高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：2_4弦切角的性质

高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：2_4弦切角的性质

2.4 　弦切角的性质 1 ．理解弦切角的定义． 2 ．掌握弦切角的性质定理，并能应用它们进行简单的计算和证明 . 1 ． 弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆 ________ ，另一边和圆 ________ 的角叫做弦切角． 2 ．弦切角的性质定理： __________________________ _________________. 1 ． 相交　相切 2 ．弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 已知 MN 是⊙ O 的切线， A 为切点， MN 平行于弦 CD ，弦 AB 交 CD 于点 E . 求证： AC 2 ＝ AE · AB . 点评： 此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等，再利用三角形相似证比例中项，这样的类型题较常见． 　 已知四边形 ABCD 内接于⊙ O ，点 D 是 的中， BC 和 AD 的延长线相交于点 E ， DH 切⊙ O 于点 D ，求证： DH 平分∠ CDE . 证明： 如图，连接 BD . ∵ D 是 的中点， ∴∠ ABD ＝∠ CBD . ∵ DH 切⊙ O 于点 D ， ∴∠ CDH ＝∠ CBD ＝∠ ABD . 又∠ CDE ＝∠ ABC ， ∴∠ HDE ＝∠ ABD ， ∴∠ CDH ＝∠ HDE ， ∴ DH 平分∠ CDE . 已知 DE 切⊙ O 于点 A ， AB 、 AC 是⊙ O 的弦，若 ＝ ，那么∠ DAB 和∠ EAC 是否相等？为什么？ 分析： 由 于 与分别是两个弦切角∠ DAB 和∠ EAC 所夹的弧，而 = ，连接 BC ，易证∠ B =∠ C ，于是得到∠ DAB =∠ EAC . 解析： 如图， 连接 BC . ∵ = ，∴∠ ACB =∠ ABC . 又∵∠ BAD =∠ ACB ，且∠ CAE =∠ ABC ， ∴∠ BAD =∠ CAE . 1 ．如图所示， AB 为⊙ O 直径， CD 切⊙ O 于点 D ， AB 的延长线交 CD 于点 C . 若∠ CAD ＝ 25° ，则∠ C 为 ( 　　 ) A ． 45° 　　　　　　　　　 B ． 40° C ． 35° D ． 30° 解析： 连接 BD ，∵ AB 为直径， ∴∠ BDA ＝ 90°. 又∵ CD 为⊙ O 的切线，切点为 D ，由弦切角定理可知∠ BDC ＝∠ CAD ＝ 25° ， ∴∠ CDA ＝ 90° ＋ 25° ＝ 115°. 在△ ACD 中， ∠ C ＝ 180° －∠ A －∠ CDA ＝ 180° － 25° － 115° ＝ 40°. 答案： B 2 ．如图所示，经过⊙ O 上的点 A 的切线和弦 BC 的延长线相交于点 P ，若∠ CAP ＝ 40° ，∠ ACP ＝ 100° ，则∠ BAC 所对的弧的度数为 ( 　　 ) A ． 40° B ． 100° C ． 120° D ． 30° C 3 ．如图所示， AB 是⊙ O 的直径， EF 切⊙ O 于点 C ， AD ⊥ EF 于点 D ， AD ＝ 2 ， AB ＝ 6 ，则 AC 的长为 ( 　　 ) A ． 2 B ． 3 C ． 2 D ． 4 C 4 ． 已知⊙ O 的内接四边形 ABCD 中， AB 是⊙ O 的直径，∠ BCD ＝ 120° ，过点 D 的切线 PD 与 BA 的延长线交于点 P ，则∠ APD 的度数是 ( 　　 ) A ． 15° 　　　 B ． 30° 　　　 C ． 45° 　　　 D ． 60° 5 ．如图所示， AB 是⊙ O 的直径，直线 EF 切⊙ O 于 B ， C 、 D 为⊙ O 上的点，∠ CBE ＝ 40° ， ＝ ，则∠ BCD 的度数是 ( 　　 ) A ． 110° B ． 115° C ． 120° D ． 135° B B 6 ．