2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：9-3　椭圆及其性质（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：9-3　椭圆及其性质（讲解部分）

9.3 　椭圆及其性质 高考理数 考点一    椭圆的定义及标准方程 考点清单 考向基础 1.定义 平面内与两个定点 F 1 、 F 2 的距离的 和 等于常数(大于| F 1 F 2 |)的点的轨迹叫做 椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合语言: P ={ M | | MF 1 |+| MF 2 |=2 a ,2 a >| F 1 F 2 |},| F 1 F 2 |=2 c ,其中 a > c >0,且 a , c 为常数. 注意　若2 a =| F 1 F 2 |, 则动点的轨迹是线段 F 1 F 2 ;若2 a <| F 1 F 2 |,则动点的轨迹不存在. 2.标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为   +   =1 ( a > b >0); (2)中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为   +   =1 ( a > b >0). 注意:(1)焦点位置的判断 焦点在 x 轴上 ⇔ 标准方程中含 x 2 项的分母较大;焦点在 y 轴上 ⇔ 标准方程中 含 y 2 项的分母较大. (2) a 2 = b 2 + c 2 ,即 a 最大. (3)焦点位置不确定,可设椭圆方程为 Ax 2 + By 2 =1( A >0, B >0且 A ≠ B ). 3.焦点三角形 (1) P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点, F 1 , F 2 为椭圆的两焦点,则   = b 2 tan   ,其中 θ 为∠ F 1 PF 2 . (2) P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点, F 1 , F 2 为椭圆的两焦点,则 △ PF 1 F 2 的周长为2( a + c ). (3)过焦点 F 1 的弦 AB 与椭圆另一个焦点 F 2 构成的△ ABF 2 的周长为 4 a . 考向突破 考向一    椭圆定义的应用 例1     (2019四川成都七中3月月考,14)设 F 1 、 F 2 分别是椭圆   +   =1的 左、右焦点, P 为椭圆上任意一点,点 M 的坐标为(6,4),则| PM |-| PF 1 |的最小值 为 　　　     . 解题导引   解析 　由椭圆的方程可知 F 2 (3,0),由椭圆的定义可得| PF 1 |=2 a -| PF 2 |,∴| PM |- | PF 1 |=| PM |-(2 a -| PF 2 |)=| PM |+| PF 2 |-2 a ≥ | MF 2 |-2 a ,当且仅当 M , P , F 2 三点共线时 取得等号,又| MF 2 |=   =5,2 a =10,∴| PM |-| PF 1 | ≥ 5-10=-5,即| PM |- | PF 1 |的最小值为-5. 答案 　-5 考向二    椭圆的标准方程 例2 　已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的左、右焦点为 F 1 、 F 2 ,离心率为   ,过 F 2 的直线 l 交 C 于 A 、 B 两点.若△ AF 1 B 的周长为4   ,则 C 的方程为   (　　) A.   +   =1　　　　    B.   + y 2 =1　　　　     C.   +   =1　　　　    D.   +   =1 解析　 由题意及椭圆的定义知4 a =4   ,则 a =   ,又   =   =   ,∴ c =1,∴ b 2 = 2,∴ C 的方程为   +   =1,选A. 答案     A 考点二    椭圆的几何性质 考向基础 1.椭圆的方程与简单几何性质 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程   +   =1( a > b >0)   +   =1( a > b >0) 一般方程 Ax 2 + By 2 =1( A >0, B >0, A ≠ B ) 图形     焦点坐标 F 1 (- c ,0), F 2 ( c ,0) F 1 (0,- c ), F 2 (0, c ) 顶点坐标 A 1 (- a ,0), A 2 ( a ,0) B 1 (0,- b ), B 2 (0, b ) A 1 (0,- a ), A 2 (0, a ) B 1 (- b ,0), B 2 ( b ,0) 范围 | x | ≤ a ,| y | ≤ b | x | ≤ b ,| y | ≤ a 长轴长 | A 1 A 2 |=2 a 短轴长 | B 1 B 2 |=2 b 焦距 | F 1 F 2 |=2 c 离心率 e =   =   (0< e <1), 2.常用结论 (1)设 P , A , B 是中心在原点,焦点在 x 轴的椭圆上不同的三点,其中 A , B 两点关 于原点对称,且直线 PA 、 PB 的斜率都存在,则 k PA · k PB =-   . (2) P 是椭圆上一点, F 为椭圆的焦点,则| PF |∈[ a - c , a + c ],即椭圆上的点到焦点 距离的最大值为 a + c ,最小值为 a - c . (3)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为   ,通径是最短的焦点弦. 