数学卷·2018届四川省成都市崇庆中学高二下学期开学数学试卷(文科) (解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届四川省成都市崇庆中学高二下学期开学数学试卷(文科) (解析版)

‎2016-2017学年四川省成都市崇庆中学高二(下)开学数学试卷(文科) ‎ ‎  ‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) ‎ ‎1.市疾病控制中心今日对我校高二学生进行了某项健康调查,调查的方法是采取分层抽样的方法抽取样本.我校高二学生共有2000人,抽取了一人200人的样本,样本中男生103人,请问我校共有女生(  ) ‎ A.970 B.1030 C.997 D.206‎ ‎2.已知命题p:∀x∈R,cosx>1,则¬p是(  ) ‎ A.∃x∈R,cosx<1 B.∀x∈R,cosx<1 C.∀x∈R,cosx≤1 D.∃x∈R,cosx≤1‎ ‎3.已知抛物线y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为2,则a=(  ) ‎ A.4 B.2 C. D.‎ ‎4.点M在矩形ABCD内运动,其中AB=2,BC=1,则动点M到顶点A的距离|AM|≤1的概率为(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设,不共线的两个向量,若命题p:>0,命题q:夹角是锐角,则命题p是命题q成立的 (  ) ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎6.直线l:x﹣ky﹣1=0与圆C:x2+y2=2的位置关系是(  ) ‎ A.相切 B.相离 ‎ C.相交 D.与k的取值有关 ‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为(  ) ‎ ‎ ‎ A. B. C.0 D.‎ ‎8.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为(  ) ‎ ‎ ‎ A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8‎ ‎9.若关于x,y的不等式组(k≠0)表示的平面区域形状是直角三角形,则该区域的面积为(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知命题p:向量=(1,2)与向量=(2,k)的夹角为锐角的充要条件是k>﹣1;命题q:函数f(x)=是偶函数,下列是真命题的是(  ) ‎ A.p∧q B.(¬p)∧q C.p∧(¬q) D.p∨(¬q)‎ ‎11.双曲线﹣=1(a>0,b>0)的实轴为A1A2‎ ‎,虚轴的一个端点为B,若三角形A1A2B的面积为b2,则双曲线的离心率(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于O、A、B三点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=(  ) ‎ A.1 B. C.2 D.3‎ ‎  ‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,把答案填在题中横线上) ‎ ‎13.某班级有50名学生,现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这50名学生随机编号1~50号,并分组,第一组1~5号,第二组6~10号,…,第十组46~50号,若在第三组中抽得号码为12的学生,则在第八组中抽得号码为  的学生. ‎ ‎14.如图,在边长为3m的正方形中随机撒3000粒豆子,有800粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为  m2. ‎ ‎ ‎ ‎15.已知A(0,1),B(﹣,0),C(﹣,2),则△ABC内切圆的圆心到直线y=﹣x+1的距离为  . ‎ ‎16.若实数x,y满足,则z=x﹣2y的最小值为  . ‎ ‎  ‎ 三、解答题:(本大题共6小题,17题10分,其余每小题10分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.) ‎ ‎17.设集合A={x|x2+2x﹣3<0},集合B={x||x+a|<1}. ‎ ‎(1)若a=3,求A∪B; ‎ ‎(2)设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围. ‎ ‎18.某营养学家建议:高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60,90](单位:克),脂肪的摄入量控制在[18,27](单位:克).某学校食堂提供的伙食以食物A和食物B为主,1千克食物A含蛋白质60克,含脂肪9克,售价20元;1千克食物B含蛋白质30克,含脂肪27克,售价15元. ‎ ‎(Ⅰ)如果某学生只吃食物A,判断他的伙食是否符合营养学家的建议,并说明理由; ‎ ‎(Ⅱ)为了花费最低且符合营养学家的建议,学生需要每天同时食用食物A和食物B各多少千克?