高考文科数学专题复习练习1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
第四章三角函数、解三角形
4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
48
同角三角函数的基本关系
1.(2015黑龙江大庆二模,文2,同角三角函数的基本关系,选择题)sin α=55,则sin2α-cos2α的值为( )
A.-15 B.-35 C.15 D.35
解析:∵sin α=55,∴cos2α=1-sin2α=45,
则原式=15-45=-35.
答案:B
2.(2015甘肃张掖4月模拟,文13,同角三角函数的基本关系,填空题)已知α为第二象限角,sin α+cos α=33,则cos 2α= .
解析:∵sin α+cos α=33,两边平方得1+sin 2α=13,
∴sin 2α=-23.①
∴(sin α-cos α)2=1-sin 2α=53.
∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0.
∴sin α-cos α=153.②
∴cos 2α=-(sin α-cos α)(sin α+cos α)
=-153×33=-53.
答案:-53
4.(2015山西太原二模,文4,同角三角函数的基本关系,选择题)已知sin α+cos α=2,α∈-π2,π2,则tan α=( )
A.-1 B.-22 C.22 D.1
解析:把sin α+cos α=2,①
两边平方得(sin α+cos α)2=2,
即1+2sin αcos α=2,
所以2sin αcos α=1.
所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=0,
即sin α-cos α=0.②
①+②得2sin α=2,即sin α=cos α=22,
则tan α=1.
答案:D
4.(2015江西九江一模,文4,同角三角函数的基本关系,选择题)已知tan α=-35,则sin 2α=( )
A.1517 B.-1517 C.-817 D.817
解析:sin 2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=2×-35-352+1=-1517.
答案:B
5.(2015吉林三模,文5,同角三角函数的基本关系,选择题)已知α是第四象限角,且tan α=-34,则sin α=( )
A.-35 B.35 C.45 D.-45
解析:∵α是第四象限角,且tan α=-34,
∴sin α<0,sinαcosα=-34,sin2α+cos2α=1,
解得sin α=-35.
答案:A
6.(2015江西六校联考二模,文6,同角三角函数的基本关系,选择题)若3sin θ=cos θ,则cos 2θ+sin 2θ的值等于( )
A.-75 B.75 C.-35 D.35
解析:∵3sin θ=cos θ,∴tan θ=13.
∴cos 2θ+sin 2θ=cos2θ-sin2θ+2sinθcosθcos2θ+sin2θ=1-tan2θ+2tanθ1+tan2θ=1-19+231+19=75.
答案:B
13.(2015江西新余二模,文13,同角三角函数的基本关系,填空题)已知tan(3π-x)=2,则2cos2x2-sinx-1sinx+cosx= .
解析:∵tan(3π-x)=-tan x=2,即tan x=-2,
∴原式=cosx-sinxsinx+cosx=1-tanxtanx+1=1+2-2+1=-3.
答案:-3
3.(2015江西重点中学协作体一模,文3,同角三角函数的基本关系,选择题)已知x∈-π2,0,且cos x=32,则tan 2x=( )
A.3 B.-33 C.33 D.-3
解析:∵x∈-π2,0,且cos x=32,
∴sin x=-1-cos2x=-12,tan x=sinxcosx=-33.
∴tan 2x=2tanx1-tan2x=-3.
答案:D
7.(2015山西朔州怀仁一中一模,文7,同角三角函数的基本关系,选择题)若θ∈0,π4,sin 2θ=223,则cos θ=( )
A.23 B.13 C.63 D.33
解析:∵θ∈0,π4,∴2θ∈0,π2.
∴由sin 2θ=223,得cos 2θ=1-sin22θ=13.
∴cos θ=1+cos2θ2=1+132=63.
答案:C
49
诱导公式
1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文3,诱导公式,选择题)sin 600°等于( )
A.32 B.12 C.-12 D.-32
解析:sin 600°=sin(360°+180°+60°)=-sin 60°=-32.
答案:D
3.(2015江西鹰潭二模,文3,诱导公式,选择题)若sinπ6-α=23,则cos2π3+2α=( )
A.-59 B.59 C.-79 D.79
解析:∵sinπ6-α=23,
∴cosπ3+α=cosπ2-π6-α
=sinπ6-α=23.
∴cos2π3+2α=2cos2π3+α-1
=2×232-1=-59.
答案:A
3.(2015广西南宁一模,文3,诱导公式,选择题)已知sinπ3-x=35,则cosx+π6等于( )
A.-45 B.-35 C.45 D.35
解析:cosx+π6=sinπ2-x+π6
=sinπ3-x=35.