如图所示， AD 切⊙ O 于点 F ， FB 、 FC 为⊙ O 的两弦，请列出图中所有的弦切角 ________________________ ． 答案：∠ AFB 、∠ AFC 、∠ DFC 、∠ DFB 7 ． 45° 　 135° 　 45° 　 90° 8. 如图所示，已知 AB 和 AC 分别是⊙ O 的弦和切线，点 A 为切点， AD 为∠ BAC 的平分线，且交⊙ O 于点 D ， BD 的延长线与 AC 交于点 C ， AC=6 ， AD=5 ，则 CD= . 答案： 4 9 ． (2012 年广东卷 ) 如图所示，直线 PB 与圆 O 相切于点 B ， D 是弦 AC 上的点， ∠ PBA ＝ ∠ DBA. 若 AD ＝ m ， AC ＝ n ，则 AB ＝ ________. 10 ．如图所示， AB 是⊙ O 的直径， C 、 D 是⊙ O 上的点，∠ BAC ＝ 20° ， ＝ ， DE 是⊙ O 的切线，则∠ EDC 的度数是 ________ ． 35° 11 ．如图所示，⊙ O 和⊙ O′ 相交于 A ， B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C ， D 两点，连接 DB 并延长交⊙ O 于点 E. 证明： (1)AC·BD ＝ AD·AB ； (2)AC ＝ AE. 证明： (1) 由 AC 与⊙ O′ 相切于 A ，得∠ CAB ＝∠ ADB ，同理∠ ACB ＝∠ DAB ，所以△ ACB∽△DAB. 从而 ，即 AC·BD ＝ AD·AB. (2) 由 AD 与⊙ O 相切于 A ，得∠ AED ＝∠ BAD. 又∠ ADE ＝∠ BDA ，得△ EAD∽△ABD. 从而 ，即 AE·BD ＝ AD·AB. 结合 (1) 的结论知， AC ＝ AE. 12 ．如图所示，梯形 ABCD 内接于⊙ O ， AD ∥ BC ，过点 B 引⊙ O 的切线分别交 DA 、 CA 的延长线于点 E 、 F . (1) 求证： AB 2 ＝ AE · BC . (2) 已知 BC ＝ 8 ， CD ＝ 5 ， AF ＝ 6 ，求 EF 的长． 1 ． 弦切角的定义 (1) 角的顶点在圆上，实际上就是角的顶点是圆的一条切线的切点． (2) 角的一边是过切点的一条弦 ( 所在的射线 ) ，角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线 . 2 ．弦切角定理的证明与圆周角定理的证明相仿，也分三种情况，第一种情况是特殊情况，其他两种是一般情况，通过作辅助线可转化为第一种情况． 3 ．弦切角是与圆有关的又一种角，要能在图形中准确地识别，并能正确应用弦切角定理及其推论．它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据，常常与圆周角、圆心角性质联合应用来进行证明、求解 . 4 ．如图 1 中的∠ ACD 和∠ BCD 都是弦切角 . 需要注意弦切角定义的两点： (1) 弦切角必须具备三个条件： ①顶点在圆上 ( 顶点为圆切线的切点 ) ． ②一边和圆相切 ( 即一边所在直线为圆的切线 ) ． ③另一边和圆相交 ( 即另一边为圆的过切点的弦 ) ． 三者缺一不可．例如在图 2 中，∠ CAD 很像弦切角，但它不是弦切角，因为 AD 与圆相交；∠ BAE 也不一定是弦切角，只有已知 AE 切圆于点 A ，才能确定它是弦切角． (2) 弦切角也可以看作圆周角的一边绕其顶点旋转到与圆相切时所成的角．因此，弦切角与圆周角存在密切关系． 5 ．需要注意的几个问题： (1) 弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧，如图 1 ，弦切角∠ BCD 所夹的弧是 , 弦切角∠ ACD 所夹的弧是 . (2) 弦切角定理的证明同圆周角定理的证明极相似，同样是按圆心与角的位置关系分情况 ( 如下图 ) 进行证明． ① 圆心在弦切角∠ BAC 一边上；②圆心在弦切角∠ BAC 外部；③圆心在弦切角∠ BAC 内部． (3) 由定理可得：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束