并求出最低需要花费的钱数. ‎ ‎19.从某校高三1200名学生中随机抽取40名,将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图(如图)(满分为150分,成绩均为不低于80分整数),分为7段:[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]. ‎ ‎ ‎ ‎(1)求图中的实数a的值,并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数; ‎ ‎(2)在随机抽取的40名学生中,从成绩在[90,100)与[140,150]两个分数段内随机抽取两名学生,求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率. ‎ ‎20.2016年5月20日,针对部分“二线城市”房价上涨过快,媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如表): ‎ 月收入(百元)‎ 赞成人数 ‎[15,25)‎ ‎8‎ ‎[25,35)‎ ‎7‎ ‎[35,45)‎ ‎10‎ ‎[45,55)‎ ‎6‎ ‎[55,65)‎ ‎2‎ ‎[65,75)‎ ‎2‎ ‎(Ⅰ)试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入; ‎ ‎(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[65,75)的被调查者中随机选取2人进行追踪调查,求被选取的2人都不赞成的概率. ‎ ‎ ‎ ‎21.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知R(x0,y0)是椭圆+=1上的一点,从原点O向圆R(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=12作两条切线,分别交椭圆于P,Q两点. ‎ ‎(1)若R点在第一象限,且直线OP,OQ互相垂直,求圆R的方程; ‎ ‎(2)若直线OP,OQ的斜率存在,分别记为k1,k2,求k1k2的值. ‎ ‎ ‎ ‎22.已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点,O为坐标原点,点P(﹣1,)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足+=; ‎ ‎(1)求椭圆的标准方程; ‎ ‎(2)⊙O是以F1F2为直径的圆,一直线l:y=kx+m与⊙O相切,并与椭圆交于不同的两点A、B.当=λ且满足≤λ≤时,求△AOB面积S的取值范围. ‎ ‎  ‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年四川省成都市崇庆中学高二(下)开学数学试卷(文科) ‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎  ‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) ‎ ‎1.市疾病控制中心今日对我校高二学生进行了某项健康调查,调查的方法是采取分层抽样的方法抽取样本.我校高二学生共有2000人,抽取了一人200人的样本,样本中男生103人,请问我校共有女生(  ) ‎ A.970 B.1030 C.997 D.206‎ ‎【考点】分层抽样方法. ‎ ‎【分析】求出样本容量中女生的人数,再计算总体中女生数为多少. ‎ ‎【解答】解:∵样本容量为200,女生为200﹣103=97, ‎ 且分层抽样的抽取比例为=, ‎ ‎∴总体中女生数为97×10=970人. ‎ 故选:A. ‎ ‎【点评】本题考查了分层抽样的定义与应用问题,是基础题目. ‎ ‎  ‎ ‎2.已知命题p:∀x∈R,cosx>1,则¬p是(  ) ‎ A.∃x∈R,cosx<1 B.∀x∈R,cosx<1 C.∀x∈R,cosx≤1 D.∃x∈R,cosx≤1‎ ‎【考点】命题的否定. ‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. ‎ ‎【解答】解:命题是全称命题,则命题的否定是∃x∈R,cosx≤1, ‎ 故选:D. ‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. ‎ ‎  ‎ ‎3.已知抛物线y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为2,则a=(  ) ‎ A.4 B.2 C. D.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质. ‎ ‎【分析】将抛物线方程转化成标准方程,则2p=,由焦点到准线的距离d=p==2,即可求得a的值. ‎ ‎【解答】解:抛物线x2=y(a>0),焦点在y轴的正半轴,即2p=, ‎ 由焦点到准线的距离d=p==2, ‎ 则a=, ‎ 故选C. ‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查转化思想,属于基础题. ‎ ‎  ‎ ‎4.