答案:D
4.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文4,诱导公式,选择题)3cos10°-1sin170°=( )
A.4 B.2 C.-2 D.-4
解析:3cos10°-1sin170°=3cos10°-1sin(180°-10°)
=3cos10°-1sin10°=3sin10°-cos10°sin10°cos10°
=232sin10°-12cos10°sin10°cos10°=2sin(10°-30°)sin10°cos10°
=-2sin20°12·2sin10°cos10°=-4sin20°sin20°=-4.
答案:D
3.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文3,诱导公式,选择题)已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为P12,y,则sinπ2+2α=( )
A.-12 B.12 C.-32 D.1
解析:由题意可得,cos α=12,
则sinπ2+2α=cos 2α=2cos2α-1=2×14-1=-12.
答案:A
13.(2015江西三县部分高中一模,文13,诱导公式,填空题)已知sinπ4+α=32,则sin3π4-α的值为 .
解析:∵π4+α+3π4-α=π,sin(π-α)=sin α,
∴sin3π4-α=sinπ-π4+α=sinπ4+α.
又sinπ4+α=32,∴sin3π4-α=32.
答案:32
4.2三角函数的图象与性质
50
三角函数的定义域、值域、最值
14.(2015黑龙江大庆一模,文14,三角函数的定义域、值域、最值,填空题)设函数f(x)=sinπ2x+π3(x∈R),若存在这样的实数x1,x2,对任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为 .
解析:∵对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),
∴f(x1)和f(x2)分别是函数的最大值和最小值.
∴|x1-x2|的最小值为函数的半个周期.
∵T=2ππ2=4.
∴|x1-x2|的最小值为2.
答案:2
5.(2015江西南昌模拟,文5,三角函数的定义域、值域、最值,选择题)设函数f(x)=(sin x+cos x)2+1,若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为( )
A.2π B.π C.π2 D.π4
解析:由函数f(x)=(sin x+cos x)2+1=2+sin 2x,f(x1)≤f(x)≤f(x2),
可得f(x1)为函数的最小值,f(x2)为函数的最大值,
故|x2-x1|的最小值为半个周期,即12·2π2=π2.
答案:C
17.(2015江西上饶一模,文17,三角函数的定义域、值域、最值,解答题)已知函数f(x)=cosπ6-2x+cos2x+π6+sin2x+π3-sinπ3-2x.
(1)求函数f(x)在0,π2上的值域;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且f(A)=1,a=1,试求△ABC的面积S的最大值.
解:(1)因为函数f(x)=cosπ6-2x+cos2x+π6+sin2x+π3-sinπ3-2x
=2sin2x+π3,
又x∈0,π2,所以2x+π3∈π3,4π3,即f(x)的值域为[-3,2].
(2)由f(A)=2sin2A+π3=1⇒A=π4,
又a=1,
由余弦定理及均值不等式可得,b2+c2-2bccos A=a2≥2bc(1-cos A)
⇒bc≤12×1-22=1+22.
所以S=12bcsin A≤12×1+22×22=2+14.
△ABC的面积S的最大值为2+14.
12.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文12,三角函数的定义域、值域、最值,选择题)设函数f(x)=3sinπxm,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2
14m2+3,即m2>4.
求得m>2,或m<-2.
答案:C
51
三角函数的单调性
13.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文13,三角函数的单调性,填空题)函数y=12sin x+32cos x,x∈0,π2的单调递增区间是 .
解析:化简可得y=sin xcosπ3+cos xsinπ3
=sinx+π3,
由2kπ-π2≤x+π3≤2kπ+π2,可得2kπ-5π6≤x≤2kπ+π6,k∈Z,
当k=0时,可得函数的一个单调递增区间为-5π6,π6,
由x∈0,π2,可得x∈0,π6.
答案:0,π6
8.(2015江西上饶重点中学二模,文8,三角函数的单调性,选择题)函数f(x)=cos2x-π6的单调递增区间是( )
A.-π3+kπ,π6+kπ(k∈Z)
B.π6+kπ,2π3+kπ(k∈Z)
C.-π3+2kπ,π6+2kπ(k∈Z)
D.π6+2kπ,2π3+2kπ(k∈Z)
解析:∵f(x)=cos2x-π6=1+cos2x-π62
=12+12cos2x-π3,
∴2kπ-π<2x-π3<2kπ,k∈Z,可解得单调增区间是-π3+kπ,π6+kπ,k∈Z.
