【数学】2020届江苏一轮复习通用版6-2平面向量的数量积作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版6-2平面向量的数量积作业

‎6.2　平面向量的数量积 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 平面向量的数量积 ‎1.数量积的运算 ‎2.数量积的性质 ‎2016江苏,13‎ 向量的数量积 平面向量的线性运算 ‎★★☆‎ ‎2017江苏,12‎ 向量的数量积 平面向量的线性运算 ‎2015江苏,14‎ 向量的数量积 ‎2014江苏,12‎ 向量的数量积 平面向量的线性运算 平面向量数量积的应用 ‎1.求模 ‎2.求夹角 ‎★☆☆‎ 分析解读　　江苏在这一部分主要考查平面向量的数量积,试题难度中等偏上,常需借助平面向量基本定理、向量的坐标等来处理,解题时需要关注函数与方程思想和数形结合思想的运用.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2018江苏扬州中学月考)在矩形ABCD中,已知AB=‎3‎,AD=2,点E是BC的中点,点F在CD上,若AB·AF=‎3‎,则AE·BF的值是　　　　. ‎ 答案　‎3‎-1‎ ‎2.(2018江苏姜堰中学第一学期期中)如图,在△ABC中,D为BC的中点,E为AD的中点,直线BE与边AC交于点F,若AD=BC=6,则AB·AF=　　　　. ‎ 答案　9‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎1.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,|a|=1,则|b|=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎2.(2018江苏盐城时杨中学月考)已知点P为矩形ABCD所在平面上一点,若|PA|=1,|PB|=‎3‎‎2‎,|PC|=4,则|PD|=　　　　. ‎ 答案　‎‎59‎‎2‎ ‎3.设a,b为两个非零向量,且满足|a|+|b|=2,2a·b=a2·b2,则向量a,b的夹角的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎π‎3‎ ‎4.(2017江苏苏北四市期中,13)已知AB为圆O的直径,M为圆O的弦CD上一动点,AB=8,CD=6,则MA·MB的取值范围是　　　　. ‎ 答案　[-9,0]‎ ‎5.(2017江苏南通中学期中,15)已知向量a=sinω‎2‎x+φ,1‎,b=‎1,cosω‎2‎x+φω>0,0<φ<‎π‎4‎,记函数f(x)=(a+b)·(a-b).若函数y=f(x)的周期为4,且图象经过点M‎1,‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)求ω的值; ‎ ‎(2)当-1≤x≤1时,求函数f(x)的最值.‎ 解析　(1)f(x)=(a+b)·(a-b)=a2-b2=sin2ω‎2‎x+φ-cos2ω‎2‎x+φ=-cos(ωx+2φ),‎ 因为ω>0,T=‎2π‎|ω|‎=4,故ω=π‎2‎.‎ ‎(2)∵f(x)的图象过点M‎1,‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴-cosπ‎2‎‎+2φ=‎1‎‎2‎,‎ 即sin 2φ=‎1‎‎2‎,而0<φ<π‎4‎,故2φ=π‎6‎,‎ 所以f(x)=-cosπ‎2‎x+‎π‎6‎.‎ 当-1≤x≤1时,-π‎3‎≤π‎2‎x+π‎6‎≤‎2π‎3‎,‎ ‎∴-‎1‎‎2‎≤cosπ‎2‎x+‎π‎6‎≤1,‎ ‎∴-1≤f(x)≤‎1‎‎2‎,‎ 即f(x)min=-1,f(x)max=‎1‎‎2‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　求平面向量的夹角 ‎1.已知正方形ABCD,点E在边BC上,且满足2BE=BC,设向量AE,BD的夹角为θ,则cos θ=　　　　. ‎ 答案　-‎‎10‎‎10‎ ‎2.已知c=ma+nb=(-2‎3‎,2),a与c垂直,b与c的夹角为120°,且b·c=-4,|a|=2‎2‎,求实数m,n的值及a与b的夹角θ.‎ 解析　∵a与c垂直,∴a·c=0.‎ 又∵c=ma+nb,∴c·c=ma·c+nb·c,‎ ‎∴12+4=-4n,∴n=-4.‎ ‎∵b·c=|b||c|cos 120°,‎ ‎∴-4=|b|×4×‎-‎‎1‎‎2‎,∴|b|=2.‎ 又a·c=ma2-4a·b,|a|=2‎2‎,∴a·b=2m.‎ 又b·c=m(a·b)-4b2,‎ ‎∴-4=2m2-16,∴m2=6,∴m=±‎6‎.‎ 当m=‎6‎时,a·b=2‎6‎.‎ ‎∴cos θ=a·b‎|a||b|‎=‎2‎‎6‎‎2‎2‎×2‎=‎3‎‎2‎,‎ 又∵θ∈[0,π],∴θ=π‎6‎.‎ 当m=-‎6‎时,a·b=-2‎6‎.‎ ‎∴cos θ=-‎3‎‎2‎,又∵θ∈[0,π],∴θ=‎5π‎6‎.‎ 因此m=‎6‎,n=-4时,θ=π‎6‎;m=-‎6‎,n=-4时,θ=‎5π‎6‎.‎ 方法二　求平面向量的模 ‎1.(2017江苏如皋中学学情检测)设向量a=(cos 25°,sin 25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是实数,且u=a+tb,则|u|的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎2‎ ‎2.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为　　　　. ‎ 答案　5‎ 方法三　数量积的计算方法 ‎1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,其内切圆切AC边于D点,O为圆心.若|AD|=2|CD|=2,则BO·AC=　　　　. ‎ 答案　-3‎ ‎2.(2017课标全国Ⅱ理改编,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎‎2‎ ‎3.如果向量a与b的夹角为θ,那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”,a×b是一个向量,它的长度|a×b|=|a|·|b|sin θ.