数学理卷·2018届河北省武邑中学高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届河北省武邑中学高三上学期期末考试（2018

河北武邑中学2017—2018学年高三年级上学期期末考试 数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A． 1 B． -1 C． D．-2‎ ‎2.设为锐角，，若与共线，则角（ ）‎ A． 15° B． 30° C．45° D．60°‎ ‎3.下列说法正确的是（ ）‎ A．命题“若，则”的否命题是“若，则 ” ‎ B．是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件 ‎ C． ‎ D．若命题，则 ‎4. 已知点，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 若双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何，下图格纸中实线部分分为此刍甍的三视图，设格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）‎ A．3立方丈 B．5立方丈 C.6立方丈 D．12立方丈 ‎7. 从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 的值分别为4，2，则输出的值为（ ）‎ A． 32 B． 64 C. 65 D．130‎ ‎10. 若展开式中的系数为-20，则等于（ ）‎ A． -1 B． C. -2 D．‎ ‎11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为 ．‎ ‎14.已知实数满足，则的最小值为 ．‎ ‎15.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则函数在点处的切线方程是 ．‎ ‎16.已知是的三边，，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知正项数列满足，数列的前项和满足．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎18.已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表：‎ 表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 ‎1月1日 ‎7：36‎ ‎4月9日 ‎5：46‎ ‎7月9日 ‎4：53‎ ‎10月8日 ‎6：17‎ ‎1月21日 ‎7：11‎ ‎4月28日 ‎5：19‎ ‎7月27日 ‎5：07‎ ‎10月26日 ‎6：36‎ ‎2月10日 ‎7：14‎ ‎5月16日 ‎4：59‎ ‎8月14日 ‎5：24‎ ‎11月13日 ‎6：56‎ ‎3月2日 ‎6：47‎ ‎6月3日 ‎4：47‎ ‎9月2日 ‎5：42‎ ‎12月1日 ‎7：16‎ ‎3月22日 ‎6：15‎ ‎6月22日 ‎4：46‎ ‎9月20日 ‎5：50‎ ‎12月20日 ‎7：31‎ 表2：某年1月部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 ‎2月1日 ‎7：23‎ ‎2月11日 ‎7：13‎ ‎2月21日 ‎6：59‎ ‎2月3日 ‎7：22‎ ‎2月13日 ‎7：11‎ ‎2月23日 ‎6：57‎ ‎2月5日 ‎7：20‎ ‎2月15日 ‎7：08‎ ‎2月25日 ‎6：55‎ ‎2月7日 ‎7：17‎ ‎2月17日 ‎7：05‎ ‎2月27日 ‎6：52‎ ‎2月9日 ‎7：15‎ ‎2月19日 ‎7：02‎ ‎2月28日 ‎6：49‎ ‎（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率；‎ ‎（2）甲、乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立，记为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求的 分布列和数学期望；‎ ‎（3）将表1和表2的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为），记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断与的大小（只需写出结论）．‎ ‎19.如图，直角梯形中，，等腰梯形中，，且平面平面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．‎ ‎20. 已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆与轴的非负半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于两点，连接，求的面积的最大值．‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且有两个极值点，求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎．‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）若时，对任意的恒成立，求的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ABDAA 6-10: BCBCA 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 2 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，所以，，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，‎ 当时，，‎ 当时，也满足，所以；‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以．‎ ‎18.解：（1）记事件为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00，所以；‎ ‎（2）可能的取值为0，1，2，‎ 记事件为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”‎ 则；；；，‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎，（注：学生得到，所以，同样给分）；‎ ‎（3）．‎ ‎19.解：（1）∵平面平面，，平面平面，‎ ‎∴平面，又平面，∴，‎ 又∵，且，∴平面；‎ ‎（2）设，∵四边形为等腰梯形，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴四边形为平行四边形，∴，‎ 又∵平面，∴平面，‎ ‎∴为与平面所成的角，∴，‎ 又∵，∴，‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，‎ ‎∵平面，∴平面的法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由得，令得，，‎ ‎，∴二面角的余弦值为．‎ ‎20.解：（1）由题意可设椭圆方程为，则，‎ 故，所以，椭圆方程为；‎ ‎（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，‎ 故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，‎ 由，消去得，‎ 则，将式子中的换成，得：，‎ 设，则，‎ 故，取等条件为，即，‎ 即，解得时，取得最大值．‎ ‎21.解：（1）的定义域为，，‎ 的定义域内单调递增，则，‎ 即在上恒成立，‎ 由于，所以，实数的取值范围是；‎ ‎（2）由（1）知，当时有两个极值点，此时，∴，‎ 因为，解得，‎ 由于，于是 ‎，‎ 令，则，‎ ‎∴在上单调递减，，‎ 即，‎ 故的取值范围为．‎ ‎22.解：（1）由，得，故直线的普通方程为，‎ 由，得，所以，即，‎ 故曲线的普通方程为；‎ ‎（2）据题意设点，则，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎23.解：（1）当时，，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 即，‎ 又因为在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，如图所示，所以当时，有最小值3；‎ ‎（2）因为，所以，则，‎ 可得对任意恒成立，即，解得，‎ 故的取值范围为.‎