考向突破 考向一     利用几何性质求参数的范围 例1     (2017课标全国Ⅰ文,12,5分)设 A , B 是椭圆 C :   +   =1长轴的两个端 点.若 C 上存在点 M 满足∠ AMB =120 ° ,则 m 的取值范围是   (　　) A.(0,1] ∪ [9,+ ∞ )　　　　    B.(0,   ] ∪ [9,+ ∞ ) C.(0,1] ∪ [4,+ ∞ )　　　　    D.(0,   ] ∪ [4,+ ∞ ) 解析 　当0< m <3时,椭圆 C 的长轴在 x 轴上,如图(1), A (-   ,0), B (   ,0). 当点 M 运动到短轴的端点时,∠ AMB 取最大值,此时∠ AMB ≥ 120 ° ,则| MO |=   ≤ 1,即0< m ≤ 1. 当 m >3时,椭圆 C 的长轴在 y 轴上,如图(2), A (0,   ), B (0,-   ). 当点 M 运动到短轴的端点时,不妨取 M (   ,0),此时∠ AMB 取最大值,∠ AMB ≥ 120 ° ,则| OA | ≥ 3,即   ≥ 3,即 m ≥ 9. 综上, m ∈(0,1] ∪ [9,+ ∞ ).   　       图(1)　　　　　　　　　　　图(2) 例2     (2019贵州凯里一中2月月考,11)设 F 1 , F 2 是椭圆   +   =1( a > b >0)的两 个焦点, P 是椭圆上的点,| PF 1 |∶| PF 2 |=2∶1,且△ PF 1 F 2 为直角三角形,则椭圆 的离心率为   (　　) A.   或   　　　　    B.   或   　　　　     C.   或   　　　　    D.   或   考向二    求离心率 解析 　由   可得   ①若∠ F 1 PF 2 为直角,则| PF 1 | 2 +| PF 2 | 2 =| F 1 F 2 | 2 ⇒   +   =(2 c ) 2 ⇒ e =   ; ②若∠ PF 2 F 1 为直角,则| F 1 F 2 | 2 +| PF 2 | 2 =| PF 1 | 2 ⇒ (2 c ) 2 +   =   ⇒ e =   .故 选C. 答案     C 考点三    直线与椭圆的位置关系 考向基础 1.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问 题.反映在代数上,就是直线与椭圆方程联立所得的方程组有无实数解及实 数解的个数问题,它体现了方程思想的应用. 如把椭圆方程   +   =1( a > b >0)与直线方程 y = kx + m ( k ≠ 0)联立消去 y ,整理 成 Ax 2 + Bx + C =0的形式(这里的系数 A 一定不为零),设其判别式为 Δ . 位置关系 图形 判断方法 公共点个数 相交   Δ >0 2 相切   Δ =0 1 相离   Δ <0 0 【知识拓展】 点与椭圆的位置关系 已知点 P ( x 0 , y 0 ),椭圆   +   =1( a > b >0),则 (1)点 P ( x 0 , y 0 )在椭圆内 ⇔   +   <1; (2)点 P ( x 0 , y 0 )在椭圆上 ⇔   +   =1; (3)点 P ( x 0 , y 0 )在椭圆外 ⇔   +   >1. 2.弦长公式 设直线 l : y = kx + m 与椭圆交于 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ).则 (1)| AB |=   ; (2)| AB |=   | x 1 - x 2 |=     ; (3)| AB |=     ( k ≠ 0). 注意     对于一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠ 0), Δ ≥ 0,| x 1 - x 2 |=   . 3.弦中点问题 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )为弦端点坐标, P ( x 0 , y 0 )( y 0 ≠ 0)为 AB 中点,其中 k =   ( x 1 ≠ x 2 ). 若椭圆方程为   +   =1( a > b >0),则 k = -   . 若椭圆方程为   +   =1( a > b >0),则 k = -   . 考向突破 考向一    弦长问题 例1     (2018山西五校联考,14)已知斜率为2的直线经过椭圆   +   =1的右 焦点 F 1 ,与椭圆相交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长为 　　　     . 解析 　由题意知,椭圆的右焦点 F 1 的坐标为(1,0),直线 AB 的方程为 y =2( x -1). 联立   消去 y ,整理得3 x 2 -5 x =0. 设 A ( x 1 , y 1 )、 B ( x 2 , y 2 ),由根与系数的关系,得 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =0.则| AB |=   =   =   =   . 答案        考向二    弦中点问题 例2 　已知 P (1,1)为椭圆   +   =1内一定点,经过 P 引一条弦,使此弦被 P 点 平分,且弦与椭圆交于 A 、 B 两点,则此弦所在直线的方程为 　　　　     . 解题导引 解法一:   解法二:   解析 　解法一:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为 y -1= k ( x -1), A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 由   消去 y 得,(2 k 2 +1) x 2 -4 k ( k -1) x +2( k 2 -2 k -1)=0,∴ x 1 + x 2 =   , 又∵ x 1 + x 2 =2,∴   =2,解得 k =-   . 