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|=　　　　. ‎ 答案　4‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎1.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是　　　　. ‎ 答案　22‎ ‎2.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,‎2‎,OA与OC的夹角为α,且tan α=7,OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n=　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎3.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA·CA=4,BF·CF=-1,则BE·CE的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎8‎ ‎4.(2015江苏,14,5分)设向量ak=coskπ‎6‎,sinkπ‎6‎+coskπ‎6‎(k=0,1,2,…,12),则‎∑‎k=0‎‎11‎(ak·ak+1)的值为　　　　. ‎ 答案　9‎‎3‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2018课标全国Ⅱ理改编,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎2.(2015课标Ⅱ改编,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎3.(2014课标Ⅱ改编,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=‎10‎,|a-b|=‎6‎,则a·b=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎4.(2018天津文改编,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,则BC·OM的值为　　　　. ‎ 答案　-6‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎1.(2018北京理改编,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的　　　　　　　　.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”或“既不充分又不必要条件”) ‎ 答案　充分必要条件 ‎2.(2017课标全国Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　　　. ‎ 答案　2‎‎3‎ ‎3.(2018天津理改编,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE·BE的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎21‎‎16‎ ‎4.(2018浙江改编,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π‎3‎,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是　　　　. ‎ 答案　‎3‎-1‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2009江苏,2,5分)已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=‎3‎,则向量a和向量b的数量积a·b=　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎2.(2011课标全国Ⅰ文改编,3,5分)设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-‎1‎‎2‎,则|a+2b|=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ ‎3.(2012课标,13,5分)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=‎10‎,则|b|=　　　　. ‎ 答案　3‎‎2‎ ‎4.(2013课标全国Ⅱ,14,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎5.(2009江苏,15,14分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).‎ ‎(1)若a与(b-2c)垂直,求tan(α+β)的值;‎ ‎(2)求|b+c|的最大值;‎ ‎(3)若tan α·tan β=16,求证:a∥b.‎ 解析　(1)∵a与(b-2c)垂直,‎ ‎∴a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,‎ 即4cos αsin β+4sin αcos β-8cos αcos β+8sin αsin β=0,‎ 即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.‎ ‎(2)b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),‎ ‎|b+c|2=sin2β+2sin βcos β+cos2β+16cos2β-32cos βsin β+16sin2β=17-30sin βcos β=17-15sin 2β,其最大值为32,所以|b+c|的最大值为4 ‎2‎.‎ ‎(3)证明:由tan αtan β=16,得sin αsin β=16cos αcos β,‎ 即4cos α·4cos β-sin αsin β=0,‎ 所以a∥b.