四川省射洪中学校2020届高三上学期月考数学（理）

四川省射洪中学校2020届高三上学期月考数学（理）

理科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1.设集合，则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于 ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3.函数的大致图像为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.双曲线的一条渐近线方程为，则该双 曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D. 2‎ ‎6.若执行下边的程序框图，输出的值为5，则判断框中应填入的条件是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知偶函数在上单调递增，则对实数，“‎ ‎”是“”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎8.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 （注：若，则，）‎ A. 7539 B. ‎7028 ‎C. 6587 D. 6038‎ ‎9.平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，…，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为 ‎ A. 16 B. ‎20 ‎C. 21 D. 22‎ ‎10.设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知等差数列，，其前项和为，，则= ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.定义域为的函数图像的两个端点为、，向量，是图像上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小正实数称为该函数的线性近似阈值.若函数定义在上，则该函数的线性近似阈值是 ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.已知实数满足不等式组的最大值为___________．‎ ‎14.的展开式中常数项是 .（用数字作答）‎ ‎15.已知是抛物线：的焦点，点，点是上任意一点，当点在时，取得最大值，当点在时，取得最小值.则__________．‎ ‎16.如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：‎ ‎①AD∥平面SBC；②；‎ ‎③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；④与平面SCD所成的角为45°．‎ 其中正确结论的序号是__________．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.（本大题满分12分）‎ 在中，角，，所对的边分别是，，，且.‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，求.‎ ‎18.（本大题满分12分）‎ ‎2018年12月28日‎，成雅铁路开通运营，使川西多个市县进入动车时代，融入全国高铁网，这对推动沿线经济社会协调健康发展具有重要意义.在试运行期间，铁道部门计划在成都和雅安两城之间开通高速列车，假设每天7:00-8:00，8:00-9:00两个时间段内各发一趟列车由雅安到成都（两车发车情况互不影响），雅安发车时间及其概率如下表所示：‎ 第一趟列车 第二趟列车 发车时间 ‎7:10‎ ‎7:30‎ ‎7:50‎ ‎8:10‎ ‎8:30‎ ‎8: 50‎ 概率 ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.5‎ 若小王、小李二人打算乘动车从雅安到成都游玩，假设他们到达雅安火车站候车的时间分别是周六7:00和7:20（只考虑候车时间，不考虑其它因素）.‎ ‎（Ⅰ）求小王候车10分钟且小李候车30分钟的概率；‎ ‎（Ⅱ）设小李候车所需时间为随机变量，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.（本大题满分12分）‎ 如图，在三棱柱侧面．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．‎ ‎20.（本大题满分12分）‎ 已知点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线：交曲线于，两点，当点不在、两点时，直线，的斜率分别为，，求证：，之积为定值.‎ ‎21.（本大题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数有三个极值点，，，求证：.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数,倾斜角),曲线C的参数方程为(为参数,)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的极坐标方程;‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线恰有一个公共点，求点的极坐标。‎ ‎23.设函数 ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对一切实数均成立，求的取值范围.‎ 理科数学试题答案 ‎1.A 2.D 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.B 11.A 12.B ‎12.解析：由向量及可得：两点的横坐标相等，将不等式恒成立问题转化成： 时，恒成立，转化成：.，记：，即可求得，问题得解。‎ 作出函数图像，它的图象在上的两端点分别为：,‎ 所以直线的方程为：‎ 设是曲线上的一点，，其中 由，可知三点共线，‎ 所以点的坐标满足直线的方程，‎ 又,,则 所以两点的横坐标相等.‎ 故 函数在上满足“范围线性近似”‎ 所以 时，恒成立.‎ 即：恒成立.‎ 记，整理得：， ‎ ‎，当且仅当时，等号成立。‎ 当时，‎ 所以，所以.‎ 即：‎ 所以该函数的线性近似阈值是： 故选：B ‎13.3 14.15 15. 16.①②④‎ ‎17.（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.‎ 解：（1）由正弦定理得：，‎ 又，，得 ‎.‎ ‎（2）由正弦定理得：，‎ 又由余弦定理：，‎ 代入，可得.‎ ‎18.（1）小王候车10分钟的概率为，小李候车30分钟的概率为.‎ 则小王候车10分钟且小李候车30分钟的概率为.‎ ‎（2）随机变量所有可能取值为10、30、50、70、90分钟.‎ 其分布列如下：‎ 随机变量 ‎10‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎90‎ 概率 ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎0.1‎ ‎.‎ ‎19.(1)如图，设，连接AG.‎ 因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以G为的中点，‎ 因为，‎ 所以为等腰三角形，所以，‎ 又因为AB⊥侧面，且平面，‎ 所以 又因为，‎ 所以平面AB，又因为平面，‎ 所以平面平面；‎ ‎（2）由（1）知平面AB，所以B 以G为坐标原点，以的方向为x轴正方向，以的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.‎ 由B易知四边形为菱形，因为 所以，‎ 则可得，‎ 所以 设平面的法向量，‎ 由得：，取z=1，所以，‎ 由（1）知=为平面AB的法向量，‎ 则 易知二面角的余弦值.‎ ‎20.（1）由题意，，‎ 将上式两边平方，化简：，‎ 即曲线的方程为.‎ ‎（2）把代入，有，‎ 设，则：，.‎ ‎，.‎ ‎.即，之积为定值.‎ ‎21.解：（1）由，得，‎ 由仅在处取得极值，则，即.‎ 令，则，当单调递减，单调递增，‎ 则，‎ ‎∴当时，，此时仅一个零点，‎ 则仅一个为极值点，‎ 当时，与在同一处取得零点，此时，，‎ ‎，，‎ ‎∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.‎ 当a＞e时，显然与已知不相符合.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由，则.‎ 由题意则有三个根，则有两个零点，‎ 有一个零点，，‎ 令，则，‎ ‎∴当时取极值，时单调递增，‎ ‎∴，则时有两零点，，且，‎ 若证：，即证：，‎ 由，，则，‎ 即证： ，‎ 由在上单调递增，即证：，‎ 又，则证，‎ 令，，‎ ‎∴ .‎ ‎∴恒成立，则为增函数，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴得证.‎ ‎22.（1）由曲线的参数方程，得. ‎ ‎∵，∴曲线的普通方程为. ‎ ‎∵直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），‎ ‎∴直线的倾斜角为，且过原点（极点）. ‎ ‎∴直线的极坐标方程为，. ‎ ‎（2）由（Ⅰ），可知曲线为半圆弧.‎ 若直线与曲线恰有一个公共点，则直线与半圆弧相切. ‎ 设，由题意，得.故. ‎ 而，∴. ‎ ‎∴点的极坐标为.‎ ‎23.（1）当时得，所以，时，不等式成立；‎ 当时，，得，所以，时，不等式成立；‎ 当时，，得，所以，成立．‎ 综上，原不等式的解集为：．‎ ‎（2），当且仅当时，取等号，‎ 所以，的最小值为9，故．‎