【数学】云南省玉溪市普通高中2021届高三上学期第一次教学质量检测(12月)试题(理)

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【数学】云南省玉溪市普通高中2021届高三上学期第一次教学质量检测(12月)试题(理)

云南省玉溪市普通高中 2021 届高三上学期第一次教学质量 检测(12 月)数学试题(理) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合  2{ | 1}, | 0     A x x B x x x ,则  A B ( ) A. ( 1,1) B.[ 1,1) C. (0,1) D.[0,1) 2.设 2 i 1 iz   ,则在复平面内 z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知 3 1cos 2 5        ,则 cos2  ( ) A. 23 25 B. 23 25  C. 24 25 D. 24 25  4.在一个文艺比赛中,12 名专业人士和 12 名观众代表各组成一个评判小组,给参赛选手 打分.根据两个评判小组对同一名选手的打分绘制了下面的折线图. 根据以上折线图,下列结论错误的是( ) A.A 小组打分分值的最高分为 55 分,最低分为 42 分 B.A 小组打分分值的标准差小于 B 小组打分分值的标准差 C.B 小组打分分值的中位数为 56.5 D.B 小组更像是由专业人士组成的 5.已知向量  a,  b的夹角为 120°,| | 2 | | 2   a b ,则| 2 3 |   a b ( ) A. 13 B. 37 C.7 D.13 6.数列 na 中,若 1 1 12,  n na a a a ,则 2 4 6 8 10    a a a a a ( ) A.61 B.62 C.63 D.64 7.曲线 2( 3)  xy ax e 在点 (0,3) 处的切线的斜率为 4 ,则 a ( ) A.2 B. 3 C. 7 D. 10 8.设 1 2,F F 分别为双曲线 C: 2 2 2 2 1( 0, 0)   x y a ba b 的左、右焦点,双曲线 C 上存在点 P,使得 21 5   PF PF b, 21 9 8    PF PF ab ,则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 5 2 D. 6 2 9 . 已 知 函 数 ( ) 3sin( ) 0,| | 2f x x           的 部 分 图 象 如 图 所 示 , 若 5 13 24 24           f f  ,则函数的单调递增区间为( ) A. 3, ( )8 8k k k         Z B. 32 ,2 ( )8 8k k k         Z C. 3 7, ( )8 8k k k         Z D. 3 72 ,2 ( )8 8k k k         Z 10.已知直线 l: 1 y kx 与圆 O: 2 2 1 x y 相交于 M,N 两点,且MON 的面积 3 4 S , 则 k ( ) A. 3 3  B. 3 C. 3 3 或 3 D. 3 3  或 3 11.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 3,E,F,G 分别为棱 1AA , AB , 1CC 上的 点,其中 1AE , 2AF , 3 2 CG ,平面 经过点 E,F,G,则 截此正方体所得的 截面为( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 12.已知 99 1001 101, , ln101 100    a b e c ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.  a b c B.  a c b C.  c a b D.  b a c 二、填空题:本题共 4 小题,每小題 5 分,共 20 分. 13.已知实数 x,y 满足 1 0 3 1 0 3          x y x y x ,则 2 z x y 的最小值是________. 14.公元前 6 世纪,古希腊毕达哥拉斯学派已经知道五种正多面体,即正四面体、正六面体、 正八面体、正十二面体、正二十面体.后来,柏拉图学派的泰阿泰德(Theaetetus)证明出 正多面体总共只有上述五种.如图就是五种正多面体的图形.现有 5 张分别画有上述五种多 面体的不同卡片(除画有的图形不同外没有差别),若从这 5 张不同的卡片中任取 2 张,则 没有取到画有“正四面体”卡片的概率为____________. 15.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉 三角形”. 此表由若干个数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的 第 一 个 数 构 成 有 穷 数 列  na , 并 且 得 到 递 推 关 系 为 2 1 12 2 , 1   n n na a a . 则 na _________. 16.