数学理卷·2019届湖南省新化县第一中学高二下学期入学考试(2018-03)

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数学理卷·2019届湖南省新化县第一中学高二下学期入学考试(2018-03)

新化一中2017-2018学年度第二学期入学考试 高二数学(理科)试题 时 间:120分钟 满 分:150分 命题人:胡胜虎 审题人:吴文凯 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1、已知集合,则( )‎ ‎2、 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3、命题“任意一个无理数,它的平方不是有理数”的否定是( )‎ A、存在一个有理数,它的平方是无理数。‎ B、任意一个无理数,它的平方是有理数。‎ C、任意一个有理数,它的平方是有理数。‎ D、存在一个无理数,它的平方是有理数。‎ 否 是 第6题 ‎4、“”是“方程表示图形为双曲线”的( )‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 ‎ C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎5、在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、如果执行右面的程序框图,那么输出的(   )‎ A、22 B、‎46 ‎ C、 D、190‎ ‎7、已知双曲线的一个焦点为,且渐近线与圆 相切,则双曲线的方程为(   )‎ A.  B.   C. D.‎ ‎8、在△中,已知,则=( )‎ ‎9、将正三棱柱截去三个角(如图1所示A,B,C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为(   )‎ A.B.C. D.‎ ‎10、甲、乙、丙三个人在一起做作业,有一道数学题比较难,当他们三个人都把自己的解法说出来以后,甲说:“我做错了。”乙说:“甲做对了。”丙说:“我做错了。”在一旁的丁看到他们的答案并听了她们的意见后说:“你们三个人中有一个人做对了,有一个人说对了。”请问,他们三人中到底谁做对了?( )‎ A、甲 B、乙 C、丙 D、无法判断 ‎11、设是椭圆的左、右焦点,为直线 上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、已知函数对任意的满足 (其中是函数 的导函数),则下列不等式成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13、等差数列中, ,‎ ‎,则的通项公式为 .‎ ‎14、若正数满足,则的最小值为 ‎ ‎15、已知,式中变量,满足下列条件: ,若的最大值为,则的值为 .‎ ‎16、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B,则|AB|等于 ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤).‎ ‎17、(10分)已知函数.若函数的图象在点处的切线与直平行,函数f(x)在处取得极值,‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)求函数在的最值.‎ ‎18. (12分) 已知等差数列的前项和为,且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎19、(12分) 在中,的对边分别是,已知.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求边的值.‎ ‎20、(12分) 如图,四棱锥中,底面为矩形,平面平面,‎ P A B C D ‎,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21、(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为、,一个顶点为C(2,0),离心率为,,。‎ ‎(1)求椭圆E的方程,并求其焦点坐标; ‎ ‎(2)设直线R交椭圆于、两点,试探究:点与以线段为直径的圆的位置关系,并证明你的结论.‎ M ‎ ‎ ‎22.(12分) 若函数. ‎ ‎ (1)求函数的单调区间 ‎ (2)若若对所有的都有成立,求实数a的取值范围.‎ 新化一中2018年上学期入学考试高二数学(理)试卷 时 间:120分钟 满 分:150分 命题人:胡胜虎 审题人:吴文凯 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1、已知集合,则( C )‎ ‎2、 ( C )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3、命题“任意一个无理数,它的平方不是有理数”的否定是( D )‎ A、存在一个有理数,它的平方是无理数。‎ B、任意一个无理数,它的平方是有理数。‎ C、任意一个有理数,它的平方是有理数。‎ D、存在一个无理数,它的平方是有理数。‎ 否 是 第6题 ‎4、“”是“方程表示图形为双曲线”的( A )‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 ‎ C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎5、在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( C )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、如果执行右面的程序框图,那么输出的(  B )‎ A、22 B、‎46 ‎ C、 D、190‎ ‎7、已知双曲线的一个焦点为,且渐近线与圆 相切,则双曲线的方程为( A  )‎ A.  B.   C. D.‎ ‎8、在△中,已知,则=( B )‎ ‎9、将正三棱柱截去三个角(如图1所示A,B,C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A )‎ A.B.C. D.‎ ‎10、甲、乙、丙三个人在一起做作业,有一道数学题比较难,当他们三个人都把自己的解法说出来以后,甲说:“我做错了。”