2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期末考试 数学（理） Word版

2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期末考试 数学（理） Word版

深圳高级中学（集团）2018--2019学年第一学期期末考试 ‎ 高二数学（理科）‎ ‎ 命题人：刘功盛 审题人：范铯 本试卷由两部分组成。‎ 第一部分：高二数学第一学期期中前的基础知识和能力考查，共57 分； ‎ ‎ 选择题包含第1 题、第3 题、第 6题、第7 题、第 8题，共25 分。‎ ‎ 填空题包含第 13题、第 14题，共10分。‎ ‎ 解答题包含第17 题、第18 题，共22分。‎ 第二部分：高二数学第一学期期中后的基础知识和能力考查，共93 分。‎ ‎ 选择题包含第 2题、第4题、第 5题、第9 题、第10 题、第11 题，第12 题，共35 分。‎ ‎ 填空题包含第 15题,第 16题，共10 分。‎ ‎ 解答题包含第 19题、第20 题、第21 题、第22 题，共48 分。‎ 全卷共计150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设复数z＝+2i，则|z|＝（ ）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎2．已知命题p：∀x≥0，x≥sinx，则p为（ ） ‎ A．∀x＜0，x＜sinx B．∀x≥0，x＜sinx ‎ C．∃x0＜0，x0＜sinx0 D．∃x0≥0，x0＜sinx0‎ ‎3．设a＝50.4，b＝log0.40.5，c＝log50.4，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a ‎4．若函数的导函数的图象如图所示，则（ ）‎ A．函数有1个极大值，2个极小值 ‎ B．函数有2个极大值，2个极小值 ‎ C．函数有3个极大值，1个极小值 ‎ D．函数有4个极大值，1个极小值 ‎5．近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3，…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字．根据图中已填入的数字，可以判断A处填入的数字是（ ）‎ ‎ A．1‎ ‎ B．2 ‎ C．8 ‎ D．9‎ ‎6．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7．已知函数的部分图象如图，为了得到的图象，可以将f（x）的图象（ ）‎ A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎8．等差数列的前n项和为，若，则＝（ ）‎ A．66 B．99 C．110 D．143‎ ‎9．已知函数，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝4，AB＝2，CC1＝2，E，F分别为AC，‎ CC1的中点，则直线EF与平面AA1B1B所成的角是（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎11．设双曲线C：的左焦点为F，直线过点F且在第二象限与C的交点为P，O为原点，若|OP|＝|OF|，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎12．设函数f（x）在R上存在导数，对任意x∈R，有，且x∈[0，+∞）时＞2x，若，则实数a的取值范围为（ ）‎ ‎ A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)的值为_________‎ ‎14．已知tan＝2，则的值为_____ _; ‎ ‎15．＝ ;‎ ‎16．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为 半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则此抛物线的方程为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acosB+b＝2c．‎ ‎（1）求A的大小；‎ ‎（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若＝1+bn•bn+1，求数列的前n项和Tn．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数y＝f（x）的单调区间；‎ ‎（2）求函数y＝f（x）在上的最大值与最小值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，‎ ‎，∠BAD＝∠ABC＝90°．‎ ‎（1）证明：PD⊥AB；‎ ‎（2）点M在棱PC上，且，若二面角M﹣AB﹣D 大小 的余弦值为，求实数λ的值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长2，焦点F（c，0），点，且．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相较于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线PQ的方程；不存在，说明理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，，（其中e是自然对数的底数）．‎ ‎（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线垂直，求实数a的值；‎ ‎（2）记函数F（x）＝f（x）•g（x），其中a＞0，若函数F（x）在（﹣3，3）内存在两个极值点，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若对任意x1，x2∈[0，3]，且x1＞x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|成立，‎ 求实数a的取值范围．