在三棱锥 P ABC 中, 2  PA PB PC ,ABC 是正三角形,E 为 PC 中点,有 以下四个结论: ①若 PC BE ,则三棱锥 P ABC 的体积为 2 2 3 ; ②若 PC BE ,且三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的体积为 6 ; ③若 PA BE ,则三棱锥 P ABC 的体积为 2 3 3 ; ④若 PA BE ,且三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积为12 . 其中结论正确的序号为____________. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考 题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.(本小题满分 12 分) 如图,在ABC 中, 2AB AC ,BAC 的角平分线交 BC 于点 D. (1)求   ABD ADC S S 的值;(2)若 1, 2 AC BD ,求 AD的长. 18.(本小题满分 12 分) 物理学中常用“伏安法”测量电阻值(单位:欧姆),现用仪器测量某一定值电阻在不同电压 下的电流值测得一组数据  , ( 1,2, ,10) i ix y i ,其中, ix 和 iy 分别表示第 i 次测量数据 的电流(单位:安培)和电压(单位:伏特),计算得 10 1010 2 1 1 1 1 1 0 2.4, 12, 3.196, 0.6432           i i i i i i i i i x y x y x . (1)用最小二乘法求出回归直线方程( b 与 a 精确到 0.01); (2)由“伏安法”可知,直线的斜率是电阻的估计值,请用计算得到的数据说明电阻的估计 值.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1 22 1 ,          n n i i i i i x y nx y b a y bx x nx . 19.(本小题满分 12 分) 如图所示,在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1 2 AB AA ,E,F 分别是 AB , AC 的中点. (1)求证: 1 1∥B C 平面 1A EF ; (2)若点 G 是线段 1 1B C 的中点,求二面角 1  A EF G 的正弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 2 2 2 2 1( 0)   x y a ba b 的离心率 1 2 e ,左、右焦点分别为 1F , 2F ,抛物线 2 8y x 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)记椭圆 C 与 x 轴交于 A,B 两点,M 是直线 1x 上任意一点,直线 MA,MB 与椭圆 C 的另一个交点分别为 D,E.求证:直线 DE 过定点 (4,0)H . 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 2( ) , ( )    xf x e mx g x x m (1)讨论 ( )f x 的单调性; (2)设函数 ( ) ( ) ( ) h x f x g x ,若 ( )h x 在[0, ) 上有且只有一个零点,求 m 的取值范 围. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的 第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 3 cos sin 2 03       ,半圆 C 的极坐标方程为 1( [0, ])    . (1)求直线 l 的直角坐标方程及 C 的参数方程; (2)若直线 l 平行于 l,且与 C 相切于点 D,求点 D 的直角坐标. 23.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知函数 ( ) | | | | ( 0, 0)     f x x a x b a b . (1)若 1 a b ,解不等式 ( ) 2f x ; (2)若 ( )f x 的值域是[2, ) ,且 1 1 2 1    ka b ,求 k 的最大值. 参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A A D A B D C A D C B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 题号 13 14 15 16 答案 2 3 5 2( 1) 2   nn ①②④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(本小题满分 12 分) 解:(1)∵ AD为BAC 的角平分线, ∴   BAD CAD ,即sin sin  BAD CAD . 1 分 ∴ 1 sin2 1 sin2        ABD ADC AB AD BADS S AC AD CAD 2 分  AB AC . 3 分 又∵ 2AB AC , ∴ 2  ABD ADC S S . 