2017-2018学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（普通班）下学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（普通班）下学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（普通班）下学期第三次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．12月26号合肥地铁一号线正式运营，从此开创了合肥地铁新时代，合肥人民有了自己开往春天的地铁．设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t分钟后的距离为(单位：米)，则列车运行10分钟的平均速度为(　　)‎ A． 10米/秒 B． 8米/秒 C． 4米/秒 D． 0米/秒 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用公式代入求解平均速度 ‎【详解】‎ 设列车从开始运行到分钟时，列车的位移增加了 则列车运行分钟的平均速度为米/秒 故选 ‎【点睛】‎ 为求平均速度，运用公式代入求解即可得到结果，较为基础 ‎2．质点运动规律，则在时间中，质点的平均速度等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】平均速度为，故选A.‎ ‎3．一物体作直线运动，其位移与时间的关系是，则物体的初速度为(　　)‎ A． 0 B． 3 C． －2 D． 3－2t ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，令即可得到结论 ‎【详解】‎ 位移与时间的关系是，‎ 则 故物体的初速度为 故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道关于导数应用的题目，解答本题的关键在于位移与初速度的转化关系，物体的速度为位移关于时间的导数，不要误以为初速度是当时是的值。‎ ‎4．曲线在点处切线的斜率等于(　　)‎ A． B． C． 2 D． 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率 ‎【详解】‎ ‎，‎ 当时，‎ 即曲线在点处切线的斜率 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的计算以及导数的几何意义，属于基础题。‎ ‎5．设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是(　　)‎ A． B． C． [，] D． [，]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，求出倾斜角的取值范围 ‎【详解】‎ 或 则角的取值范围为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义，求导后解得直线的倾斜角与斜率，属于基础题。‎ ‎6．如图，函数的图象在P点处的切线方程是,若点的横坐标是5，则 (　　)‎ A． B． 1 C． 2 D． 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：函数的图象在点P处的切线方程是，所以，在P处的导数值为切线的斜率， 2，故选C。‎ ‎【考点】本题主要考查导数的几何意义。‎ 点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。‎ ‎7．下列式子不正确的是(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项逐一求导验证即可得到答案 ‎【详解】‎ ‎，故正确 ‎，故正确 ‎，故正确 ‎，故错误 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本初等函数的求导公式和导数的运算法则及其应用，属于基础题。‎ ‎8．设函数是定义在上的函数，其中的导函数满足对于恒成立，则(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的导数为，可得函数是定义在上的减函数，则有，推出，同理可得，从而得到答案 ‎【详解】‎ 故函数是定义在上的减函数 ‎，‎ 即，‎ 同理可得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数在研究函数中的意义，求导后判定原函数的单调性然后比较大小，需要注意导数的运用，还是较为基础。‎ ‎9．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示.‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ 当时，函数的零点的个数为(　　)‎ A． 2 B． 3 C． 4 D． 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数图象，画出原函数的草图，利用，即可得到函数的零点的个数 ‎【详解】‎ ‎，‎ 则函数的零点的个数为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导函数和原函数的单调性之间的关系，二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增，导函数为负，原函数递减，从而得到原函数图像，继而判定交点个数。‎ ‎10．设函数，则 (　　)‎ A． 在区间内均有零点 B． 在区间内均无零点 C． 在区间内有零点，在区间内无零点 D． 在区间内无零点，在区间内有零点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后判定单调性，然后判断其零点问题 ‎【详解】‎ 的定义域为，在单调递减，单调递增 当在区间上时，在其上单调，，，故在区间上无零点 当在区间上时，在其上单调，，，故在区间上有零点 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的应用，结合函数的单调性利用零点存在定理来判断含有有无零点问题，较为基础 ‎11．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为(　　)‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导函数，根据函数既有极大值又有极小值，可得 有两个不等的实数根，从而可以求得实数的取值范围 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数既有极大值又有极小值，‎ 有两个不等的实数根，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则或 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数知识的运用，考查了函数的极值，还考查了解不等式，属于基础题。‎ ‎12．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入与年产量间的关系,则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)‎ A． 150 B． 200 C． 250 D． 300‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出总成本为，然后求出总利润的函数式，对总利润的函数式求导，利用导数的大小判断出函数的增减性，进而可得函数的最值，即可确定出答案 ‎【详解】‎ 由题意可得总成本为，‎ 设总利润为元，则 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，‎ 故在是增函数，在上是减函数 则当时，总利润最大 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的应用，解题的关键是利用导数的大小判断出函数的增减性，求出函数的极值和最值，属于中档题。