高考数学专题复习：回归分析的基本思想及其初步应用

高考数学专题复习：回归分析的基本思想及其初步应用

第一章1.1回归分析的基本思想及其初步应用 一、选择题 ‎1、某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得 ＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是(　　)‎ A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%‎ B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%‎ C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%‎ D．年龄为37岁人群中的大部分人的体内脂肪含量为31.5%‎ ‎2、回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和(　　)‎ A．越大 B．越小 C．可能大也可能小 D．以上均错 ‎3、已知x与y之间的一组数据如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 则y关于x的线性回归直线必过(　　)‎ A．(2,2)点 B．(1.5,0)点 C．(1,2)点 D．(1.5,4)点 ‎4、两个变量成负相关关系时，散点图的特征是(　　)‎ A．点散布特征为从左下角到右上角区域 B．点散布在某带形区域内 C．点散布在某圆形区域内 D．点散布特征为从左上角到右下角区域内 ‎5、下列说法正确的是(　　)‎ A．y＝2x2＋1中的x、y是具有相关关系的两个变量 B．正四面体的体积与其棱长具有相关关系 C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D．传染病医院感染甲型H1N1流感的医务人员数与医院收治的甲型流感人数是具有相关关系的两个变量 ‎6、对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v，有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断(　　)‎ ‎(1)　　　　　　　　　(2)‎ A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 二、填空题 ‎7、已知线性回归方程为 ＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．‎ ‎8、今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：‎ 月平均气温x(℃)‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎2‎ 月销售量y(件)‎ ‎24‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎55‎ 由表中数据算出线性回归方程 ＝ x＋ 中的 ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为‎6℃‎，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________．‎ ‎9、在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是________．‎ 三、解答题 ‎10、某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：‎ 月份 产量(千件)‎ 单位成本(元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎73‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎72‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎71‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎73‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎69‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎68‎ ‎(1)求出线性回归方程；‎ ‎(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？‎ ‎(3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？‎ ‎11、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ 根据上表，通过计算机画出的散点图呈线性相关，并且已经得到xiyi＝112.3.‎ ‎(1)求线性回归方程 ＝ x＋ 的回归系数 、 的值；‎ ‎(2)求残差平方和；‎ ‎(3)求相关指数R2；‎ ‎(4)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？‎ ‎12、某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：‎ 推销员编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 工作年限x/年 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 推销金额y/万元 ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；‎ ‎(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[当x＝37时， ＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%.]‎ ‎2、B　[相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好，残差平方和越小，反之也是．]‎ ‎3、D　[在本题中，样本点的中心为(1.5,4)，所以回归直线过(1.5,4)点．]‎ ‎4、D　[散点图的主要作用是直观判断两个变量之间的相关关系．一般地说，当散点图中的点是呈“由左下角到右上角”的趋势时，则两个变量之间具有正相关关系；而当散点图中的点是呈“由左上角到右下角”‎ 的趋势时，则两个变量之间具有负相关关系．]‎ ‎5、D　[感染的医务人员数不仅受医院收治的病人数的影响，还受防护措施等其他因素的影响．]‎ ‎6、C　[图(1)中的数据随着x的增大而y减小，因此变量x与变量y负相关；图(2)中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关．]‎ 二、填空题 ‎7、11.69‎ 解析　y的估计值就是当x＝25时的函数值，‎ 即0.50×25－0.81＝11.69.‎ ‎8、46‎ 解析　∵样本点的中心为(10,38)，‎ ‎∴38＝－2×10＋ ，∴ ＝58，‎ ‎∴当x＝6时， ＝－2×6＋58＝46.‎ ‎9、甲 三、解答题 ‎10、解　(1)n＝6，xi＝21，yi＝426，＝3.5，‎ ＝71，x＝79，xiyi＝1 481，‎ ‎ ＝＝≈－1.82.‎ ‎ ＝－ ＝71＋1.82×3.5＝77.37.‎ 线性回归方程为 ＝ ＋ x＝77.37－1.82x.‎ ‎(2)因为单位成本平均变动 ＝－1.82<0，且产量x的计量单位是千件，所以根据回归系数 的意义有：‎ 产量每增加一个单位即1 000件时，单位成本平均减少1.82元．‎ ‎(3)当产量为6 000件时，即x＝6，代入线性回归方程：‎ ‎ ＝77.37－1.82×6＝66.45(元)‎ 当产量为6 000件时，单位成本为66.45元．‎ ‎11、解　(1)由已知数据制成下表.‎ i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 合计 xi ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎20‎ yi ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎25‎ xiyi ‎4.4‎ ‎11.4‎ ‎22.0‎ ‎32.5‎ ‎42.0‎ ‎112.3‎ x ‎4‎ ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎90‎ ＝4；＝5；x＝90；xiyi＝112.3‎ 于是有 ＝＝1.23，‎ ‎ ＝－ ＝5－1.23×4＝0.08，‎ ‎∴ ＝1.23x＋0.08.‎ ‎(2)由公式 1＝1.23×2＋0.08＝2.54，‎ ‎2＝1.23×3＋0.08＝3.77，‎ ‎3＝1.23×4＋0.08＝5，‎ ‎4＝1.23×5＋0.08＝6.23，‎ ‎5＝1.23×6＋0.08＝7.46，‎ ‎∴ 1＝2.2－2.54＝－0.34，‎ ‎2＝3.8－3.77＝0.03，‎ ‎3＝5.5－5＝0.5，‎ ‎4＝6.5－6.23＝0.27，‎ ‎5＝7.0－7.46＝－0.46.‎ ‎∴残差平方和为(－0.34)2＋0.032＋0.52＋0.272＋(－0.46)2＝0.651.‎ ‎(3)R2＝1－ ‎≈0.958 7.‎ ‎(4)线性回归方程为 ＝1.23x＋0.08，‎ 当x＝10时， ＝1.23×10＋0.08＝12.38，‎ 即估计使用10年时维修费用是12.38万元．‎ ‎12、解　(1)设所求的线性回归方程为 ＝ x＋ ，‎ 则 ＝＝＝0.5，‎ ‎ ＝－ ＝0.4.‎ 所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为 ＝0.5x＋0.4.‎ ‎(2)当x＝11时， ＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．‎ 所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．‎