【数学】2019届一轮复习北师大版主观题的解题方法与技巧学案

【数学】2019届一轮复习北师大版主观题的解题方法与技巧学案

‎【题型概述】‎ ‎1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分 ‎ 高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写. ‎ ‎2.不求巧妙用通法，通性通法要强化 ‎ 高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点. ‎ ‎3.干净整洁保得分，简明扼要是关键 ‎ 若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏.若写错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分. ‎ ‎4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题 ‎ ‎(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(Ⅰ)问一般难度不大，要保证得分，第(Ⅱ)问若不会，也要根据条件或第(Ⅰ)问的结论推出一些结论，可能就是得分点.‎ ‎【高考命题热点一】　三角函数、解三角形 ‎【例1】(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)得sin Bsin C＝，cos Bcos C＝，‎ ‎∵A＋B＋C＝π，‎ ‎∴cos A＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C＝，‎ 又∵A∈(0，π)，∴A＝，sin A＝，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝9，①‎ 由正弦定理得b＝·sin B，c＝·sin C，‎ ‎∴bc＝·sin Bsin C＝8，②‎ 由①②得b＋c＝，‎ ‎∴a＋b＋c＝3＋，即△ABC周长为3＋. ‎ ‎【特别提醒】‎ ‎1.牢记公式，正确求解 在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理.如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式.‎ ‎2.注意利用第(1)问的结果 在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.‎ ‎3.写全得分关键 在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不给分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出 的过程(即得分点①)，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出 则不得分，只有将面积转化为得分点⑦才得分.‎ ‎【解题程序】‎ 第一步 利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式；‎ 第二步 利用三角恒等变换化简关系式；‎ 第三步 求C的余弦值，得角C的值.‎ 第四步 利用三角形的面积为，求出ab的值；‎ 第五步 根据c＝，利用余弦定理列出a，b的关系式；‎ 第六步 求(a＋b)2的值，进而求△ABC的周长.‎ ‎【变式探究】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(2)由余弦定理及C＝得 ‎7＝a2＋b2－2ab·，‎ 即(a＋b)2－3ab＝7，‎ 又S＝ab·sin C＝ab＝，‎ 所以ab＝6，‎ 所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，‎ 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.‎ ‎【高考命题热点二】数　列 ‎【例2】 (2016·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{bn}的前n项和.‎ ‎【解析】‎ 解 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，‎ ‎∴a1＝2，‎ 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，‎ 因此{an}的通项公式an＝2＋3(n－1)＝3n－1. 学 ]‎ ‎ (2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，‎ 得bn＋1＝＝≠0，则＝，‎ 因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，‎ 设数列{bn}的前n项和为Sn，则 Sn＝＝－.学 ‎ ‎【特别提醒】‎ ‎1.牢记等差、等比数列的定义 在判断数列为等差或等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌握定义是解决问题的关键，如本题第(2)问，要根据定义判断＝.‎ ‎2.注意利用第(1)问的结果 在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得bn＋1与bn的关系.‎ ‎3.写全得分关键 写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证.如本题第(1)问要写出a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，才能得出a1，并指出数列{an}的性质，否则不能得全分.第(2)问中一定要写出求bn＋1＝的步骤并要指明{bn}的性质；求Sn时，必须代入求和公式而不能直接写出结果，否则要扣分.‎ ‎【解题程序】‎ 第一步 将n＝1代入关系式anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求出a1的值；‎ 第二步 利用等差数列的通项公式求出an；‎ 第三步 将第(1)问中求得的an代入关系式anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求得bn＋1与bn的关系；‎ 第四步 判断数列{bn}为等比数列；‎ 第五步 代入等比数列的前n项和公式求Sn.‎ 第六步 反思检验，规范解题步骤.‎ ‎【变式探究】 (2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和.‎ ‎【解析】‎ 解 (1)由题意得则 又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，同时a2＝3a1，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.