答案:A
3.(2015甘肃兰州一中三模,文3,三角函数的单调性,选择题)函数f(x)=sin(-2x)的一个递增区间是( )
A.0,π4 B.-π,-π2
C.3π4,2π D.-π2,-π4
解析:f(x)=sin(-2x)=-sin 2x,
由2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2,
得kπ+π4≤x≤kπ+3π4,
取k=-1,得函数f(x)=sin(-2x)的一个递增区间是-3π4,-π4,
而-π2,-π4⊂-3π4,-π4,故选D.
答案:D
17.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文17,三角函数的单调性,解答题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列.
(1)若AB·BC=-32,b=3,求a+c的值;
(2)求2sin A-sin C的取值范围.
解:(1)∵A,B,C成等差数列,∴B=π3.
∵AB·BC=-32,∴accos(π-B)=-32.
∴12ac=32,即ac=3.
∵b=3,b2=a2+c2-2accos B,
∴a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3.
∴(a+c)2=12,∴a+c=23.
(2)2sin A-sin C=2sin2π3-C-sin C
=232cosC+12sinC-sin C=3cos C.
∵00)个单位,可得到函数y=sin2x+π4的图象,则φ的最小值为 .
解析:将函数y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到y=sin [2(x+φ)]=sin(2x+2φ),
得到函数y=sin2x+π4的图象,
即2φ+2kπ=π4,解得φ=2kπ+π8,k∈Z.
当k=0时,φmin=π8.
答案:π8
3.(2015江西上饶二模,文3,三角函数的图象与变换,选择题)把函数y=5sin2x-π6图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再把所得函数的图象向右平移π3个单位,得到图象的解析式为( )
A.y=5cos x B.y=-5cos x
C.y=5cos 4x D.y=-5cos 4x
解析:把函数y=5sin2x-π6图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),所得函数的解析式为y=5sinx-π6,
再把所得函数的图象向右平移π3个单位,得到图象的解析式为y=5sinx-π3-π6=5sinx-π2=-5cos x.
答案:B
2.(2015广西柳州一模,文5,三角函数的图象与变换,选择题)设g(x)是将函数f(x)=cos 2x向左平移π3个单位得到的,则gπ6等于( )
A.1 B.-12 C.0 D.-1
解析:将函数f(x)=cos 2x向左平移π3个单位,得fx+π3=cos 2x+π3,
即g(x)=cos 2x+π3,
所以gπ6=cos 2π6+π3=cos π=-1.
答案:D
8.(2015江西九江一模,文8,三角函数的图象与变换,选择题)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象向左平移π6个单位后得到g(x)=cos2x+π6,则φ的值为( )
A.-2π3 B.-π3 C.π3 D.2π3
解析:∵函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象向左平移π6个单位后可得
sin2x+π6+φ
=sin2x+π3+φ=cos2x-π6+φ
=cos2x+π6=g(x),
∴-π6+φ=2kπ±π6,k∈Z.
∵|φ|<π,∴可解得φ=π3.
答案:C
18.(2015江西吉安一模,文18,三角函数的图象与变换,解答题)已知f(x)=-4cos2x+43asin xcos x,将f(x)的图象向左平移π4,再向上平移2个单位后,所得图象关于x=π12对称.
(1)求实数a和f(x)的最小正周期,并求f(x)在-π6,π6上的值域;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边的长分别为a,b,c,已知若f(A)=0,b=1,△ABC的面积S=3,求c和sin C的值.
解:(1)∵f(x)=-4cos2x+43asin xcos x=23asin 2x-2cos 2x-2,向左平移π4,再向上平移2个单位后,得g(x)=2sin 2x+23acos 2x,
又g(x)关于x=π12对称,从而可得g(0)=gπ6,
可得23a=3+3a,解得a=1.
∴f(x)=4sin2x-π6-2.
∴f(x)的最小正周期为π.
∵x∈-π6,π6,
∴2x∈-π3,π3,2x-π6∈-π2,π6.
∴-1≤sin2x-π6≤12.
∴f(x)在-π6,π6上的值域为[-6,0].
(2)由f(A)=4sin2A-π6-2=0,得A=π6A=π2舍去,
又由S△ABC=12bcsin A=3,可得c=43.
由cos A=32及余弦定理,可得a2=b2+c2-2bccos A=1+48-2×1×43×32=37,a=37,
由正弦定理csinC=asinA,可得sin C=12×4337=211137.
15.(2015吉林三模,文15,三角函数的图象与变换,填空题)把函数f(x)=3sin xcos x+12cos 2x的图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位,得到函数g(x)=sin 2x的图象,则φ的最小值为 .
解析:∵f(x)=3sin xcos x+12cos 2x
=32sin 2x+12cos 2x=sin2x+π6,
又f(x)向右平移φ(φ>0)个单位,得到函数g(x)=sin 2x的图象,
∴sin2(x-φ)+π6=sin2x+π6-2φ=sin 2x.