点M在矩形ABCD内运动,其中AB=2,BC=1,则动点M到顶点A的距离|AM|≤1的概率为(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型. ‎ ‎【分析】根据已知条件,求出满足条件的矩形ABCD的面积,以及动点M到顶点A的距离|AM|≤1对应的平面区域面积,代入几何概型计算公式加以计算,可得所求概率. ‎ ‎【解答】解:矩形ABCD的面积为2×1=2. ‎ 动点M到顶点A的距离|AM|≤1的平面区域,是以A为圆心半径等于1的圆,其面积为. ‎ ‎∴动点M到顶点A的距离|AM|≤1的概率P=. ‎ 故选:B. ‎ ‎【点评】本题给出矩形ABCD内的动点M,求|AM|≤1的概率.着重考查了正方形与扇形的面积公式、几何概型计算公式等知识点, ‎ ‎  ‎ ‎5.设,不共线的两个向量,若命题p:>0,命题q:夹角是锐角,则命题p是命题q成立的 (  ) ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. ‎ ‎【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理即可得出. ‎ ‎【解答】解:,不共线的两个向量,若命题p:>0,则>0⇔夹角是锐角, ‎ 因此命题p是命题q成立的充要条件. ‎ 故选:C. ‎ ‎【点评】本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. ‎ ‎  ‎ ‎6.直线l:x﹣ky﹣1=0与圆C:x2+y2=2的位置关系是(  ) ‎ A.相切 B.相离 ‎ C.相交 D.与k的取值有关 ‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系. ‎ ‎【分析】求出圆C:x2+y2=2的圆心C(0,0),半径r=,再求出圆心C(0,0)到直线l:x﹣ky﹣1=0的距离,从而得到直线l:x﹣ky﹣1=0与圆C:x2+y2=2相交. ‎ ‎【解答】解:圆C:x2+y2=2的圆心C(0,0),半径r=, ‎ 圆心C(0,0)到直线l:x﹣ky﹣1=0的距离d=, ‎ ‎∴直线l:x﹣ky﹣1=0与圆C:x2+y2=2相交. ‎ 故选:C. ‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意圆的性质和点到直线的距离公式的合理运用. ‎ ‎  ‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为(  ) ‎ ‎ ‎ A. B. C.0 D.‎ ‎【考点】程序框图. ‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. ‎ ‎【解答】解:当i=1时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=2; ‎ 当i=2时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=3; ‎ 当i=3时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=3; ‎ 当i=4时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=5; ‎ 当i=5时,执行完循环体后:S=0,满足继续循环的条件,故i=6; ‎ 当i=6时,执行完循环体后:S=0,满足继续循环的条件,故i=7; ‎ 当i=7时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=8; ‎ 当i=8时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=9; ‎ 当i=9时,执行完循环体后:S=,不满足继续循环的条件, ‎ 故输出结果为, ‎ 故选:A ‎ ‎【点评】‎ 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题. ‎ ‎  ‎ ‎8.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为(  ) ‎ ‎ ‎ A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8‎ ‎【考点】茎叶图. ‎ ‎【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来,再除以5.找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数为中位数.据此列式求解即可. ‎ ‎【解答】解:乙组数据平均数=(9+15+18+24+10+y)÷5=16.8; ‎ ‎∴y=8; ‎ 甲组数据可排列成:9,12,10+x,24,27.