2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高一下学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高一下学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高一下学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式的解法可得，从而由集合的交集运算可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，，则.‎ 故本题正确答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的基本运算和简单不等式的解法，认真计算是关键，属基础题.‎ ‎2．过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率，又知其过定点坐标，由点斜式可得所求直线方程．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为，  由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2，  又知其过点，  由点斜式可得所求直线方程为2x+y-1=0.‎ 故本题正确答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况，属基础题．‎ ‎3．若则一定有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查不等关系。已知,所以，所以，故。故选 ‎4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．‎ ‎【考点】古典概型及其概率的计算．‎ ‎5．设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】Sn＝＝＝＝3－2an.‎ ‎6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用（万元） ‎ ‎4 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎5 ‎ 销售额（万元） ‎ ‎49 ‎ ‎26 ‎ ‎39 ‎ ‎54 ‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 ‎【答案】B ‎【解析】【详解】试题分析：，‎ ‎∵数据的样本中心点在线性回归直线上，‎ 回归方程中的为9.4，‎ ‎∴42=9．4×3．5+a，‎ ‎∴=9．1，‎ ‎∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，‎ ‎∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5‎ ‎【考点】线性回归方程 ‎7．直线与圆相交于两点，则弦长（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：圆心到直线的距离为，所以弦长为.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎8．在中，角,,的对边分别为,,，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理求得sinA，利用同角三角函数的基本关系求得cosA ‎，求出sinB=sin(120°+A)的值，可得  的值．‎ ‎【详解】‎ ‎△ABC中，由正弦定理可得 ，‎ ‎∴ ，∴sinA= ，cosA=.  sinB=sin(120°+A)= •+•= ，再由正弦定理可得   =  = ，  故答案为 A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，两角和与差的正弦公式的应用，求出sinB是解题的关键，属基础题．‎ ‎9．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】该不等式为一元二次不等式，根据一元二次函数的图象与性质可得，的图象是开口向下且与x轴没有交点，从而可得关于参数的不等式组，解之可得结果.‎ ‎【详解】‎ 不等式为一元二次不等式，故，‎ 根据一元二次函数的图象与性质可得，‎ 的图象是开口向下且与x轴没有交点，‎ 则，解不等式组，得.‎ 故本题正确答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查一元二次函数的图象与性质，注意数形结合的运用，属基础题.‎ ‎10．已知,,,是球球面上的四个点，平面,,，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据截面法，作出球心O与外接圆圆心所在截面，利用平行四边形和勾股定理可求得球半径，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 如图，的外接圆圆心E为BC的中点，设球心为O，连接OE，OP，OA，D为PA的中点，连接OD.‎ 根据直角三角形的性质可得，且平面，则//，由为等腰三角形可得，又，所以//，则四边形ODAE是矩形，所以=，而，中，根据勾股定理可得，所以该球的表面积为.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求三棱锥外接球的表面积问题，几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定.‎ ‎11．如图，在正方体，点在线段上运动，则下列判断正确的是（ ）‎ ‎①平面平面 ‎②平面 ‎③异面直线与所成角的取值范围是 ‎④三棱锥的体积不变 A．①② B．①②④ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1 ，从而可以证明面面垂直；‎ ‎②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；‎ ‎③分析出A1P与AD1所成角的范围，从而可以判断真假；‎ ‎④=，C到面 AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变；‎ ‎【详解】‎ 对于①，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1 ，DB1⊂平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1，正确．‎ ‎②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得 A1P∥平面ACD1，正确．‎ ‎③当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，‎ 当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，‎ 故A1P与AD1所成角的范围是，错误；‎ ‎④=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变．‎ ‎∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变，正确；‎ 正确的命题为①②④．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间点、线、面的位置关系，空间想象能力，中档题．‎ ‎12．在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则 的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据正弦定理用角A,C表示，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，为的角平分线，所以，‎ 在中，，因为，所以，‎ 在中，，因为，所以，所以，‎ 则 ‎,‎ 因为，所以,‎ 所以，则 ，‎ 即的取值范围为.选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.‎ ‎【答案】160‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎∵某个年级共有980人，要从中抽取280人，‎ ‎∴抽取比例为，‎ ‎∴此样本中男生人数为，‎ 故答案为160.‎ ‎【考点】本题考查了分层抽样的应用 点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题 ‎14．