∴2φ-π6=2kπ.∴φ=kπ+π12,k∈Z.
∴φ的最小值为π12.
答案:π12
15.(2015广西梧州一模,文15,三角函数的图象与变换,填空题)函数f(x)=cos(2x+φ)|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称,则当函数f(x)在0,π2上取得最小值时,x= .
解析:函数f(x)=cos(2x+φ)|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后得到的函数解析式为
y=cos2x+π6+φ=cos2x+π3+φ,
∵函数图象关于原点对称,
∴可得π3+φ=kπ+π2,k∈Z.
∵|φ|<π2,
∴可解得φ=π6,即f(x)=cos2x+π6.
由x∈0,π2,得2x+π6∈π6,7π6.
∴cos2x+π6∈-1,32,即当2x+π6=π,即x=5π12时,函数f(x)=cos2x+π6在区间0,π2上取最小值为-1.
答案:5π12
4.(2015江西上饶一模,文4,三角函数的图象与变换,选择题)如果两个函数的图象仅经过平移或对称变换后能够重合,则称这样的两个函数为“同胞函数”.现在给出下列函数:①f(x)=sin xcos x;②f(x)=2sin 2x+1;③f(x)=2sin-x+π4;④f(x)=sin x+3cos x.其中是“同胞函数”的有( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
解析:①f(x)=sin xcos x=12sin 2x.
②f(x)=2sin 2x+1.
③f(x)=2sin-x+π4.
④f(x)=sin x+3cos x=2sinx+π3.
只有③④的振幅相同,不需要伸缩变换,且由三角函数的性质知,③④只需平移变换即可.
答案:D
5.(2015山西太原五中二模,文5,三角函数的图象与变换,选择题)将函数f(x)=sin(2x+θ)-π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>1)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P0,32,则φ的值可以是( )
A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π6
解析:函数f(x)=sin(2x+θ)-π2<θ<π2向右平移φ个单位,得到g(x)=sin(2x+θ-2φ),
因为两个函数都经过P0,32,
所以sin θ=32-π2<θ<π2,θ=π3.
所以g(x)=sin2x+π3-2φ,sinπ3-2φ=32,φ>1,
所以π3-2φ=2kπ+π3,φ=-kπ,与选项不符,舍去,π3-2φ=2kπ+2π3,k∈Z,当k=-1时,φ=5π6.
答案:B
4.(2015甘肃兰州一中模拟,文4,三角函数的图象与变换,选择题)要得到函数y=sin 2x的图象,只需将函数y=cos2x-π3的图象( )
A.向右平移π6个单位长度
B.向左平移π6个单位长度
C.向右平移π12个单位长度
D.向左平移π12个单位长度
解析:因为函数y=cos2x-π3=sin2x+π6,
所以可将函数y=cos2x-π3的图象,沿x轴向右平移π12,得到y=sin2x-π12+π6=sin 2x,即函数y=sin 2x的图象.
答案:C
10.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文10,三角函数的图象与变换,选择题)将函数y=cos 2x+1的图象向右平移π4个单位,再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )
A.y=sin 2x B.y=sin 2x+2
C.y=cos 2x D.y=cos2x-π4
解析:把函数y=cos 2x+1的图象向右平移π4个单位,得y=cos 2x-π4+1=cosπ2-2x+1=sin 2x+1,
再向下平移1个单位,得y=sin 2x+1-1=sin 2x.
所以将函数y=cos 2x+1的图象向右平移π4个单位,再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为y=sin 2x.
答案:A
4.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文4,三角函数的图象与变换,选择题)将函数y=sin2x+π6的图象向右平移π6个单位,再纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,所得新图象的函数解析式是( )
A.y=sin 4x B.y=sin x
C.y=sin4x-π6 D.y=sinx-π6
解析:将函数y=sin2x+π6的图象向右平移π6个单位,可得y=sin2x-π3+π6=sin2x-π6,
再纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到y=sinx-π6.
答案:D
7.(2015吉林实验中学六模,文7,三角函数的图象与变换,选择题)将函数y=f(x)的图象向右平移π2个单位得到函数y=cos 2x的图象,再将函数y=f(x)的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=( )
A.-sin 4x B.cos 4x C.sin x D.-cos x
解析:由题意可得,把函数y=cos 2x的图象向左平移π2个单位得到函数f(x)=cos 2x+π2=-cos 2x的图象.
再将函数y=f(x)=-cos 2x的图象的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,
得到函数y=g(x)=-cos x的图象.