‎ ‎【高考命题热点三】立体几何 ‎【例3】(2017·天津卷)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.‎ ‎(1)求证 MN∥平面BDE；‎ ‎(2)求二面角C－EM－N的正弦值；‎ ‎(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.‎ ‎【解析】‎ 解 如图，‎ 以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).‎ ‎(1)证明　＝(0，2，0)，＝(2，0，－2).‎ 设n＝(x，y， )为平面BDE的一个法向量，则 即不妨设 ＝1，可得n＝(1，0，1).‎ 又＝(1，2，－1)，可得·n＝0.‎ 因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE. 学 ‎ ‎ ‎ ‎(3)依题意，设AH＝h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)，进而可得＝(－1，－2，h), ＝(－2，2，2).‎ 由已知，得|cos〈，〉|＝ ‎＝＝，‎ 整理得10h2－21h＋8＝0，解得h＝，或h＝.‎ 所以，线段AH的长为或.‎ ‎【特别提醒】‎ ‎1.写全得分步骤 在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写.如第(1)问中的AC⊥BD，AD＝CD，AC∥EF；第(2)问中的，，的坐标，及两平面法向量的坐标.‎ ‎2.注意利用第(1)问的结果 在题设条件下，立体几何解答题的第(2)问建系，要用到第(1)问中的垂直关系时，可以直接用，有时不用第(1)问的结果无法建系，如本题即是在第(1)问的基础上建系.‎ ‎3.写明得分关键 对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分.所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断D′H⊥平面ABCD的三个条件，写不全则不能得全分，如OH∩EF＝H一定要有，否则要扣1分；第(2)问中不写出cos〈m，n〉＝这个公式，而直接得出余弦值，则要扣1分.‎ ‎【解题程序】　‎ 第一步 利用平面几何性质，得AC∥EF.‎ 第二步 借助数学计算，证明D′H⊥OH.‎ 第三步 根据线面垂直的判断定理，得D′H⊥平面ABCD.‎ 第四步 依题设建系，确定相关点、直线方向向量的坐标.‎ 第五步 分别计算求得平面ABD′与平面ACD′的法向量.‎ 第六步 由法向量夹角的余弦，得到二面角的正弦值.‎ ‎【变式探究】 (2016·全国Ⅱ卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.OD′＝.‎ ‎ ‎ ‎(1)证明 D′H⊥平面ABCD；[ 学 ]‎ ‎(2)求二面角B－D′A－C的正弦值.‎ ‎【解析】‎ 解 (1)证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.‎ 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.‎ 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.‎ 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.‎ 由EF∥AC得＝＝.‎ 所以OH＝1，D′H＝DH＝3.‎ 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.‎ 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，OH，EF⊂平面ABCD，‎ 所以D′H⊥平面ABCD. 学* ‎ ‎(2)解　如图，‎ ‎【高考命题热点四】　概率与统计 ‎【例4】(2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.‎ ‎(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.‎ ‎【解析】‎ 解 (1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.学 ‎ ‎【特别提醒】‎ ‎1.正确阅读理解，弄清题意 与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题，如本题第(1)问就是求解离散型随机变量的分布列，其关键是准确写出随机变量X的取值及正确求其概率.‎ ‎2.注意利用第(1)问的结果 在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上利用分布列求概率之和 求解.‎ ‎3.注意将概率求对 与离散型随机变量有关的问题，准确求出随机变量取值的概率是关键.本题第(1)问，要做到 一是随机变量取值要准，二是要明确随机变量取每个值的意义，同时也要注意事件的独立性.在(1)，(3)问中概率、期望值要写出求解过程，不能直接写出数值.‎ ‎【解题程序】　‎ 第一步 设出基本事件，明确事件间的关系及含义.‎ 第二步 求出各个事件发生的概率.‎ 第三步 列出随机变量X的分布列.‎ 第四步 解关于n的不等式，求出n的最小值.‎ 第五步 讨论n＝19与n＝20时的费用期望，做出判断决策.‎ 第六步 检验反思，明确步骤规范.‎ ‎【变式探究】 (2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 ‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？‎ ‎【解析】‎ P(X＝19)＝P(A1)P(B4)＋P(A2)P(B3)＋P(A3)P(B2)＋P(A4)P(B1)＝0.2×0.2＋0.4×0.2＋0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.24，‎ P(X＝20)＝P(A2)P(B4)＋P(A3)P(B3)＋P(A4)P(B2)＝0.4×0.2＋0.2×0.2＋0.2×0.4＝0.2，‎ P(X＝21)＝P(A3)P(B4)＋P(A4)P(B3)＝0.2×0.2＋0.2×0.2＝0.08.‎ P(X＝22)＝P(A4)P(B4)＝0.2×0.2＝0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)要令P(X≤n)≥0.5，因为0.04＋0.16＋0.24<0.5，0.04＋0.16＋0.24＋0.24≥0.5，则n的最小值为19.‎ ‎(3)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n＝19时，费用的期望为19×200＋500×0.2＋1 000×0.08＋1 500×0.04＝4 040，当n＝20时，费用的期望为20×200＋500×0.08＋1 000×0.04＝4 080.