所以中位数为:10+x=15, ‎ ‎∴x=5. ‎ 故选:C. ‎ ‎【点评】本题考查了中位数和平均数的计算.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数. ‎ ‎  ‎ ‎9.若关于x,y的不等式组(k≠0)表示的平面区域形状是直角三角形,则该区域的面积为(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单线性规划. ‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用平面区域是直角三角形,求出k=2,结合三角形的面积公式即可得到结论. ‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图, ‎ 直线kx﹣y+1=0,过定点A(0,1), ‎ ‎∵k≠0, ‎ ‎∴若平面区域形状是直角三角形, ‎ 则必有kx﹣y+1=0与直线y=﹣x垂直时, ‎ 此时, ‎ 此时k=2,即直线方程为2x﹣y+1=0, ‎ 由得,即C(﹣,), ‎ 此时△AOC的面积S==, ‎ 故选:D. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域,以及直线垂直的等价条件,利用数形结合是解决本题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎10.已知命题p:向量=(1,2)与向量=(2,k)的夹角为锐角的充要条件是k>﹣1;命题q:函数f(x)=是偶函数,下列是真命题的是(  ) ‎ A.p∧q B.(¬p)∧q C.p∧(¬q) D.p∨(¬q)‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. ‎ ‎【分析】‎ 先根据向量的数量判断命题p为假命题,再根据偶函数的定义判断出命题q为真命题,最后根据复合命题的真假判断即可. ‎ ‎【解答】解:∵向量=(1,2)与向量=(2,k)的夹角为锐角, ‎ ‎∴=2+2k>0,解得k>﹣1, ‎ 当k=4时, =,则与共线, ‎ 即向量=(1,2)与向量=(2,k)的夹角为锐角的充要条件是k>﹣1且k≠4, ‎ ‎∴命题p为假命题, ‎ ‎∵函数f(x)=, ‎ ‎∴f(﹣x)===f(x), ‎ ‎∴f(x)为偶函数, ‎ ‎∴命题q为真命题, ‎ ‎∴¬p∧q为真命题, ‎ 故选:B. ‎ ‎【点评】本题考查了向量的夹角公式和偶函数的定义,因复合命题的判断,属于中档题. ‎ ‎  ‎ ‎11.双曲线﹣=1(a>0,b>0)的实轴为A1A2,虚轴的一个端点为B,若三角形A1A2B的面积为b2,则双曲线的离心率(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质. ‎ ‎【分析】根据三角形的面积建立方程关系,建立a,b,c的关系进行求解即可得到结论. ‎ ‎【解答】解:设B(0,B),则|A1A2|=2a, ‎ ‎∵三角形A1A2B的面积为b2, ‎ ‎∴S==ab=b2, ‎ 即a=b, ‎ 则离心率e====, ‎ 故选:B. ‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算,根据三角形的面积建立方程关系进行求解是解决本题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎12.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于O、A、B三点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=(  ) ‎ A.1 B. C.2 D.3‎ ‎【考点】双曲线的简单性质. ‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px(p>0)的准线方程,进而求出A,B两点的坐标,再由双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,列出方程,由此方程求出p的值. ‎ ‎【解答】解:∵双曲线, ‎ ‎∴双曲线的渐近线方程是y=±x ‎ 又抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=﹣, ‎ 故A,B两点的纵坐标分别是y=±,双曲线的离心率为2,所以, ‎ ‎∴则, ‎ A,B两点的纵坐标分别是y=±=, ‎ 又,△AOB的面积为,x轴是角AOB的角平分线 ‎ ‎∴,得p=2. ‎ 故选C. ‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解题的关键是求出双曲线的渐近线方程,解出A,B两点的坐标,列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键,有一定的运算量,做题时要严谨,防运算出错. ‎ ‎  ‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,把答案填在题中横线上) ‎ ‎13.