【数学】江西省上饶市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试（理）

【数学】江西省上饶市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试（理）

江西省上饶市2019-2020学年 高二下学期期末教学质量测试（理）‎ 注意事项：‎ ‎1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2． 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．‎ ‎3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．‎ ‎4． 本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知是虚数单位，复数的虚部为（▲ ）‎ ‎ A．-1 B． C． D．‎ ‎2．已知命题，则为（ ▲ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎3．已知向量.若，则x的值为（ ▲ ）‎ ‎ A． B．‎2 ‎C．3 D．‎ ‎4．函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ▲ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎5．双曲线的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（ ▲ ）‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎6．在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（ ▲ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．下列点在曲线上的是（ ▲ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知平面，，直线l满足，则“”是“”的（ ▲ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．已知P与Q分别为函数与函数 的图象上一点，则线段的最小值为( ▲ )‎ ‎ A． B． C． D．6‎ ‎10．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得，类似地可得到正数（▲ ）‎ ‎ A． B． C．2 D．‎ ‎11．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，，分别为和的中点，当和所成角的余弦值为时，与平面所成角的正弦值为（ ▲ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数 （，e是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为( ▲ )‎ ‎ A． B． C D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．‎ ‎13．已知，，，，类比这些等式，若（，均为正整数），则___▲ ___.‎ ‎14．__▲ __‎ ‎15．命题:，使得成立；命题，不等式恒成立.若命题为假，为真，则实数的取值范围为___▲ ___.‎ ‎16．已知是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点满足,若.则以为圆心，为半径的圆的面积为___▲ ___．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C2参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C1的参数方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知P是C2上参数对应的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线的距离的最大值.‎ ‎18.（本小题满分12分）已知抛物线上的点到焦点F的距离为3.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.‎ ‎19．（本小题满分12分）已知函数在处有极值1.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数在上的最大值与最小值（）.‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面， ED∥PA，且，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎21．（本小题满分12分）设椭圆，右顶点是，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设与轴的正半轴交于点，直线与交于两点（不经过点），且,证明：直线经过定点，并写出该定点的坐标．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）当求的单调区间； ‎ ‎（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A、C B A C A A D B C D B、C D 二、填空题 ‎13、71 14、 15、 16、‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）的参数方程为（为参数）；……………………3分 的直角坐标方程为.……………………5分 （2） 由题设可知，……………………6分 （3） 由（1）可设，于是.………………7分 到直线距离，……………………8分 当时，取最大值.……………………10分 ‎18.【解析】（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：，………2分 ‎，，解得：.……………………5分 ‎（2）设，，‎ 则，两式作差得：，……………………6分 ‎，……………………8分 为的中点，，，……………………10分 直线的方程为：，即.……………………12分 ‎19【解析】（1）由题可知，，的定义域为，‎ ‎， ……………………1分 由于在处有极值，‎ 则，即，……………………3分 解得：，.……………………5分 （2） 由（1）可知，其定义域是，‎ ‎ ……………………6分 令，而，解得，……………………7分 由，得；由，得，……………………8分 则在区间上，，，的变化情况表如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ 单调递减 单调递增 可得， ……………………10分 ‎，，‎ 由于，则，‎ 所以，……………………11分 函数在区间上的最大值为，最小值为1.……………………12分 ‎20.【解析】（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．…1分 因为，分别为，的中点，‎ 所以，且，‎ 因为，且，‎ 所以，且． ‎ 所以四边形为平行四边形，所以，即．……2分 因为平面，平面，所以．…………3分 因为是菱形，所以． ‎ 因为，所以平面．‎ 因为，所以平面． ……………………5分 因为平面，所以平面平面．……………………6分 ‎(向量法证明亦可）‎ ‎（2）因为． ‎ 所以，故△为等边三角形．‎ 设的中点为，连接，则． ‎ 以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．‎ 则，，，，‎ ‎，，．……………………7分 设平面的法向量为，‎ 则即 则所以． ……………………9分 平面的一个法向量为，……………………10分 设二面角的大小为，由于为锐角，‎ 所以．……………………11分 所以二面角的余弦值为．……………………12分 ‎21.【解析】‎ ‎（1）右顶点是，离心率为，‎ 所以，……………………2分 ‎∴，则，……………………3分 ‎∴椭圆的标准方程为.……………………4分 ‎（2）由已知得，由得，……5分 当时，设，，则，，……6分 ‎，，……………7分 由得，…………………8分 即，…………10分 所以，解得或，……………………11分 ‎①当时，直线经过点，不符合题意，舍去.‎ ‎②当时，显然有，直线经过定点.……………………12分 ‎22.【解析】（1）的定义域为，求导得，…1分 令，得，解得，……………………2分 当时，，故在上单调递减。……………………3分 当时，，故在上单调递增。……………………4分 综上，的单调递减区间为；的单调递增区间为.………5分 ‎（2）的定义域为，求导得，……6分 有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根 ‎，，，，………7分 此时不等式恒成立，等价于对恒成立，‎ 可化为恒成立，………8分 令，‎ 则，‎ ‎，，，‎ 在恒成立，在上单调递减，‎ ‎，‎ ‎. 故实数的取值范围是.……………………12分