答案:D
3.(2015甘肃河西五地二模,文3,三角函数的图象与变换,选择题)函数y=sin(π-x)-1的图象( )
A.关于x=π2对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于x=π对称
解析:由于函数y=sin(π-x)-1=sin x-1,当x=π2时,函数取得最大值,
故函数的图象关于直线x=π2对称.
答案:A
10.(2015甘肃兰州二诊,文10,三角函数的图象与变换,选择题)定义运算:a1 a2a3 a4=a1a4-a2a3,若将函数f(x)=3 sinx1 cosx的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A.5π6 B.π8 C.π3 D.2π3
解析:将函数f(x)=3 sinx1 cosx=3cos x-sin x=2cosx+π6的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,
所得图象对应的函数的解析式为
y=2cosx+m+π6.
再根据所得图象关于y轴对称,可得m+π6=kπ,
即m=kπ-π6,k∈Z,
则m的最小值是5π6.
答案:A
11.(2015甘肃庆阳一诊,文11,三角函数的图象与变换,选择题)已知函数f(x)=12sin 2xsin φ+cos2xcos φ-12sinπ2+φ(0<φ<π),将函数f(x)的图象向左平移π12个单位后得到函数g(x)的图象,且gπ4=12,则φ=( )
A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3
解析:∵f(x)=12sin 2xsin φ+cos φcos2x-12
=12sin 2xsin φ+12cos φcos 2x
=12cos(2x-φ),
∴g(x)=12cos2x+π6-φ.
∵gπ4=12,∴2×π4+π6-φ=2kπ,k∈Z,
即φ=2π3-2kπ,k∈Z.
∵0<φ<π,∴φ=2π3.
答案:D
4.(2015甘肃张掖一模,文4,三角函数的图象与变换,选择题)为了得到函数y=cos(2x+1)的图象,只需将函数y=cos 2x的图象上所有的点( )
A.向左平移12个单位长度
B.向右平移12个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向右平移1个单位长度
解析:∵y=cos(2x+1)=cos 2x+12,∴将函数y=cos 2x的图象上所有的点向左平移12个单位长度,
可得函数y=cos(2x+1)的图象.
答案:A
54
函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用
1.(2015山西太原一模,文6,函数y=sin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=π4对称
B.关于直线x=π8对称
C.关于点π4,0对称
D.关于点π8,0对称
解析:由函数f(x)=sinωx+π4,ω>0的最小正周期为π,可得2πω=π,
求得ω=2,f(x)=sin2x+π4.
由于当x=π8时,函数f(x)取得最大值为1,故函数f(x)的图象关于直线x=π8对称.
答案:B
2.(2015江西赣州一模,文11,函数y=
Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)如图是函数f(x)=Asin(2x+φ)A>0,|φ|≤π2图象的一部分,对不同的x1,x2∈[a,b],若f(x1)=f(x2),有f(x1+x2)=3,则φ的值为( )
A.π12 B.π6
C.π4 D.π3
解析:根据函数f(x)=Asin(2x+φ)A>0,|φ|≤π2图象的一部分,可得A=2,周期为2π2=π,所以b-a=π2.
由f(x1)=f(x2),可得函数的图象关于直线x=x1+x22=a+b2对称,故a+b=x1+x2.
由五点法作图可得2a+φ=0,2b+φ=π,
所以a+b=π2-φ.
结合f(a+b)=fπ2-φ=2sin(π-2φ+φ)=2sin φ=f(x1+x2)=3,
可得sin φ=32,所以φ=π3.
答案:D
3.(2015甘肃张掖4月模拟,文10,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)把函数y=sinx+π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再将图象向右平移π3个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A.x=-π2 B.x=-π4
C.x=π8 D.x=π4
解析:y=sinx+π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到函数y=sin2x+π6.
再将图象向右平移π3个单位,得函数y=sin2x-π3+π6=sin2x-π2,根据对称轴处一定取得最大值或最小值,可知x=-π2是其图象的一条对称轴方程.
答案:A
4.(2015贵州贵阳二模,文4,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)函数f(x)=sinx-π3的图象的一条对称轴方程为( )
A.π3 B.-π3 C.π2 D.5π6
解析:对于函数f(x)=sinx-π3,令x-π3=kπ+π2,k∈Z,求得x=kπ+5π6,k∈Z,
即函数f(x)=sinx-π3的图象的对称轴方程为x=kπ+5π6,k∈Z,
当k=0时,对称轴方程为x=5π6.