若，满足约束条件 则的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出不等式组所表示的平面区域，作出直线x+y=0，平移该直线，当直线过点B(5，4)时，z取得最大值，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.‎ 作出直线x+y=0，平移该直线，当直线过点B(5，4)时，z取得最大值，zmax=5+4=9.‎ 所以本题答案为9.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，解题的关键是确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，属于基础题.‎ ‎15．执行如图所示的程序框图，则输出的_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】按照程序框图运行程序，直到a的值满足a>100时，输出结果即可.‎ ‎【详解】‎ 第一次循环：a=3；第二次循环：a=7；第三次循环：a=15；第四次循环：a=31；第五次循环：a=63；第六次循环：a=127，a>100，所以输出a.‎ 所以本题答案为127.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据程序框图中的循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.‎ ‎16．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为 的中 心，则与底面所成角的正弦值等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，不妨设棱长为，如图，在底面内的射影为的中心，故，由勾股定理得，过作平面，则为与底面所成角，且，作于中点，所以，所以，所以与底面所成角的正弦值为．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若， 的解集为，求的最小値.‎ ‎【答案】（1）或；（2）最小值为.‎ ‎【解析】（1）由一元二次不等式的解法即可求得结果；（2）由题的根即为，，根据韦达定理可判断，同为正，且，从而利用基本不等式的常数代换求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，不等式，即为，‎ 可得，‎ 即不等式的解集为或.‎ ‎（2）由题的根即为，，故，，故，同为正，‎ 则，‎ 当且仅当，等号成立，所以的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法和基本不等式的知识，考查逻辑推理能力和计算能力，属中档题.‎ ‎18．设是等差数列，且，‎ ‎（1）求的通项公式； ‎ ‎（2）求，（其中）‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）已知及，则根据等差数列通项公式的定义，即可求得，从而可进一步求出；（2）由（1）可知，将代入所求的式子中，再根据对数的定义，可将进行化简，最后运用等比数列求和公式，即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的公差为.‎ 因为，‎ 所以.‎ 又，所以.‎ 所以.‎ ‎（2）因为，，‎ 所以是首项为，公比为的等比数列．‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列，等比数列以及对数与对数函数，注意仔细审题，认真计算，属中档题.‎ ‎19．的内角的对边为， ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若求．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）由题目中告诉的，利用正弦定理则可得到，再结合余弦定理公式求出角的值。‎ ‎（2）根据第一问求得的的值和题目中告诉的角的值可求得角的值，再利用正弦定理可求得边和的值。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由正弦定理，得，‎ 由余弦定理，得，又 所以。‎ ‎(2) 由（1）知：,又 所以，又，‎ 根据正弦定理，得，‎ ‎，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查利用正余弦定理求解边与角。‎ ‎20．“精准扶贫”的重要思想最早在2013年11月提出，习近平到湘西考察时首次作出“实事求是，因地制宜，分类指导，精准扶贫”的重要指导。2015年习总书记在贵州调研时强调要科学谋划好“十三五”时期精准扶贫开发工作，确保贫困人口到2020年如期脱贫。某农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植A、B两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫。通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 单价(元/公斤)‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎29‎ 药材B的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2020年药材A的单价；‎ ‎（2）用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材A还是药材B？并说明理由.‎ 附：，.‎ ‎【答案】（1），当时，；（2）应该种植A种药材 ‎【解析】(1)首先计算和,将数据代入公式得到回归方程,再取得到2020年单价.‎ ‎(2)计算B药材的平均产量,得到B药材的总产值,与(1)中A药材作比较,选出高的一个.‎ ‎【详解】‎ 解:(1),‎ ‎,当时，‎ ‎(2)利用概率和为1得到430—450频率/组距为0.005‎ B药材的亩产量的平均值为:‎ 故A药材产值为 B药材产值为 应该种植A种药材 ‎【点睛】‎ 本题考查了回归方程及平均值的计算，意在考察学生的计算能力.‎ ‎21．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;‎ ‎（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为•S△A1DE•CD，运算求得结果 试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，‎ 连结DF，则BC1∥DF． 3分 因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分 所以BC1∥平面A1CD． 5分 ‎（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1． 8分 由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分 所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1． 12分 ‎【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 ‎22．已知点，，点为曲线上任意一点且满足 ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设曲线与 轴交于两点，点是曲线上异于的任意一点，直线分别交直线：于点，试问轴上是否存在一个定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在点使得成立. ‎ ‎【解析】（1）设P（x，y），由|PA|=2|PB|，得=2，由此能求出曲线的方程．‎ ‎（2）由题意得M(0，1)，N(0，-1)，设点R(x0，y0)，（x0≠0），由点R在曲线上，得=1，直线RM的方程，从而直线RM与直线y=3的交点为，直线RN的方程为，从而直线RN与直线y=3的交点为，假设存在点S(0，m)，使得成立，则，由此能求出存在点S，使得成立，且S点的坐标为.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，由，‎ 得：，‎ 整理得.‎ 所以曲线的方程为.‎ ‎（2）由题意得，，.‎ 设点，由点在曲线上，‎ 所以.‎ 直线的方程为，‎ 所以直线与直线的交点为.‎ 直线的方程为 所以直线与直线的交点为.‎ 假设存在点，使得成立，‎ 则，.‎ 即，‎ 整理得.‎ 因为，‎ 所以，‎ 解得.‎ 所以存在点使得成立，且点的坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线方程的求法，考查是否存在满足向量积为0的点的判断与求法，考查圆、直线方程、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