某班级有50名学生,现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这50名学生随机编号1~50号,并分组,第一组1~5号,第二组6~10号,…,第十组46~50号,若在第三组中抽得号码为12的学生,则在第八组中抽得号码为 37 的学生. ‎ ‎【考点】系统抽样方法. ‎ ‎【分析】由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大(8﹣3)×5,由此能求出结果. ‎ ‎【解答】解:这50名学生随机编号1~50号,并分组,第一组1~5号,第二组6~10号,…,第十组46~50号, ‎ 在第三组中抽得号码为12的学生, ‎ 则在第八组中抽得号码为12+(8﹣3)×5=37. ‎ 故答案为:37. ‎ ‎【点评】抽样选用哪一种抽样形式,要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少,可采用抽签法,若总体个数较多且个体各部分差异不大,可采用系统抽样,若总体的个体差异较大,可采用分层抽样. ‎ ‎  ‎ ‎14.如图,在边长为3m的正方形中随机撒3000粒豆子,有800粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 2.4 m2. ‎ ‎ ‎ ‎【考点】几何概型. ‎ ‎【分析】根据几何槪型的概率几何意义,即可得到关于阴影部分面积的等式解之即可. ‎ ‎【解答】解:正方形的面积S=3×3=9,设阴影部分的面积为S, ‎ ‎∵随机撒3000粒豆子,有800粒落到阴影部分, ‎ ‎∴几何槪型的概率公式进行估计得, ‎ 即S=2.4m2; ‎ 故答案为:2.4. ‎ ‎【点评】本题主要考查几何槪型的概率的几何意义的应用,利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键,比较基础. ‎ ‎  ‎ ‎15.已知A(0,1),B(﹣,0),C(﹣,2),则△ABC内切圆的圆心到直线y=﹣x+1的距离为 1 . ‎ ‎【考点】点到直线的距离公式. ‎ ‎【分析】由三角形的三个顶点坐标求出内切圆的圆心,再由点到直线的距离公式求得答案. ‎ ‎【解答】解:∵A(0,1),B(﹣,0),C(﹣,2), ‎ ‎∴AB的中点坐标为(﹣,), ‎ 又kAB==, ‎ ‎∴AB的垂直平分线的斜率为k=﹣, ‎ 则AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣(x+), ‎ 又BC的垂直平分线方程为y=1, ‎ 代入上式得:△ABC外接圆的圆心, ‎ 也是内切圆的圆心I(﹣,1), ‎ 则I到直线y=﹣x+1的距离为 ‎ d==1. ‎ 故答案为:1. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了三角形内切圆圆心的求法问题,也考查了点到直线距离公式的应用问题,是综合性题目. ‎ ‎  ‎ ‎16.若实数x,y满足,则z=x﹣2y的最小值为 ﹣ . ‎ ‎【考点】简单线性规划. ‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求解即可. ‎ ‎【解答】解:由z=x﹣2y得y=, ‎ 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分): ‎ 平移直线y=, ‎ 由图象可知当直线y=,过点A时,直线y=的截距最大,此时z最小, ‎ 由,解得,即A(,) ‎ 代入目标函数z=x﹣2y, ‎ 得z=﹣=﹣﹣3=﹣. ‎ ‎∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣. ‎ 故答案为:﹣. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法. ‎ ‎  ‎ 三、解答题:(本大题共6小题,17题10分,其余每小题10分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.) ‎ ‎17.设集合A={x|x2+2x﹣3<0},集合B={x||x+a|<1}. ‎ ‎(1)若a=3,求A∪B; ‎ ‎(2)设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围. ‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;并集及其运算. ‎ ‎【分析】(1)通过解不等式,求出集合A、B,从而求出其并集即可;(2)问题转化为集合B是集合A的真子集,得到关于a的不等式组,解出即可. ‎ ‎【解答】解:(1)解不等式x2+2x﹣3<0, ‎ 得﹣3<x<1,即A=(﹣3,1),… ‎ 当a=3时,由|x+3|<1, ‎ 解得﹣4<x<﹣2,即集合B=(﹣4,﹣2),… ‎ 所以A∪B=(﹣4,1);… ‎ ‎(2)因为p是q成立的必要不充分条件, ‎ 所以集合B是集合A的真子集… ‎ 又集合A=(﹣3,1),B=(﹣a﹣1,﹣a+1),… ‎ 所以或,… ‎ 解得0≤a≤2, ‎ 即实数a的取值范围是0≤a≤2… ‎ ‎【点评】本题考查了解不等式问题,考查充分必要条件,考查集合的包含关系,是一道基础题. ‎ ‎  ‎ ‎18.