎1‎‎2‎‎×2c×b=2‎2‎,‎c‎2‎‎=a‎2‎-b‎2‎,‎ 解得a2=9,b2=8,c2=1,‎ 故椭圆C的方程为x‎2‎‎9‎‎+‎y‎2‎‎8‎=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为E(x0,y0),点G(m,0),使得|GM|=|GN|,则GE⊥MN.‎ 由y=kx+2,‎x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎8‎=1,‎消y得(8+9k2)x2+36kx-36=0,由Δ>0,得k∈R.‎ ‎∴x1+x2=-‎36k‎9k‎2‎+8‎,∴x0=‎-18k‎9k‎2‎+8‎,y0=kx0+2=‎‎16‎‎9k‎2‎+8‎‎.‎ ‎∵GE⊥MN,∴kGE=-‎1‎k,即‎16‎‎9k‎2‎+8‎‎-0‎‎-18k‎9k‎2‎+8-m=-‎1‎k,∴m=‎-2k‎9k‎2‎+8‎‎=‎-2‎‎9k+‎‎8‎k.‎当k>0时,9k+‎8‎k‎≥‎2‎9×8‎=12‎2‎当且仅当9k=‎8‎k,即k=‎2‎‎2‎‎3‎时,取等号,∴-‎2‎‎12‎‎≤‎m<0;‎ 当k<0时,9k+‎8‎k‎≤‎-12‎2‎当且仅当9k=‎8‎k,即k=-‎2‎‎2‎‎3‎时,取等号,‎ ‎∴0

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