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共45分)‎ ‎1.(2017江苏无锡期中)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-2b|=2‎3‎,则a与b的夹角为　　　　. ‎ 答案　‎2‎‎3‎π ‎2.(2018江苏盐城高三(上)期中)设菱形ABCD的对角线AC的长为4,则AB·AC=　　　　. ‎ 答案　8‎ ‎3.(2017江苏南京、盐城高三第二次模拟考试,13)已知平面向量AC=(1,2),BD=(-2,2),则AB·CD的最小值为　　　　. ‎ 答案　-‎‎9‎‎4‎ ‎4.(2019届江苏徐州高三上学期期中质量抽测)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=1,∠BAD=60°,若CE=2ED,则AE·BE的值为　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎‎2‎ ‎5.(2017江苏南京、盐城一模,11)在△ABC中,已知AB=‎3‎,C=π‎3‎,则CA·CB的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎6.(2019届江苏启东中学期初)在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°,BM=λBC,若AM·BC=-‎17‎‎3‎,则实数λ=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ ‎7.(2018江苏天一中学调研)如图,在△ABC中,AB=AC=3,cos∠BAC=‎1‎‎3‎,DC=2BD,则AD·BC的值为　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎8.(2019届江苏扬州中学高三10月月考)已知点O在△ABC所在平面内,且AB=4,AO=3,(OA+OB)·AB=0,(OA+OC)·AC=0,则AB·AC取得最大值时线段BC的长度是　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎ ‎9.(2019届江苏盐城高三上学期期中)在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,点D为BC上一点,若AB·AD=2AC·AD,则AD=　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎‎3‎ 二、解答题(共20分)‎ ‎10.(2018江苏苏州期末)如图,在四边形ABCD中,AD=4,AB=2.‎ ‎(1)若△ABC为等边三角形,且AD∥BC,E是CD的中点,求AE·BD;‎ ‎(2)若AC=AB,cos∠CAB=‎3‎‎5‎,AC·BD=‎4‎‎5‎,求|DC|.‎ 解析　(1)解法一:因为△ABC为等边三角形,且AD∥BC,所以∠DAB=120°.‎ 又AD=2AB,所以AD=2BC,因为E是CD中点,所以AE=‎1‎‎2‎(AD+AC)=‎1‎‎2‎(AD+AB+BC)=‎1‎‎2‎AD‎+AB+‎‎1‎‎2‎AD=‎3‎‎4‎AD+‎1‎‎2‎AB.又BD=AD-AB,所以AE·BD=‎3‎‎4‎AD‎+‎‎1‎‎2‎AB·(AD-AB)=‎3‎‎4‎AD‎2‎-‎1‎‎2‎AB‎2‎-‎1‎‎4‎AD·AB=‎3‎‎4‎×16-‎1‎‎2‎×4-‎1‎‎4‎×4×2×‎-‎‎1‎‎2‎=11.‎ 解法二:因为△ABC为等边三角形,如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,‎3‎),因为△ABC为等边三角形,且AD∥BC,所以∠DAB=120°,所以D(-2,2‎3‎),因为E是CD中点,所以E‎-‎1‎‎2‎,‎‎3‎‎3‎‎2‎,所以AE=‎-‎1‎‎2‎,‎‎3‎‎3‎‎2‎,BD=(-4,2‎3‎),所以AE·BD=‎-‎1‎‎2‎,‎‎3‎‎3‎‎2‎·(-4,2‎3‎)=‎-‎‎1‎‎2‎×(-4)+‎3‎‎3‎‎2‎×2‎3‎=11.‎ ‎(2)因为AB=AC,AB=2,所以AC=2,因为AC·BD=‎4‎‎5‎,所以AC·(AD-AB)=‎4‎‎5‎,所以AC·AD-AC·AB=‎4‎‎5‎.又AC·AB=|AC||AB|cos∠CAB=4×‎3‎‎5‎=‎12‎‎5‎,所以AC·AD=‎4‎‎5‎+AC·AB=‎16‎‎5‎,所以|DC|2=|AC-AD|2=AC‎2‎+AD‎2‎-2AC·AD=4+16-2×‎16‎‎5‎=‎68‎‎5‎,所以|DC|=‎2‎‎85‎‎5‎.‎ ‎11.(2017江苏南京模拟,16)已知向量a=(2cos α,sin2α),b=(2sin α,t),α∈‎0,‎π‎2‎.‎ ‎(1)若a-b=‎2‎‎5‎‎,0‎,求t的值;‎ ‎(2)若t=1,且a·b=1,求tan‎2α+‎π‎4‎的值.‎ 解析　(1)因为向量a=(2cos α,sin2α),b=(2sin α,t),‎ 且a-b=‎2‎‎5‎‎,0‎,所以cos α-sin α=‎1‎‎5‎,t=sin2α.‎ 由cos α-sin α=‎1‎‎5‎得(cos α-sin α)2=‎1‎‎25‎,‎ 即1-2sin αcos α=‎1‎‎25‎,从而2sin αcos α=‎24‎‎25‎.‎ 所以(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=‎49‎‎25‎.‎ 因为α∈‎0,‎π‎2‎,所以cos α+sin α=‎7‎‎5‎.‎ 所以sin α=‎(cosα+sinα)-(cosα-sinα)‎‎2‎=‎3‎‎5‎,‎ 从而t=sin2α=‎9‎‎25‎.‎ ‎(2)因为t=1,且a·b=1,‎ 所以4sin αcos α+sin2α=1,即4sin αcos α=cos2α.‎ 因为α∈‎0,‎π‎2‎,所以cos α≠0,从而tan α=‎1‎‎4‎.‎ 所以tan 2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α=‎8‎‎15‎.‎ 所以tan‎2α+‎π‎4‎=tan2α+tan ‎π‎4‎‎1-tan2α·tanπ‎4‎=‎8‎‎15‎‎+1‎‎1-‎‎8‎‎15‎=‎23‎‎7‎.‎