乙说:“甲做对了。”丙说:“我做错了。”在一旁的丁看到他们的答案并听了她们的意见后说:“你们三个人中有一个人做对了,有一个人说对了。”请问,他们三人中到底谁做对了?( C )‎ A、甲 B、乙 C、丙 D、无法判断 ‎11 设是椭圆的左、右焦点,为直线 上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( C )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12已知函数对任意的满足 (其中是函数 的导函数),则下列不等式成立的是( A )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13、等差数列中, ,,则的通项公式为 .‎ ‎14、若正数满足,则的最小值为 8 ‎ ‎15、已知,式中变量,满足下列条件: ,若的最大值为,则的值为 . ‎ ‎16、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B,则|AB|等于 ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤).‎ ‎17、(10分)已知函数.若函数的图象在点处的切线与直平行,函数f(x)在处取得极值,‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)求函数在的最值.‎ 解:(Ⅰ)∵,∴.…………1分 由题意得, 即,解得.经检验符合题意,‎ ‎∴;…………5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,令得,…………7分 列表如下: ‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎…………9分 由表中可知时,,.…………10分 ‎18. (12分) 已知等差数列的前项和为,且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则由条件得 ‎ ,…………………………………2分 解得, ……………………………………4分 所以通项公式,即……………………6分 ‎(Ⅱ)令,解得, ‎ ‎∴ 当时,;当时, ………………8分 ‎ ‎ ‎ ………10分 ‎ ……………12分 ‎19、(12分) 在中,的对边分别是,已知.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求边的值.‎ 解:(1)由 正弦定理得:‎ ‎ 所以,又,所以。‎ ‎ (2)由(1)得,‎ 又由,‎ 得 展开得:,‎ 所以,又且,解得,‎ 而,所以。 ‎ ‎20、(12分) 如图,四棱锥中,底面为矩形,平面平面,‎ P A B C D ‎,.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ P A B C D H M 解:(Ⅰ)证明:取的中点M,连结. …1分 由,得,‎ 由,得, …………………2分 且.‎ 平面.………………………………3分 平面,‎ ‎. …………………………………………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)在平面中,过点作于点, 连结,交于.‎ ‎…………………………………………………………………………………………………5分 P A B C D H O x y z ‎∵平面平面,平面平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎. ………………………6分 由(1)及,‎ 平面,‎ ‎,…………………………………7分 在中,,即.‎ ‎,.‎ 在中,,.‎ ‎.………………………………8分 以D为坐标原点,DA,DC所在的直线为x ,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,,..‎ ‎,.…………………………………………9分 设平面的法向量是,则 ‎,,‎ 即,得其中一个法向量为. …………………………10分 设直线与平面所成角为,又,则.‎ 直线与平面所成角的正弦值为.……………………………………………………12分 ‎21、(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为、,一个顶点为C(2,0),离心率为,,。‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程,并求其焦点坐标; ‎ ‎(Ⅱ)设直线R交椭圆于、两点,试探究:点与以线段为直径的圆的位置关系,并证明你的结论.‎ M ‎22.(Ⅰ)解:由题意可得:a=2,,a2=b2+c2,联立解得a=2,c=b=.‎ ‎∴椭圆C的标准方程为: =1,其焦点坐标为:.…………………………4分 ‎(Ⅱ)设点,‎ 由,∴,,‎ ‎ ……………………………6分 ‎∵,,∴‎ ‎ , ……………10分 ‎ ∴,又不共线,∴为锐角,………………11分 因此,点在以为直径的圆外. ……………………………………12分 ‎22.(12分) 若函数. ‎ ‎ (I)求函数的单调区间 ‎ (II)若若对所有的都有成立,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)的定义域为,.‎ ‎ .‎ ‎ ①当.‎ ‎ ②时, …………………2分 ‎ .…3分 ‎ .‎ ‎ ‎ ‎ .………………………………5分 综上, ;‎ ‎ 单调递减区间为.‎ ‎ 的单调递增区间(0,+). …………………6分 ‎ (2).‎ ‎ ,则.‎ ‎∵当时,,∴函数在区间上是增函数。 ‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎ .‎ ‎ . …………………12分 ‎ 另解:, ‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ 单增.‎ ‎ ①当,‎ ‎ .‎ ‎ .‎ ‎ ②当.‎ ‎ ‎ ‎ 不成立.‎ ‎ 综上所述. ……………………12分
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