‎ 所以应选用n＝19.‎ ‎【高考命题热点五】　解析几何 ‎【例5】 (2016·全国Ⅰ卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(2)解　当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝ (x－1)( ≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|MN|＝|x1－x2|＝.‎ 过点B(1，0)且与l垂直的直线m y＝－(x－1)，‎ 点A到直线m的距离为，‎ 所以|PQ|＝2＝4. ‎ 故四边形MPNQ的面积 S＝|MN||PQ|＝12.‎ 可得当l与x轴不垂直时，‎ 四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8).‎ 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ的面积为12.‎ 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8).学 ‎ ‎【特别提醒】‎ ‎1.正确使用圆锥曲线的定义 牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型，如本题第 (1)问就涉及椭圆的定义.‎ ‎2.注意分类讨论 当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，‎ 易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中的得分10分，导致失2分.‎ ‎3.写全得分关键 在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚.‎ ‎【解题程序】　‎ 第一步 利用条件与几何性质，求|EA|＋|EB|＝4. ‎ 第二步 由定义，求点E的轨迹方程＋＝1(y≠0).‎ 第三步 联立方程，用斜率 表示|MN|.‎ 第四步 用 表示出|PQ|，并得出四边形的面积.‎ 第五步 结合函数性质，求出当斜率存在时S的取值范围.‎ 第六步 求出斜率不存在时面积S的值，正确得出结论.‎ ‎【变式探究】已知椭圆C ＋y2＝1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足＝λ(λ>1，λ是常数).当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ.‎ ‎(1)求曲线Cλ的轨迹方程；‎ ‎(2)直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值.若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为x＝±2，‎ 得|AB|＝2.‎ 得S△OAB＝|OP|×|AB|＝2，‎ 当直线l的斜率存在时，设l y＝ x＋m，‎ 得(4 2＋1)x2＋8 mx＋4(m2－1)＝0，‎ 由Δ＝0，可得m2＝4 2＋1.‎ 得(4 2＋1)x2＋8 mx＋4(m2－λ2)＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 则|AB|＝· ‎＝，‎ 原点到直线l的距离为d＝＝，‎ 所以S△OAB＝|AB|d＝2.‎ 综上所述，△OAB的面积为定值2. ‎ ‎【高考命题热点六】　函数与导数 ‎【例6】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.‎ ‎(1)求a的取值范围.‎ ‎(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明 x1＋x2<2.‎ ‎【解析】‎ ‎③设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).‎ 若a≥－，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，‎ f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增.‎ 又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.‎ 若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；‎ 当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 因此f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增.‎ 又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.‎ 综上，a的取值范围为(0，＋∞).‎ ‎【特别提醒】‎ ‎1.牢记求导法则，正确求导 在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，如本题第(1)问就涉及对函数的求导.‎ ‎2.注意利用第(1)问的结果 在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解. ‎ ‎3.注意分类讨论 高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论.‎ ‎4.写全得分关键 在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、极值、最值、题目的结论等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚，如本题中的得分点②③④⑦⑧等.‎ ‎【解题程序】　‎ 第一步，准确求出函数f(x)的导数.‎ 第二步，讨论a的取值，分情况讨论函数的单调性、极值，从而判断函数零点，确定a的取值范围.‎ 第三步，将结论x1＋x2<2转化为判定f(2－x2)<0＝f(x1).‎ 第四步，构造函数g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，判定x>1时，g(x)<0.‎ 第五步，写出结论，检验反思，规范步骤.‎ ‎【变式探究】 已知函数f(x)＝ax＋xln 的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)若 ∈ ，且 ＜对任意x＞1恒成立，求 的最大值.‎ ‎【解析】‎ 解 (1)因为f(x)＝ax＋xln ，‎ 所以f′(x)＝a＋ln ＋1.‎ 因为函数f(x)＝ax＋xln 的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1.‎