‎ 深圳高级中学（集团）2018--2019学年第一学期期末考试 ‎ 高二数学（理科） 答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B B A C B D A A D A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．-18； 14． ； 15．1； 16．y2 ＝6x；‎ 三、解答题： ‎ ‎17．解：（1）∵2acosB+b＝2c，由正弦定理得：‎ ‎2sinAcosB+sinB＝2sinC＝2sin（A+B）＝2sinAcosB+2cosAsinB，‎ ‎∴sinB＝2cosAsinB，‎ ‎∵sinB≠0，∴cosA＝，‎ 又0＜A＜π，∴A＝；‎ ‎（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，‎ ‎∵a＝，b＝2，∴c2﹣2c﹣3＝0，∴c＝3，‎ ‎∴S△ABC＝bcsinA＝×2×3×＝‎ ‎18． 解：（1）由题意当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，‎ 所以an＝2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）知，bn＝，∁n＝1+bn•bn+1‎ ‎＝1+•‎ ‎＝1+2（﹣）‎ ‎∴Tn＝c1+c2+…+cn＝n+2（1﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎＝n+2（1﹣）‎ ‎=‎ ‎19． 解：（1）函数f（x）＝x2﹣lnx（x＞0）的导数为＝2x﹣＝，‎ 由＞0，可得x＞；＜0，可得0＜x＜，‎ 则f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）；‎ ‎（2）函数f（x）＝x2﹣lnx（x＞0）的导数为＝2x﹣＝，‎ 由＝0，可得x＝∈，‎ 可得f（x）的最小值为f（）＝；‎ 由f（）＝+ln2<，f（）＝>，‎ 可得f（）＞f（），‎ 即有f（x）的最大值为．‎ ‎20．（1）证明：取AD的中点O，连OC，OP，‎ ‎∵△PAD为等边三角形，且O是边AD 的中点，‎ ‎∴PO⊥AD，‎ ‎∵平面PAD⊥底面ABCD，且它们的交线为AD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，∴BA⊥PO，‎ ‎∵BA⊥AD，且AD∩PO＝O，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，‎ ‎∴PD⊥AB．‎ ‎（2）分别以OC，OD，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，‎ 则，‎ ‎∵∴，‎ ‎∴，即：，‎ 设，且是平面ABM的一个法向量，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 取，‎ 而平面ABD的一个法向量为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵0＜λ＜1，‎ ‎∴．‎ ‎21． 解：（1）由题意知，b＝，F（c，0），A（﹣c，0），‎ 则，，‎ 由＝2，得c＝，解得：c＝2．‎ ‎∴a2＝b2+c2＝6，‎ ‎∴椭圆的方程为，‎ ‎（2）A（3，0），设直线PQ的方程为y＝k（x﹣3），‎ 联立，得（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6＝0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．‎ ‎∴＝k2（）＝．‎ 由已知得OP⊥OQ，得x1x2+y1y2＝0，‎ 即，‎ 解得：k＝，符合△＞0，‎ ‎∴直线PQ的方程为y＝．‎ ‎22． 解：（1）因为f'（x）＝2x﹣a，所以f'（1）＝2﹣a，‎ 因为y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线垂直，‎ 所以2﹣a＝2，解得a＝0．………………………… 2分 ‎（2）因为F（x）＝f（x）g（x）＝（x2﹣ax﹣a）ex，‎ 所以F'（x）＝（x﹣a）（x+2）ex，‎ 因为a＞0，所以当x＜﹣2或x＞a时，F'（x）＞0；当﹣2＜x＜a时，F'（x）＜0，‎ 所以F（x）在区间（﹣∞，﹣2）和（a，+∞）单调递增；在（﹣2，a）单调递减，‎ 即当x＝﹣2时，F（x）取极大值，当x＝a时，F（x）取极小值，‎ 因为函数F（x）在（﹣3，3）内存在两个极值点，所以0＜a＜3．。。。。。。。。7分 ‎（3）因为函数g（x）在[0，3]上单调递增，所以g（x1）﹣g（x2）＞0，‎ 所以|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|对任意的x1，x2∈[0，3]，且x1＞x2恒成立，‎ 等价于g（x2）﹣g（x1）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）‎ 对任意的x1，x2∈[0，3]，且x1＞x2恒成立，‎ 即对任意x1，x2∈[0，3]，且x1＞x2恒成立，‎ 所以f（x）+g（x）在[0，3]上是单调递增函数，‎ f（x）﹣g（x）在[0，3]上是单调递减函数，‎ 由+g'（x）≥0在[0，3]上恒成立，‎ 得（2x﹣a）+ex≥0在[0，3]恒成立，即a≤ex+2x在[0，3]恒成立，‎ 而ex+2x在[0，3]上为单调递增函数，且在[0，3]上取得最小值1，所以a≤1，‎ 由﹣g'（x）≤0在[0，3]上恒成立，‎ 得（2x﹣a）﹣ex≤0在[0，3]上恒成立，即a≥2x﹣ex在[0，3]上恒成立，‎ 令t（x）＝2x﹣ex则t'（x）＝2﹣ex，令t'（x）＝0，得x＝ln2，‎ 因为t（x）在[0，ln2]上递增，在[ln2，3]上单调递减，‎ 所以t（x）在[0，3]上取得最大值2ln2﹣2，即a≥2ln2﹣2，‎ 所以实数a的取值范围为[2ln2﹣2，1]…………………………12分