2017-2018学年江苏省无锡市高二下期期末数学（理）试题-解析版

2017-2018学年江苏省无锡市高二下期期末数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 江苏省无锡市 2017-2018 学年高二下期期末数学（理）试题 评卷人 得分 一、填空题 1．已知复数 ，其中 是虚数单位，则 的模是__________． 【答案】 【解析】分析：分子分母同时乘以 ，化简整理，得出 ，再得模。 详解： ，所以 。 点睛：复数的除法运算公式 。 2．设离散型随机变量 的概率分布如下： 则 的值为__________． 【答案】 【解析】分析：离散型随机变量 的概率之和为 1 详解： 解得： 。 点睛：离散型随机变量 的概率之和为 1，是分布列的性质。 3．已知直线 在矩阵 对应的变换作用下变为直线 ： ，则直线 的方程 为__________． 【答案】 【解析】分析：用相关点法求解，设直线 上的点为 直线 上的点为 ，所以， ，代入直线 的方程 详解：设直线 上的点为 直线 上的点为 ，直线 在矩阵 对应的变换作 用下所以： ，代入直线 的方程整理可得直线 的方程为 。 点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。 4．直线 与圆 相交的弦长为__________． 【答案】 【解析】试题分析：将直线 化为普通方程为： ，∵ ，∴ ， 化为普通方程为： ，即 ，联立得 ，解得 ， ∴直线与圆相交的弦长为 故答案为 ．将极坐标方程化为直角坐标系方程 是常用方法． 考点：简单曲线的极坐标方程． 视频 5．若 ， ，则 ， 的大小关系是__________． 【答案】 【解析】分析：作差法，用 ，判断其符号。 详解： ，所以， 。 点睛：作差法是比较大小的基本方法，根式的分子有理化是解题的关键 6．求值： __________． 【答案】1 【解析】分析：观察通项展开式中的 中 的次数与 中的 一致。 详解：通项展开式中 的 ，故 = 点睛：合并二项式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的 中 的次数与 中的 一致，有负号时注意在 上还是在 上。 7．有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由 人承担，乙、丙各需由 人承担，从 人中选派 人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答） 【答案】60 【解析】分析：先从 5 人中选 4 人（组合） ，再给 4 个人分派 3 项任务，甲需 2 人 ， 乙、丙各需由 人 。 详解：先从 5 人中选 4 人（组合） ，再给 4 个人分派 3 项任务，甲需 2 人 ，乙、丙 各需由 人 （乙、丙派的人不一样故要排列）。共有 60 种。 点睛：分配问题，先分组（组合）后分派（排列）。 8．用反证法证明命题：“定义在实数集上的单调函数 的图象与 轴至多只有 个交 点”时，应假设“定义在实数集上的单调函数 的图象与 轴__________”． 【答案】至少有 个交点 【解析】分析：反证法证明命题，只否定结论，条件不变。 详解：命题：“定义在实数集上的单调函数 的图象与 轴至多只有 个交点”时， 结论的反面为“与 轴至少有 个交点”。 点睛：反证法证明命题，只否定结论，条件不变，至多只有 个理解为 ，故否定为 . 9．在圆中：半径为 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为 .类比到球 中：半径为 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 【答案】 【解析】分析：圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，当边长等于 时，类比球中 内接长方体中，以正方体的体积最大，棱长为 详解：圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，当边长 时，解得 时， 类比球中内接长方体中，以正方体的体积最大，当棱长 , 解得 时，正方体的体积为 点睛：类比推理，理会题意抓住题目内在结构相似的推导过程，不要仅模仿形式上的推 导过程。 10．