答案:D
5.(2015黑龙江大庆一模,文5,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)将函数y=sin x的图象上所有点向右平行移动π10个单位长度,再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
A.y=sin2x-π10
B.y=sin2x-π5
C.y=sinx2-π20
D.y=sinx2-π10
解析:将函数y=sin x的图象上所有点向右平行移动π10个单位长度,可得函数y=sinx-π10的图象.
再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式y=sin12x-π10.
答案:D
9.(2015江西重点中学协作体二模,文9,函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质的应用,选择题)已知函数①y=sin x+cos x,②y=22sin xcos x,则下列结论正确的是( )
A.两个函数的图象均关于点-π4,0成中心对称
B.两个函数的图象均关于直线x=-π4对称
C.两个函数在区间-π4,π4上都是单调递增函数
D.可以将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数①的图象
解析:∵函数①y=sin x+cos x=2sinx+π4,②y=22sin xcos x=2sin 2x,
由于①的图象关于点-π4,0成中心对称,②的图象不关于点-π4,0成中心对称,故A不正确.
由于函数①的图象不可能关于直线x=-π4成轴对称,故B不正确.
由于这两个函数在区间-π4,π4上都是单调递增函数,故C正确.
由于将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数y=2sin 2x+π4,
而y=2sin 2x+π4≠2sinx+π4,故D不正确.
答案:C
3.(2015江西红色六校二模,文3,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4
解析:因为直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,
所以T=2×5π4-π4=2π.
所以ω=1,并且sinπ4+φ与sin5π4+φ分别是最大值与最小值,0<φ<π.
所以φ=π4.
答案:A
11.(2015山西四校联考三模,文11,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则y=fx+π6取得最小值时x的集合为( )
A.xx=kπ-π6,k∈Z
B.xx=kπ-π3,k∈Z
C.xx=2kπ-π6,k∈Z
D.xx=2kπ-π3,k∈Z
解析:由图可知,T4=7π12-π3=π4,则T=π,
所以ω=2ππ=2.
由五点作图的第二点知,2×π3+φ=π2,
所以φ=-π6.
所以f(x)=sin2x-π6,
则y=fx+π6=sin2x+π6-π6
=sin2x+π6.
由2x+π6=-π2+2kπ,
得x=kπ-π3,k∈Z.
所以y=fx+π6取得最小值时x的集合为xx=kπ-π3,k∈Z.
答案:B
5.(2015江西三县部分高中一模,文5,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是( )
A.f(x)=2sin2x+π3
B.f(x)=2sinx+π3
C.f(x)=2sin2x+π6
D.f(x)=2sinx+π6
解析:由图象知函数的最大值为2,即A=2,
函数的周期T=47π6-2π3=2π=2πω,
解得ω=1,即f(x)=2sin(x+φ),
由五点对应法知2π3+φ=π,解得φ=π3,
故f(x)=2sinx+π3.
答案:B
12.(2015黑龙江绥化一模,文12,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)若函数f(x)=-sin2ωx-6sin ωxcos ωx+3cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π,若对任意x∈R都有f(x)-1≤|f(α)-1|,则tan α的值为( )
A.32 B.23 C.-32 D.-23
解析:f(x)=-sin2ωx-6sin ωxcos ωx+3cos2ωx
=-(sin2ωx+cos2ωx)-6sin ωxcos ωx+4cos2ωx
=-1-3sin 2ωx+4×1+cos2ωx2
=2cos 2ωx-3sin 2ωx+1
=13213cos2ωx-313sin2ωx+1,
设cos θ=213,sin θ=313,则tan θ=32,
则函数f(x)=13cos(2ωx+θ)+1,θ为参数,
则函数的周期T=2π2ω=2π,则ω=12,
即f(x)=2cos x-3sin x+1=13cos(x+θ)+1,
若对任意x∈R都有f(x)-1≤|f(α)-1|,
则f(α)为函数f(x)的最值,
即α+θ=kπ,则α=-θ+kπ,
则tan α=tan(-θ+kπ)=-tan θ=-32.
答案:C
4.4两角和与差的正弦、余弦与正切公式
56
含条件的求值、求角问题
17.(2015江西新余二模,文17,含条件的求值、求角问题,解答题)已知两直线l1:xcos α+12y-1=0;l2:y=xsinα+π6,在△ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,a=23,c=4,且当α=A时,两直线恰好相互垂直.
(1)求A值;
(2)求b和△ABC的面积.
解:(1)当α=A时,直线l1:xcos α+12y-1=0,l2:y=xsinα+π6的斜率分别为:k1=-2cos A,k2=sinA+π6,两直线相互垂直.
所以k1k2=-2cos AsinA+π6=-1,
即cos AsinA+π6=12.