某营养学家建议:高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60,90](单位:克),脂肪的摄入量控制在[18,27](单位:克).某学校食堂提供的伙食以食物A和食物B为主,1千克食物A含蛋白质60克,含脂肪9克,售价20元;1千克食物B含蛋白质30克,含脂肪27克,售价15元. ‎ ‎(Ⅰ)如果某学生只吃食物A,判断他的伙食是否符合营养学家的建议,并说明理由; ‎ ‎(Ⅱ)为了花费最低且符合营养学家的建议,学生需要每天同时食用食物A和食物B各多少千克?并求出最低需要花费的钱数. ‎ ‎【考点】简单线性规划的应用. ‎ ‎【分析】(Ⅰ)如果学生只吃食物Axkg,从而得不等式组,是否有解即可; ‎ ‎(Ⅱ)由题意,设学生每天吃食物Axkg,食物Bykg;从而得到目标函数z=20x+15y;线性约束条件 ‎,从而利用线性规划求解即可. ‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)如果学生只吃食物Axkg, ‎ 则, ‎ 无解, ‎ 故不符合营养学家的建议; ‎ ‎(Ⅱ)由题意,设学生每天吃食物Axkg,食物Bykg; ‎ 则z=20x+15y; ‎ ‎ ‎ 作平面区域如下, ‎ ‎, ‎ 由解得,x=,y=; ‎ 故z=20×+15×=22; ‎ 答:学生每天吃0.8千克食物A,0.4千克食物B,既能符合营养学家的建议又花费最少. ‎ 最低需要花费22元. ‎ ‎【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用,属于中档题. ‎ ‎  ‎ ‎19.从某校高三1200名学生中随机抽取40名,将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图(如图)(满分为150分,成绩均为不低于80分整数),分为7段:[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]. ‎ ‎ ‎ ‎(1)求图中的实数a的值,并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数; ‎ ‎(2)在随机抽取的40名学生中,从成绩在[90,100)与[140,150]两个分数段内随机抽取两名学生,求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率. ‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. ‎ ‎【分析】(1)由频率分布直方图中频率之和为1,能求出a,估计该校成绩在120分以上人数即可; ‎ ‎(2)根据概率公式计算即可. ‎ ‎【解答】解:(1)由0.025+0.05+0.075+0.1+0.2+0.25+10a=1,得a=0.03成绩在120分以上的人频率为0.3+0.25+0.075=0.625,估计该校成绩在120分以上人数为1200×0.625=750人, ‎ ‎(2)成绩在[90,100)与[140,150]两个分数段内学生人数分别为2人和3人,从中抽出2人的基本事件总数为10种,其中这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10的事件数为4,所求概率为p==. ‎ ‎【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力. ‎ ‎  ‎ ‎20.2016年5月20日,针对部分“二线城市”房价上涨过快,媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如表): ‎ 月收入(百元)‎ 赞成人数 ‎[15,25)‎ ‎8‎ ‎[25,35)‎ ‎7‎ ‎[35,45)‎ ‎10‎ ‎[45,55)‎ ‎6‎ ‎[55,65)‎ ‎2‎ ‎[65,75)‎ ‎2‎ ‎(Ⅰ)试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入; ‎ ‎(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[65,75)的被调查者中随机选取2人进行追踪调查,求被选取的2人都不赞成的概率. ‎ ‎ ‎ ‎【考点】频率分布直方图. ‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据中位数的两边频率相等,列出方程即可求出中位数; ‎ 利用频率分布直方图中各小矩形的底边中点坐标×对应的频率,再求和,即得平均数; ‎ ‎(Ⅱ)利用列举法求出基本事件数,计算对应的概率值. ‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设中位数为x,由直方图知: ‎ ‎10×0.015+10×0.015+(x﹣35)×0.025=0.5, ‎ 