上海市长宁区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

上海市长宁区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

www.ks5u.com ‎2018学年第二学期高一数学质量调研试卷 一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1.函数的值域是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反正弦函数定义得结果 ‎【详解】由反正弦函数定义得函数的值域是 ‎【点睛】本题考查反正弦函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题 ‎2.在等差数列中，，当最大时，的值是________.‎ ‎【答案】6或7‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用等差数列的前项和公式，由，可以得到和公差的关系，利用二次函数的性质可以求出最大时，的值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以 ‎，‎ 因为，，所以当或时，有最大值，‎ 因此当的值是6或7.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列前项和公式，考查了等差数列的前项和最大值问题，运用二次函数的性质是解题的关键.‎ ‎3.若，则______.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特殊角的三角函数值求解三角方程 ‎【详解】因为 ‎【点睛】本题考查解简单三角方程，考查基本分析求解能力，属基础题 ‎4.在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据弧长公式求解 ‎【详解】因为圆心角所对弧长等于半径，所以 ‎【点睛】本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题 ‎5.由于坚持经济改革，我国国民经济继续保持了较稳定的增长.某厂2019年的产值是100万元，计划每年产值都比上一年增加，从2019年到2022年的总产值为______万元（精确到万元）.‎ ‎【答案】464‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列求和公式求解 ‎【详解】由题意得从2019年到2022年各年产值构成以100 为首项，1.1为公比的等比数列，其和为 ‎【点睛】本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题 ‎6.设数列是等差数列，，，则此数列前20项和等于______.‎ ‎【答案】180‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件解得公差与首项，再代入等差数列求和公式得结果 ‎【详解】因为，，所以，‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题 ‎7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值 ‎【详解】因为 所以角最大值为 ‎【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题 ‎8.（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.‎ 考点：恒成立问题.‎ ‎9.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】‎ 因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以，，所以，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为100．‎ 点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解．‎ ‎10.在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据正余弦函数定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.‎ 考点：三角函数的概念.‎ 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎11.“”是“”成立的（）‎ A. 充分非必要条件. B. 必要非充分条件.‎ C. 充要条件. D. 既非充分又非必要条件.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次分析充分性与必要性是否成立.‎ ‎【详解】时，而时不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要条件，选A.‎ ‎【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题 ‎12.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）‎ A. 8 B. 2 C. 4 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件解得首项，再求 ‎【详解】因为，所以，选D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式中基本量，考查基本分析求解能力，属基础题 ‎13.用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较与时不等式左边的项，即可得到结果 ‎【详解】‎ 因此不等式左边为，选C.‎ ‎【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题 ‎14.如图，函数的图像是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊值，即可进行比较判断选择 ‎【详解】因为，所以舍去D; 因为，所以舍去A; 因为，所以舍去B;选C.‎ ‎【点睛】本题考查图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题 三、解答题（本大题共6个题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15.如图，某人在离地面高度为的地方，测得电视塔底的俯角为，塔顶的仰角为，求电视塔的高.（精确到）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作的垂线，垂足为，再利用直角三角形与正弦定理求解 ‎【详解】解：设人的位置为，塔底为，塔顶为，‎ 过作的垂线，垂足为，‎ 则，，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 答：电视塔的高为约.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理测量高度，考查基本分析求解能力，属基础题 ‎16.已知数列的通项公式为.‎ ‎（1）求这个数列的第10项；‎ ‎（2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）只有一项 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据通项公式直接求解（2）根据条件列不等式，解得结果 ‎【详解】解：（1）；‎ ‎（2）解不等式得，‎ 因为为正整数，所以，因此在区间内只有一项.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题 ‎17.已知函数（其中，）的最小正周期为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）如果，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据余弦函数性质求解（2）先求得，再根据两角差余弦公式求解 ‎【详解】解：（1）因为.‎ 所以，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以，因为，‎ 所以，所以.‎ 因为 ‎.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题 ‎18.已知数列满足关系式，.‎ ‎（1）用表示，，；‎ ‎（2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之.‎ ‎【答案】（1），，（2）猜想：，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明 ‎【详解】解：（1），∴，，；‎ ‎（2）猜想：.‎ 证明：当时，结论显然成立；‎ 假设时结论成立，即，‎ 则时，，即时结论成立.‎ 综上，对时结论成立.‎ ‎【点睛】本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题 ‎19.在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．‎ 试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.‎ 又因为，所以.‎ 因为为锐角三角形，所以.‎ ‎（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或.‎ 当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积.‎ 考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．‎ ‎20.已知数列前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知，记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简 ‎，再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得，再作差得，最后根据等差数列定义证明.‎ ‎【详解】（1），所以，‎ 由得时，，‎ 两式相减得，，，‎ 数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以.‎ ‎（2）若数列是常数列，‎ 为常数.‎ 只有，解得，‎ 此时.‎ ‎（3）①‎ ‎，，其中，所以，‎ 当时，②‎ ‎②式两边同时乘以得，③‎ ‎①式减去③得，，所以，‎ 因为，‎ 所以数列是以为首项，公差为的等差数列.‎ ‎【点睛】本题考查利用和项求通项、等差数列定义以及利用恒成立思想求参数，考查基本分析论证与求解能力，属中档题 ‎ ‎