平面上画 条直线，且满足任何 条直线都相交，任何 条直线不共点，则这 条直 线将平面分成__________个部分． 【答案】 【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得 到结果。 详解：1 条直线将平面分成 2 个部分，即 2 条直线将平面分成 4 个部分，即 3 条直线将平面分为 7 个部分，即 4 条直线将平面分为 11 个部分，即 ，所以 …. 根据累加法得 所以 点睛：本题综合考查了数列的累加法、归纳推理的综合应用。在解题过程中，应用归纳 推理是解决较难题目的一种思路和方法，通过分析具体项，找到一般规律，再分析解决 问题，属于中档题。 11．在平面直角坐标系 中，已知点 是椭圆 ： 上第一象限的点， 为坐标 原点， ， 分别为椭圆 的右顶点和上顶点，则四边形 的面积的最大值为 __________． 【答案】 【解析】分析： 的面积的最大值当 到直线 距离最远的时候取得。 详解： ，当 到直线 距离最远的 时 候 取 得 的 最 大 值 ， 设 直 线 ， 所 以 ，故 的最大值为 。 点睛：分析题意，找到面积随 到直线 距离的改变而改变，建立面积与 到直线 距 离的函数表达式，利用椭圆的参数方程求解距离的最值。本题还可以用几何法分析与直 线 平行的直线与椭圆相切时， 为切点，到直线 距离最大。 12．在 的展开式中的所有 的整数次幂项的系数之和为__________． 【答案】122 【解析】分析：根据二项式定理的通项公式，写出所有 的整数次幂项的系数，再求和 即可。 详解： 所以整数次幂项为 为整数是 ，所以系数之和为 122 点睛：项式定理中的具体某一项时，写出通项 的表达式，使其满足题目设置的条件。 13．湖面上有 个相邻的小岛 ， ， ， ， ，现要建 座桥梁，将这 个小岛连接起来， 共有__________不同方案．（用数字作答） 【答案】135 【解析】分析： 个相邻的小岛一共可 座桥梁，选 座，减去不能彼此连接的即可。 详解： 个相邻的小岛一共可 座桥梁，选 座 不能彼此连接 ，共 135 种。 点睛：转化问题为组合问题。 14．一个袋中有形状、大小完全相同的 个小球，其中 个红球，其余为白 球.从中一次性任取 个小球，将“恰好含有 个红球”的概率记为 ，则当 __________ 时， 取得最大值． 【答案】20 【解析】分析： 由题意可知，满足超几何分布，列出 的公式，建立 与 的表达式，求最大值。 详解： ， 取得最大值，也即是 取最大，所以： 解得 ，故 。 点睛：组合数的最大值，可以理解为数列的最大项来处理。 评卷人 得分 二、解答题 15．已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且满足 . （1）求复数 ； （2）设复数 满足： 为纯虚数， ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】分析：（1）解一元二次方程，得到 ，根据 在复平面内对应的点位 于第二象限，即可判断 的取值。 （2）根据复数的乘法运算、纯虚数的概念、模的定义，联立方程求得 x、y 的值，进而 求得 的值。 详解：（1）因为 ，所以 ， 又复数 对应的点位于第二象限， 所以 ； （2）因为 ， 又 为纯虚数，所以 ， 有 得 ， 解得 ， 或 ， ； 所以 . 点睛：本题考查了复数相等、纯虚数等概念和复数的混合运算，对基本的运算原理要清 晰，属于基础题。 16．已知二阶矩阵 对应的变换将点 变换成 ，将点 变换成 . （1）求矩阵 的逆矩阵 ； （2）若向量 ，计算 . 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】分析：（1）利用阶矩阵 对应的变换的算法解出 ，再求 （2）先计算矩阵 的特征向量，再计算 详解：（1） ，则 ， ， 解得 ， ， ， ， 所以 ， 所以 ； （2）矩阵 的特征多项式为 ， 令 ，解得 ， ， 从而求得对应的一个特征向量分别为 ， . 令 ，求得 ， ， 所以 . 点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。 17．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）， ， 以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 极坐标方程为 . （1）若直线 与圆 相切，求 的值； （2）已知直线 与圆 交于 ， 两点，记点 、 相应的参数分别为 ， ，当 时， 求 的长. 