解得x=43; ‎ 平均数为=(20×0.015+30×0.015+40×0.025+50×0.02+60×0.015+70×0.01)×10=43.5; ‎ ‎∴这60人的平均月收入约为43.5百元;… ‎ ‎(Ⅱ)月收入为(单位:百元)在[65,75)的人数为: ‎ ‎60×10×0.01=6人,… ‎ 由表格赞成人数2人,则不赞成的4人为: ‎ 记不赞成的人为:a,b,c,d;赞成人数为:A,B ‎ 则从这6人中随机地选取2人一共有15种结果如下: ‎ ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB;… ‎ 其中被选取的2人都不赞成的结果有6种结果如下: ‎ ab,ac,ad,bc,bd,cd;… ‎ 记事件A:“被选取的2人都不赞成”, ‎ 则:P(A)===; ‎ 故被选取的2人都不赞成的概率为.… ‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了利用列举法求古典概型的概率问题,是基础题目. ‎ ‎  ‎ ‎21.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知R(x0,y0)是椭圆+=1上的一点,从原点O向圆R(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=12作两条切线,分别交椭圆于P,Q两点. ‎ ‎(1)若R点在第一象限,且直线OP,OQ互相垂直,求圆R的方程; ‎ ‎(2)若直线OP,OQ的斜率存在,分别记为k1,k2,求k1k2的值. ‎ ‎ ‎ ‎【考点】椭圆的简单性质. ‎ ‎【分析】(1)利用切线的性质可求出|OR|=2,又R在椭圆上.列方程组解出R点坐标; ‎ ‎(2)根据R到OP,OQ的距离为2得出k1,k2为某个一元二次方程的解,根据距离公式得出这个一元二次方程,结合R为椭圆上的点得出k1k2的值. ‎ ‎【解答】解:(1)圆R的半径r=2, ‎ ‎∵OP⊥OQ,∴|OR|=r=2,∴x02+y02=24, ‎ 又点R在椭圆C上,∴, ‎ 联立,解得. ‎ ‎∴圆R的方程为 (x﹣2)2+(y﹣2)2=12. ‎ ‎(2)直线OP方程为:k1x﹣y=0,直线OQ的方程为:k2x﹣y=0. ‎ ‎∵OP,OQ为圆R的切线, ‎ ‎∴=2,. ‎ ‎∴k1,k2为方程的两根, ‎ ‎∴, ‎ ‎∵点R在椭圆C上,∴,即, ‎ ‎∴. ‎ ‎【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系,圆的切线的性质,距离公式的应用,属于中档题. ‎ ‎  ‎ ‎22.已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点,O为坐标原点,点P(﹣1,)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足+=; ‎ ‎(1)求椭圆的标准方程; ‎ ‎(2)⊙O是以F1F2为直径的圆,一直线l:y=kx+m与⊙O相切,并与椭圆交于不同的两点A、B.当=λ且满足≤λ≤时,求△‎ AOB面积S的取值范围. ‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. ‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知条件推导出,由此能求出椭圆的标准方程. ‎ ‎(Ⅱ)由圆O与直线l相切,和m2=k2+1,由,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,由此能求出△AOB面积S的取值范围. ‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵ +=,∴点M是线段PF2的中点, ‎ ‎∴OM是△PF1F2的中位线, ‎ 又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2 ‎ ‎∴,解得a2=2,b2=1,c2=1, ‎ ‎∴椭圆的标准方程为=1. ‎ ‎(Ⅱ)∵圆O与直线l相切,∴,即m2=k2+1, ‎ 由,消去y:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0, ‎ ‎∵直线l与椭圆交于两个不同点, ‎ ‎∴△>0,∴k2>0,设A(x1,y1),B(x2,y2), ‎ 则x1+x2=﹣,, ‎ y1y2=(kx1+m)(kx2+m) ‎ ‎= ‎ ‎=, ‎ ‎=x1x2+y1y2==λ, ‎ ‎∴,∴,解得:, ‎ S=S△AOB= ‎ ‎= ‎ ‎=, ‎ 设μ=k4+k2,则, ‎ S=,, ‎ ‎∵S关于μ在[]上单调递增, ‎ S()=,S(2)=. ‎ ‎∴. ‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意椭圆弦长公式的合理运用。‎
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