可得cos AsinAcosπ6+cosAsinπ6=12.
所以32sin Acos A+12cos2A=12.
所以34sin 2A+121+cos2A2=12,
即32sin 2A+1+cos2A2=1,
即sin2A+π6=12.
因为00,C>0,得0b=22,
根据三角形中大边对大角可得00),且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为π,求f(A)的取值范围.
解:(1)由于a2+b2=6abcos C,
由余弦定理知a2+b2=c2+2abcos C,
即cos C=c24ab,
又sin2C=2sin Asin B,则由正弦定理得c2=2ab,
所以cos C=c24ab=2ab4ab=12,
因为C∈(0,π),所以C=π3.
(2)f(x)=sin ωx-3cos ωx=2sinωx-π3,
由f(x)图象上相邻两最高点间的距离为π,
即由T=2πω=π,得ω=2,
则f(A)=2sin2A-π3,
由于C=π3,且sin2C=2sin Asin B,
所以2sin Asin2π3-A=34,
整理得sin2A-π6=14.
因为00,∴b=4.
17.(2015江西上饶三模,文17,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题)已知函数f(x)=cos x·sinπ6-x.
(1)求f(x)的单调减区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=-14,a=2,且△ABC的面积为23,求边长c的值.
解:f(x)=cos xsinπ6cosx-sinxcosπ6
=12cos2x-34sin 2x=1+cos2x4-34sin 2x
=12cos2x+π3+14,
(1)由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π,k∈Z,
解得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,
即f(x)的单调减区间为kπ-π6,kπ+π3,k∈Z.
(2)f(C)=12cos2C+π3+14=-14,
所以cos2C+π3=-1.所以C=π3.
因为S△ABC=12absin C=34ab=23,所以ab=8.
又a=2,所以b=4.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12,
所以c=23.
17.(2015广西梧州一模,文17,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题)在△ABC中,∠ACB为钝角,AB=2,BC=2,A=π6,D为AC延长线上一点,且CD=3+1.
(1)求∠BCD的大小;
(2)求BD的长.
解:(1)在△ABC中,AB=2,A=π6,BC=2.
由正弦定理可得ABsin∠ACB=BCsinA,
即2sin∠ACB=212,
所以sin∠ACB=22.
又∠ACB为钝角,所以∠ACB=3π4,
则∠BCD=π4.
(2)在△BCD中,由余弦定理可知BD2=CB2+DC2-2CB·DC·cos∠BCD,
即BD2=2+(3+1)2-2×2×(3+1),
整理得BD=2.
4.(2015江西重点中学协作体二模,文4,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=23,A=π6,则△ABC的面积为( )
A.23或3 B.23
C.23或43 D.3
解析:由题意知,a=2,b=23,A=π6,
根据正弦定理得asinA=bsinB,
则sin B=bsinAa=23×122=32,
又b>a,则B=π3或2π3.
当B=π3时,C=π-π6-π3=π2,
△ABC的面积S=12×2×23=23.
当B=2π3时,C=π-π6-2π3=π6,
△ABC的面积S=12absin C=12×2×23×12=3.
综上可得,△ABC的面积是23或3.
答案:A
3.(2015江西上饶重点中学二模,文4,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=13,b=3,A=60°,则边c=( )
A.1 B.2 C.4 D.6
解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,
即13=9+c2-3c,整理得c2-3c-4=0,解得c=4.
答案:C
13.(2015江西红色六校二模,文13,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sin B= .
解析:∵C为三角形的内角,cos C=14,
∴sin C=1-142=154.
又a=1,b=2,
∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得c2=1+4-1=4,解得c=2.
又sin C=154,c=2,b=2,
∴由正弦定理bsinB=csinC,得sin B=bsinCc=2×1542=154.
答案:154
17.(2015广西防城港、桂林一模,文17,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题)在如图所示的四边形ABCD中,已知AB⊥AD,∠ABC=120°,∠ACD=60°,AD=27,设∠ACB=θ,C点到AD的距离为h.
(1)求h(用θ表示);
(2)求AB+BC的最大值.
解:(1)由已知得∠ADC=360°-(90°+120°+60°+θ)=90°-θ.
在△ACD中,ADsin∠ACD=ACsin∠ADC,
所以AC=27cosθsin60°=183cos θ.
又∠CAD=30°+θ,且0°<θ<60°,
所以h=AC·sin∠CAD=183cos θsin(30°+θ)(0°<θ<60°).
(2)在△ABC中,AB=ACsinθsin120°=18sin 2θ,
BC=ACsin(60°-θ)sin120°=36cos θsin(60°-θ)
=93+93cos 2θ-9sin 2θ.