5 分 (2)由(1)知 2 AB BD AC CD 且 1, 2 AC BD , ∴ 22, 2  AB CD . 6 分 在ABD 中, 2 2 2 cos 2     AB AD BDBAD AB AD 2 24 2 2 2 2 4      AD AD AD AD . 8 分 在ACD 中, 2 2 2 cos 2     AC AD CDCAD AC AD 2 21 11 2 2 2 1 2       AD AD AD AD . 10 分 ∵   BAD CAD , ∴ cos cos  BAD CAD , ∴ 2 2 1 2 2 4 2   ADAD AD AD , ∴ 1AD . 12 分 18.(本小题满分 12 分) 解:(1) 10 1 0.2410    i i x x , 1 分 10 1 1.210    i i y y , 2 分 1 22 1 ˆ        n i i i n i i x y nx y b x nx 2 3.196 10 0.24 1.2 0.6432 10 0.24      4 分 0.316 0.0672  4.70 , 6 分  1.2 4.70 0.24 0.072 0.07    a . 8 分 所以,回归直线方程为  4.70 0.07 y x . 10 分 (2)由“伏安法”可知,直线的斜率是电阻的估计值,所以电阻的估计值为 4.70 欧姆.12 分 19.(1)证明:在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1 1//BC B C . 1 分 ∵E,F 分别是 AB , AC 的中点, ∴ EF 是ABC 的中位线,∴ //EF BC . 2 分 又∵ 1 1//BC B C ,∴ 1 1//EF B C . 3 分 又 1 1 B C 平面 1A EF , EF 平面 1A EF , ∴ 1 1 //B C 平面 1A EF . 5 分 (2)解:向量法: 在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 取 1 1AC 的中点 H,连接 FH ,则 1//FH CC . 在正ABC 中,连接 FB ,则 FB AC . 又因为 1 2 AB AA , 所以 3, 1 FB FC . 如图,以 F 为原点建立空间直角坐标系 F xyz . 7 分 1 3 1 3 1(0, 1,2), , ,0 , (0,0,0), , ,22 2 2 2             A E F G 1 1 3 1 3 1, , 2 , (0,1, 2), (0, 1, 2), , , 22 2 2 2                          A E A F GE GF . 设 ( , , ) m x y z 为平面 1A EF 的一个法向量, 则 1 1 3 1 2 02 2 2 0                m A E x y z m A F y z . ∴ 2 3 ,2,13        m . (9 分) 同理可求,平面GEF 的一个法向量为∴ 2 3 ,2, 13        n . 10 分 设二面角 1  A EF G 的平面角为 , ∴ 4 4 1 133cos 1919 19 3 3       , 11 分 所以二面角 1  A EF G 的正弦值为 8 3 19 . 12 分 几何法: 在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 取 BC 中点 D,连接 AD,且  AD EF O , 连接 1AO ,GO 6 分 则 AD BC ,又 1 AA BC , 1  AA AD A , ∴ BC 平面 1AOG . 7 分 由(1)知: //EF BC , ∴ EF 平面 1AOG . 8 分 ∴ 1AOG 即为二面角 1  A EF G 的平面角,记为 . 9 分 连接 1AG , 1AOG 中, 1 3 194 4 2   AO , 3 194 4 2   GO , 1 3AG , 由余弦定理得: 19 19 3 134 4cos 1919 192 2 2        . 11 分 所以二面角 1  A EF G 的正弦值为 8 3 19 . 12 分 20.解:(本小题满分 12 分) (1)因为椭圆 C 的离心率 1 2 e ,所以 1 2 c a ,即 2a c . 1 分 因为抛物线 2 8y x 的焦点 (2,0)F 恰好是该椭圆的一个顶点, 2 分 所以 2a ,所以 1, 3 c b . 3 分 所以椭圆 C 的方程为 2 2 14 3  x y . 4 分 (2)由(1)可得 ( 2,0)A , (2,0)B ,设点 M 的坐标为 (1, )m , 直线 MA的方程为: ( 2)3  my x . 将 ( 2)3  my x 与 2 2 14 3  x y 联立消去 y 整理 得:  2 2 2 24 27 16 16 108 0    m x m x m . 5 分 设点 D 的坐标为  ,D Dx y ,则 2 2 16 1082 4 27   D mx m , 6 分 故 2 2 54 8 4 27  D mx m ,则   2 3623 4 27    D D m my x m . 7 分 直线 MB 的方程为: ( 2)  y m x , 将 ( 2)  y m x 与 2 2 14 3  x y 联立消去 y 整理得:  2 2 2 24 3 16 16 12 0    m x m x m . 