故此弦所在直线的方程为 y -1=-   ( x -1),即 x +2 y -3=0. 解法二:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为 k . 解法二:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为 k . 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则   +   =1①,   +   =1②, ①-②得   +   =0, ∵ x 1 + x 2 =2, y 1 + y 2 =2,∴   + y 1 - y 2 =0,∴ k =   =-   . ∴此弦所在直线的方程为 y -1=-   ( x -1),即 x +2 y -3=0. 答案      x +2 y -3=0 考向三    直线与椭圆的综合问题 例3     (2016四川,20,13分)已知椭圆 E :   +   =1( a > b >0)的两个焦点与短轴 的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线 l : y =- x +3与椭圆 E 有且只有一个 公共点 T . (1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (2)设 O 是坐标原点,直线 l '平行于 OT ,与椭圆 E 交于不同的两点 A , B ,且与直线 l 交于点 P .证明:存在常数 λ ,使得| PT | 2 = λ | PA |·| PB |,并求 λ 的值. 解析　 (1)由题意知, a =   b , 则椭圆 E 的方程为   +   =1. 由方程组   得3 x 2 -12 x +(18-2 b 2 )=0.① 方程①的判别式为 Δ =24( b 2 -3),由 Δ =0,得 b 2 =3, 此时方程①的解为 x =2, 所以椭圆 E 的方程为   +   =1.点 T 坐标为(2,1). (2)证明:由已知可设直线 l '的方程为 y =   x + m ( m ≠ 0), 由方程组   可得   所以 P 点坐标为   ,| PT | 2 =   m 2 . 设点 A , B 的坐标分别为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 由方程组   可得3 x 2 +4 mx +(4 m 2 -12)=0.② 方程②的判别式为 Δ =16(9-2 m 2 ), 由 Δ >0,解得-   < m <   . 由②得 x 1 + x 2 =-   , x 1 x 2 =   . 所以| PA |=   =     , 同理| PB |=     . 所以| PA |·| PB |=     =     =     =   m 2 . 故存在常数 λ =   ,使得| PT | 2 = λ | PA |·| PB |. 方法      求椭圆离心率或取值范围的方法 1.椭圆的离心率是椭圆的一个重要基本量,在椭圆中有着特殊的作用,也是 高考常考的知识点,通常有两类问题:一类是求椭圆的离心率;另一类是求 椭圆离心率的取值范围. 2.求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法:①若给定椭圆的方程,则根据椭 圆方程确定 a 2 , b 2 ,进而求出 a , c 的值,从而利用公式 e =   直接求解;②若椭圆的 方程未知,则根据条件及几何图形建立关于 a , b , c 的齐次等式(或不等式),化 为关于 a , c 的齐次方程(或不等式),进而化为关于 e 的方程(或不等式)进行求解. 3.由椭圆定义求离心率, e =   =   ,而2 a 是椭圆上任意一点到两焦点的距离 方法技巧 之和,2 c 是焦距,与焦点三角形结合求解. 例1     (2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F 是椭圆   +   =1 ( a > b >0)的右焦点,直线 y =   与椭圆交于 B , C 两点,且∠ BFC =90 ° ,则该椭圆的 离心率是 　　　     .   解题导引   解析 　由已知条件易得 B   , C   , F ( c ,0),则   =   ,   =   , 由∠ BFC =90 ° ,可得   ·   =0, 所以     +   =0, 即4 c 2 -3 a 2 +( a 2 - c 2 )=0,亦即3 c 2 =2 a 2 , 所以   =   ,则 e =   =   . 答案        例2     (2019河南洛阳期中检测,12)已知 F 1 , F 2 分别为椭圆   +   =1( a > b >0) 的左、右焦点, P 为椭圆上一点, O 为坐标原点,且(   +   )·   =0,|   |= 2|   |,则该椭圆的离心率为   (　　) A.   　　　　    B.   　　　　    C.   　　　　    D.   解题导引   解析 　∵(   +   )·   =0,∴(   +   )·(   -   )=0,∴   =   ,即|   |= |   |= c ,易知   ⊥   .在Rt△ PF 1 F 2 中,|   |=2|   |,设|   |= m ,则|   |=2 m ,由 |   | 2 +|   | 2 =|   | 2 知4 c 2 =5 m 2 ,∴2 c =   m .又知|   |+|   |=2 a =3 m ,所以离心 率 e =   =   =   ,故选C. 答案     C