所以AB+BC=93+93cos 2θ+9sin 2θ=93+18sin(2θ+60°).
又0°<θ<60°,
所以当θ=15°时,AB+BC取到最大值93+18.
13.(2015江西宜春高安四校一模,文13,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题)在△ABC中,若(a2+c2-b2)·tan B=3·ac,则角B= .
解析:由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac,即a2+c2-b2=2accos B,
代入已知等式得2accos B·tan B=3·ac,
即sin B=32,
又B为三角形内角,所以B=60°或120°.
答案:60°或120°
17.(2015山西四校联考三模,文17,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若4sin Asin B-4cos2A-B2=2-2.
(1)求角C的大小;
(2)已知asinBsinA=4,△ABC的面积为8.求边长c的值.
解:(1)由条件得4sin Asin B=22cos2A-B2-1+2,
即4sin Asin B=2cos(A-B)+2=2(cos Acos B+sin Asin B)+2,
化简得cos(A+B)=-22,
∵0x,2+x>3,
所以x的取值范围是(1,5)∪(13,5).
答案:D
7.(2015甘肃兰州一中三模,文7,判断三角形的形状,选择题)已知△ABC是非等腰三角形,设P(cos A,sin A),Q(cos B,sin B),R(cos C,sin C),则△PQR的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不确定
解析:易知这三个点都在单位圆上,而且都在第一、二象限,
由平面几何知识可知,这样的三个点构成的必然是钝角三角形.
答案:B
63
测量距离、高度及角度问题
15.(2015江西重点中学协作体一模,文15,测量距离、高度及角度问题,填空题)如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为60°,在塔底C处测得A处的俯角为45°,已知铁塔BC部分的高为123米,山高CD= 米.
解析:设AD=x,
则CD=AD·tan 45°=AD=x,
BD=AD·tan 60°=3x,
所以BC=(3-1)x=123.
所以x=1233-1=18+63(米).
答案:18+63
15.(2015江西赣州兴国一模,文15,测量距离、高度及角度问题,填空题)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,则塔高AB= .
解析:在△BCD中,∠CBD=180°-α-β,
由正弦定理得BC=CDsin∠BDCsin∠CBD=s·sinβsin(α+β).
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=s·sinβtanθsin(α+β).
答案:s·sinβtanθsin(α+β)
64
与平面向量、不等式等综合的三角形问题
1.(2015吉林省实验中学二模,文20,与平面向量、不等式等综合的三角形问题,解答题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=(cos A,3sin A),n=(2cos A,-2cos A),m·n=-1.
(1)若a=23,c=2,求△ABC的面积;
(2)求b-2cacos(60°+C)的值.
解:(1)∵m=(cos A,3sin A),n=(2cos A,-2cos A),m·n=-1.
∴2cos2A-23sin Acos A=cos 2A-3sin 2A+1=-1,即-232sin2A-12cos2A=-2,
∴sin2A-π6=1.
∵A为三角形内角,∴2A-π6=π2,即A=π3.
∵a=23,c=2,∴由正弦定理asinA=csinC,
得sin C=csinAa=2×3223=12,
∵C为三角形内角,∴C=π6.∴B=π2.
故S△ABC=12×2×23=23.
(2)∵asinA=bsinB=csinC=2R,
即a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,
∴原式=sinB-2sinCsinAcos(60°+C)=sinB-2sinC32cos(60°+C)
=sin(120°-C)-2sinC32cos(60°+C)
=32cosC+12sinC-2sinC32cos(60°+C)=3cos(60°+C)32cos(60°+C)=2.
17.(2015贵州贵阳一模,文17,与平面向量、不等式等综合的三角形问题,解答题)若向量a=(3sin ωx,cos ωx),b=(cos ωx,cos ωx),ω>0,x∈R,f(x)=a·b-12,且f(x)的周期是π,设△ABC三个角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)求ω的值;
(2)若c=7,f(C)=12,sin B=3sin A,求a,b的值.
解:(1)f(x)=a·b-12=3sin ωxcos ωx+cos2ωx-12
=32sin 2ωx+12cos 2ωx
=sin2ωx+π6
由T=2π2ω=πω=π,解得ω=1.
(2)∵f(C)=sin2C+π6=12,
∴2C+π6=π6(舍去)或2C+π6=5π6.∴C=π3.
又c=7,
∴由余弦定理可得7=a2+b2-2abcosπ3.
即a2+b2-ab=7.①
∵sin B=3sin A,∴由正弦定理可得b=3a.②
由①②即可解得a=1,b=3.
