河北省保定市定州市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
定州市2018- 2019学年第一学期期末考试
高一数学试题
一、单选题：本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.函数定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
要使有意义，须，解得，即函数的定义域是，故选B.
2.已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则(RB)∩A＝( )
A. {x|－2≤x<1} B. {x|－2≤x≤2}
C. {x|1
2}，
则(∁RB)∩A＝{x|10，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值：
①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．
上述结论正确的是________(填序号)．
【答案】①
【解析】
【分析】
首先利用幂函数的定义求出m，之后结合题中所给的条件，判断出函数的单调性，从而得到相应的结果.
【详解】依题意，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴解得m＝2，则f(x)＝x2 015.
∴函数f(x)＝x2 015在R上奇函数，且为增函数．
由a＋b>0，得a>－b，
∴f(a)>f(－b)，则f(a)＋f(b)>0.
【点睛】
该题考查的是有关幂函数的定义以及解析式的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有幂函数的定义，函数单调性的判断，利用条件，将问题转化，注意需要等价转化.
14.已知函数，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
发现，计算可得结果.
【详解】因为，
，且，则.
故答案为-2
【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.
15.设点O为的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且，则 ．
【答案】6
【解析】
试题分析：∵点分别为边的中点，∴，，
∴，，∴，
∴．
考点：向量的模．
【思路点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义；首先，根据向量的加法法则（三角形法则），用表示出，然后再，根据用表示出取寻找与的关系，据此即可求出结果．
16.已知，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求的对称轴，再由相邻两对称轴一个在左侧，一个在右侧，联立求解即可.
【详解】的对称轴方程为,
即.
的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间,
则,,故
又由解得
则.
【点睛】本题考查三角函数图像和性质的应用，将题设条件转化为相邻两对称轴与区间的关系是解题关键.属中档题.
三、解答题，本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知函数的定义域为A，函数y＝log2（x﹣a+1）的定义域为B，
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
【答案】(1) a＜﹣6 (2) a≥4
【解析】
【分析】
利用偶次方根被开方数为非负数及解一元二次不等式求得集合，利用对数的真数大于零求得集合.
（1）根据是的子集列不等式，解不等式求得的取值范围.
（2）根据列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】由题意得：21﹣4x﹣x2≥0，解得：﹣7≤x≤3，
∴定义域A＝{x|﹣7≤x≤3}
x﹣a+1＞0，解得：x＞a﹣1，
∴定义域B＝{x|x＞a﹣1}
（1）∵A⊆B，∴a﹣1＜﹣7，
∴a＜﹣6∴a的取值范围为a＜﹣6
（2）∵A∩B＝∅，∴a﹣1≥3，
∴a≥4，∴a的取值范围为a≥4
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查一元一次、一元二次不等式的解法，考查根据集合包含关系、集合交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.
18.函数
（1）求方程的解；
（2）若函数的最小值为，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据对数函数的定义域确定的范围，再根据对数运算法则得，解方程即可得到答案；
（2）函数可转化为 ，定义域为；由底数可知，当取最大值时，函数取最小值，即，解得的值.
【详解】解：（1）要使函数有意义，则有，解得：
函数可化为
由，得
即，
的解为.
（2）函数化为：
即
由，得，.
【点睛】本题考查对数的运算、对数函数和二次函数的图象与性质，求解与函数相关的问题时要注意定义域先行的原则，仔细审题注意从所求到已知之间的等价问题转化.
【此处有视频，请去附件查看】
19.已知向量，k，t为实数.
（Ⅰ）当k=－2时，求使成立的实数t值；
（Ⅱ）若，求k的取值范围.
【答案】（1）t=1（2）
【解析】
【分析】
(1)根据向量平行坐标表示列方程解得结果（2）根据向量垂直列方程的函数解析式，再求函数值域的结果.
【详解】解：
（1）当时
化简，得．
∴ t=1
（2）若则，
即
整理，得．
【点睛】本题考查向量平行于垂直关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
20.已知函数f（x）是奇函数，x∈（﹣1，1）．
（1）求实数a和b的值；
（2）求证：函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）若对于任意的t∈（0，1），不等式f（t2﹣2t）+f（﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1) a＝b＝0 (2)证明见解析 (3) [0，+∞）．
【解析】
【分析】
（1）利用求得，利用求得.
（2）任取，计算，由此证得在上递增.
（3）利用的单调性和奇偶性化简，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】(1)∵f（x）是奇函数，x∈（﹣1，1），
∴f（0）＝a＝0，f（x），
∴f（﹣x）＝﹣f（x）对任意的x∈（﹣1，1）都成立，
∴，
∴﹣bx＝bx即b＝0，
故a＝b＝0，
(2)由(1)f（x），
设﹣1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）﹣f（x2）
，
，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，
∴0，
即f（x1）＜f（x2），函数在（﹣1，1）上单调递增，
(3)∵t∈（0，1），f（t2﹣2t）+f（﹣k）＜0恒成立，
∴f（t2﹣2t）＜﹣f（﹣k）＝f（k），
∴t2﹣2t＜k，
∵t∈（0，1），而y＝t2﹣2t在（0，1）单调递减，
∴﹣1＜t2﹣2t＜0，
∴k≥0，
故k的范围为[0，+∞）．
【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.
21.将函数f（x）＝sinxcos（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，
（1）求g（x）的最小正周期及单调递减区间．
（2）求x∈[，]时函数g（x）的最大值和最小值．
【答案】(1) 最小正周期为π；单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈Z．(2) 最大值为
．最小值为，
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换公式化简解析式，然后求得图像向右平移个单位后函数的解析式.根据的解析式求得的最小正周期和单调递减区间.
（2）利用三角函数最值的求法，求得在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）将函数f（x）＝sinxcos（x）＝sinx（cosxsinx）sin2xcos2xsin（2x）的图象向右平移个单位，
得到函数g（x）sin（2x） 的图象，
故g（x）的最小正周期为π；
令2kπ2x2kπ，求得 kπx≤kπ+，
可得函数g（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈Z．
（2）x∈[，]时，2x∈[0，]，故当2x0时，函数g（x）取得最小值为，当2x时，函数g（x）取得最大值为．
【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数图像变换，考查三角函数最小正周期、单调递减区间、在闭区间上的最大值和最小值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
22.已知（2cosx，1），（sinx+cosx，﹣1），函数f（x）•．
（1）若f（x0），x0∈[，]，求cos2x0的值；
（2）若函数y＝f（wx）在（，）是单调递增函数，求正数w的取值范围；
（3）f（x）在[0，]上有两个不等实根x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．
【答案】(1) (2) （0，]；(3)．
【解析】
【分析】
利用向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换的指数，求得的表达式.
（1）由，求得，进而求得，利用，结合两角差的余弦公式，求得的值.
（2）求得的表达式，利用，求得，这个区间是区间的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得正数的取值范围.
（3）由，求得.根据的对称性，求得的关系式，由此化简，求得的值.
【详解】.
（1），∴，
∵，∴，
∴，
∴
（2），
∵y＝f（wx）在（，）是单调递增函数，且w＞0，
∴由得，，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
∵＞0，∴的取值范围为（0，]；
（3）时，，
∴，∴f（x）∈[1，2]，
又f（x）在[0，]上有两个不等实根x1，x2，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变换，考查三角函数单调区间、三角函数方程的根等问题的求解，考查向量数量积的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