【答案】（1） 或 ；（2） ． 【解析】分析：（1）消元法解出直线 的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式 解出圆 的直角坐标方程，直线 与圆 相切，则 。 （2）将直线 的参数方程为代入圆 的直角坐标方程并化简整理关于 的一元二次方程。 利用 的几何意义求解问题。 详解：（1）圆 的直角坐标方程为 ， 将直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程得 ， 即为 ， 因为直线 与圆 相切，所以 ， 所以 或 ， ，所以 或 ； （2）将 代入圆 的直角坐标方程为 ， 得 ， 又 ，所以 ， . 点睛：将直线 的参数方程为代入圆 的直角坐标方程并化简整理关于 的一元二次方 程。利用 的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法。注意 ，要去绝对值符号，需判断交点与定点的位置关系，上方为正，下方为负。 18．将正整数排成如图的三角形数阵，记第 行的 个数之和为 . （1）设 ，计算 ， ， 的值，并猜想 的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）的猜想. 【答案】（1） ；（2）见解析． 【解析】分析：直接计算 ，猜想： ； （2）证明：①当 时，猜想成立. ②设 时，命题成立，即 ③证明当 时，成立。 详解：（1）解： ， ， ， ， 猜想 ； （2）证明：①当 时，猜想成立. ②设 时，命题成立，即 ， 由题意可知 . 所以 ， ， 所以 时猜想成立. 由①、②可知，猜想对任意 都成立. 点睛：推理与证明中，数学归纳法证明数列的通项公式是常见的解法。根据题意先归纳 猜想，利用数学归纳法证明猜想。数学归纳法证明必须有三步： ①当 时，计算得出猜想成立. ②当 时，假设猜想命题成立， ③当 时，证明猜想成立。 19．有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需每次先付费 元（不返还），游戏甲有 种结果：可能获得 元，可能获得 元，可能获得 元，这三种情况的概率分别为 ， ， ；游戏乙有 种结果：可能获得 元，可能获得 元，这两种情况的概率均为 . （1）某人花 元参与游戏甲两次，用 表示该人参加游戏甲的收益（收益=参与游戏获 得钱数-付费钱数），求 的概率分布及期望； （2）用 表示某人参加 次游戏乙的收益， 为任意正整数，求证： 的期望为 . 【答案】（1）分布列见解析，期望为 ；（2）见解析． 【解析】分析：（1） 表示该人参加游戏甲的收益，可能取值为 ， ， ， ， 分布列为： （2）用 表示某人参加 次游戏乙的收益可能取值为 ， ， ，…， ，… （ 且 ），每次独立，获奖的概率为 .满足二项分布。 详解：（1）则 的所有可能取值为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明： 的所有可能取值为 ， ， ，…， ，… （ 且 ）， （ 且 ）， ， ， 两式相加即得 ， 所以 . 点睛：（1）离散型随机变量的分布列，根据题意，搞清随机变量 的最小值和最大值， 其它值随之确定。 （2）根据题意，要能判断出是否为二项分布，抓题目的关键词：事件相互独立（放回）， 每次事件成功的概率相等. （3）二项分布的期望公式 ，方差 20．已知函数 ，其中 ， . （1）若 ， ，求 的值； （2）若 ， ，求 的最大值； （3）若 ，求证： . 【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析． 【解析】分析：（1）赋值法：求 （2）先求 通项公式，利用 解出 ，设第 项的系数最大，所以 （3） 时， ，利用组合数的公式化简求解。 详解：（1） ， 时， ， 令 得 ， 令 得 ， 可得 ； （2） ， ， 不妨设 中 ，则 或 ， 中的最大值为 ； （3）若 ， ， ， 因为 ， 所以 . 点睛：（1）二项式定理求系数和的问题，采用赋值法。 （2）求解系数的最大项，先设最大项的系数 ，注意所求的是第 项的系数， 计算不等式采用消去法化简计算， 取整数。 （3）组合数公式的计算整体变形，构造 的结构，一般采用 计算，不要 展开。