‎ 二、填空题 ‎13．若函数满足，则等于________．‎ ‎【答案】-12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，再利用条件求得结果 ‎【详解】‎ ‎，‎ 则 故答案为 ‎【点睛】‎ 这是一道考查导数知识的题目，掌握导数的定义是解题的关键，属于基础题。‎ ‎14．在点处的切线斜率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率即可 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 在点处的切线斜率是 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题。‎ ‎15．已知在点处的切线与曲线相切,则_________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，然后求得切线的斜率，可得切线方程，再由切线与曲线相切，有且只有一个切点，联立切线与曲线方程，根据可求得结果 ‎【详解】‎ ‎，‎ 曲线在处的切线斜率为 则在处的切线方程为，即 切线与曲线相切，‎ 可以联立 得到 ‎，两线相切有一个切点 解得 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，只要按照题意进行解答即可得到结果，较为基础 ‎16．已知函数,若在处取得极值，直线与 的图象有三个不同的交点，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数在处取得极值，先求出，要使直线与的图象有三个不同的交点，则说明小于极大值，大于极小值 ‎【详解】‎ 函数 ‎，‎ 函数在处取得极值，‎ 则，即，解得 当时，得或，‎ 当时，‎ 即函数在处取得极大值，在处取得极小值，‎ 要使直线与的图象有三个不同的交点，则小于极大值，大于极小值 即 的取值范围是 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，求导后得到原函数的单调性，继而判定出原函数图像，结合图像得到结果，较为基础 三、解答题 ‎17．求由直线和曲线围成的图形面积．‎ ‎【答案】三分之四 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用定积分的定义求出结果 ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点是利用定积分求图形面积，考查了数形结合的思想。‎ ‎18．已知函数.‎ ‎(1)是否存在，使的单调减区间是；‎ ‎(2)若在上是增函数，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)存在；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过求导且令即，然后求出答案 通过函数在上是增函数，可知在上恒成立，进而计算即可得到结果 ‎【详解】‎ f′(x)＝3x2－a.‎ ‎(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，‎ ‎∴－10，解得x<－1或x>2.‎ ‎∴f(x)的减区间为(－1,2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．‎ ‎(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．‎ ‎∴x∈[－2,3]时，f(x)的最大值即为f(－1)与f(3)中的较大者．‎ f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.‎ ‎∴当x＝－1时，f(x)取得最大值．‎ 要使f(x)＋cf(－1)＋c，‎ 即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>.‎ ‎∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(，＋∞)．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及对不等式证明方法的掌握，属于中档题。‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(1)若求函数的极值，并指出极大值还是极小值；‎ ‎(2)若求函数在上的最值；‎ ‎(3)若求证：在区间上，函数的图象在的图象下方．‎ ‎【答案】(1) 极小值；(2)；(3)证明解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入，从而化简并求出其定义域，再求导判断函数的单调性及极值即可 代入，从而化简并求出其定义域，再求导判断函数的单调性及求函数的最值 代入，函数的图象在图象的下方，可以转化为在 上恒成立，令，利用导数求出的最小值，只要最小值大于，即可证明 ‎【详解】‎ ‎(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝x－＝.‎ 故f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，‎ 故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝.‎ ‎(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋>0；‎ 故f(x)在[1，e]上是增函数，‎ 故f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1.‎ ‎(3)令F(x)＝g(x)－f(x)＝x3－x2－lnx，‎ 则F′(x)＝2x2－x－＝，‎ ‎∵x∈[1，＋∞)，‎ ‎∴F′(x)＝≥0，‎ ‎∴F(x)在[1，＋∞)上是增函数，‎ 故F(x)≥F(1)＝－＝>0，‎ 故在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在g(x)＝x3的图象下方．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的图象和函数的性质的关系以及恒成立问题，考查了转化能力，属于中档题。‎ ‎22．已知函数曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：当且时，.‎ ‎【答案】（1）1，1；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出的值 将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，从而得证。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，.‎ ‎（2）由（1）知f(x)=所以 考虑函数 则h′(x)=‎ 所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0,‎ 故x时h(x)>0可得,‎ x h(x)<0可得,‎ 从而当，且时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导函数的几何意义，在切点处的导数值为切线的斜率，考查了通过判断导函数的符号判断出函数的单调性，通过求函数的最值证明不等式的恒成立，属于中档题。‎