8 分 设点 E 的坐标为  ,E Ex y ,则 2 2 16 122 4 3  E mx m , 9 分 故 2 2 8 6 4 3  E mx m ,则   2 122 4 3     E E my m x m . 10wv 直线 HD 的斜率为  1 22 2 36 6 4 4 954 8 4 4 27        D D y m mk x mm m , 直线 HE 的斜率为  2 22 2 12 6 4 4 98 6 4 4 3        E E y m mk x mm m . 11 分 因为 1 2k k ,所以直线 DE 经过定点 H. 12 分 21.(本小题满分 12 分) 解:(1) ( )  xf x e m 1 分 ①若 0m ,则 ( ) 0 f x ,∴ ( )f x 在 R 上单调递增. 2 分 ②若 0m ,令 ( ) 0 f x ,则 lnx m , 3 分 当 ( ,ln ) x m 时, ( ) 0 f x ;当 (ln , ) x m 时, ( ) 0 f x , ∴ ( )f x 在 ( ,ln ) m 上单调递减,在 (ln , )m 上单调递增. 综上,当 0m 时, ( )f x 在 R 上单调递增;当 0m 时, ( )f x 在 ( ,ln ) m 上单调递减, 在 (ln , )m 上单调递增. 4 分 (2)由题意知: 2( )    xh x e mx x m ,则 ( ) 2   xh x e x m , 5 分 易知 ( )h x 在(0, ) 上单调递增,且 (0) 1 h m . ①若 1m ,则 ( ) 0 h x ,∴ ( )h x 在 (0, ) 上单调递增, ∵ ( )h x 在[0, ) 上有且只有一个零点, (0) 1 , (1) 1 0    h m h e , ∴ (0) 1 0  h m ,即 1 m . ∴当 1 m 时, ( )h x 在[0, ) 上有且只有一个零点. 7 分 ②若 1m ,则 (0) 1 0, (ln ) 2ln 0     h m h m m , ∴存在 0 (0,ln )x m ,使  0 0 h x ,即 0 02 xe x m , 8 分 ∴当  00,x x 时, ( ) 0 h x ;当  0, x x 时, ( ) 0 h x . ∴ ( )h x 在  00, x 上单调递减,在  0,x 上单调递增, 又 (0) 1 0  h m , ( ) 0  mh m e m , ( )h x 在[0, ) 上有且只有一个零点, ∴  0 0h x ,即 0 2 0 0 0   xe mx x m . 把 0 02 xm e x 代入上式可知:  0 0 02 0  xx e x ,∴ 0 2x , 10 分 从而 2 4 m e . 11 分 综上,当 1 m 或 2 4 m e 时, ( )h x 在[0, ) 上有且只有一个零点. 12 分 22.(本小题满分 10 分) 解:(1)直线 l 的普通方程为 3 2 03   x y ; 2 分 C 的普通方程为 2 2 1(0 1)   x y y . 可得 C 的参数方程为 cos sin    x t y t (t 为参数, 0  t  ). 5 分 (2)由点 D 在曲线 C 上可设 (cos ,sin )D t t , 6 分 由题意可知曲线 C 在点 D 处的切线斜率为 3 3  , 7 分 tan 3, 3  t t  . 8 分 故 D 的直角坐标为 cos ,sin3 3       ,即 1 3,2 2       . 10 分 23.(本小题满分 10 分) 解:(1)∵ 1a , 1b , ∴ 2 , 1 ( ) | 1| | 1| 2, 1 1 2 , 1             x x f x x x x x x 2 分 当 1x 时, ( ) 2f x 化为 1x ,不等式的解为 1x ; 当 1 1  x 时, ( ) 2f x ,不等式的解为  ; 当 1 x 时, ( ) 2f x 化为 2 2 1    x x ,所以不等式的解为 1 x . 4 分 综上所述,不等式的解集为{ | 1 1}  或x x x . 5 分 (2)∵ ( ) | | | | |( ) ( ) | | |         f x x a x b x a x b a b , 6 分 当且仅当 ( )( ) 0  x a x b 时取“=”号. 又 ( )f x 的值域是[2, ) , 所以| | 2 a b ,∵ 0, 0 a b . ∴ 2 2 1 5      a b a b . 7 分 ∵ 1 1 2 1 2 1( 2 1) 2 2 2 42 1 1 2 1 2                              a b a ba b a b b a b a (当且仅当 1 2 2 1    b a a b ,即 0.5, 1.5 a b 时取“=”号), ∴ 1 1 4 2 1 5   a b ,当且仅当 0.5, 1.5 a b 时取“=”号. 9 分 又∵ 1 1 2 1    ka b 恒成立,∴ 4 5 k , 故 k 的最大值是 4 5 . 10 分
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