【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）算法初步学案

【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）算法初步学案

第1讲　算法初步 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　算法的框图及结构 ‎1．算法 算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确程序或有限的步骤．这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．‎ ‎2．程序框图 程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．通常，程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．‎ ‎3．三种基本逻辑结构 考点2　算法语句的格式及框图 ‎1．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 一般格式 功能 输入语句 INPUT“提示内容”；变量 输入信息 输出语句 PRINT“提示内容”；表达式 输出信息 赋值语句 变量＝表达式 将表达式所代表的值赋给变量 ‎2．条件语句的格式及框图 ‎(1)IF－THEN格式 ‎(2)IF－THEN－ELSE格式 ‎3．循环语句的格式及框图 ‎ (1)UNTIL语句 ‎(2)WHILE语句 ‎ [必会结论]‎ ‎1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．‎ ‎2．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．‎ ‎3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．(　　)‎ ‎(2)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．(　　)‎ ‎(3)算法可以无限操作下去. (　　)‎ ‎(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的. (　　)‎ ‎(5)▱是赋值框，有计算功能．(　　)‎ ‎(6)当型循环是给定条件不成立时执行循环体，反复进行，直到条件成立为止. (　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×‎ ‎2．[2017·北京高考]执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)‎ A．2 B. ‎ C. D. 答案　C 解析　开始：k＝0，s＝1；‎ 第一次循环：k＝1，s＝2；‎ 第二次循环：k＝2，s＝；‎ 第三次循环：k＝3，s＝，此时不满足循环条件，输出s，‎ 故输出的s值为.故选C.‎ ‎3．[2016·全国卷Ⅱ]中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝(　　)‎ A．7 B．12‎ C．17 D．34‎ 答案　C 解析　k＝0，s＝0，输入a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；输入a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，输出s＝17.故选C.‎ ‎4．[2017·山东高考]执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为(　　)‎ A．x>3?‎ B．x>4?‎ C．x≤4?‎ D．x≤5?‎ 答案　B 解析　输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x>4？.故选B.‎ ‎5．[2018·乐山模拟]一算法的程序框图如图所示，若输出的y＝，则输入的x可能为(　　)‎ A．－1‎ B．1‎ C．1或5‎ D．－1或1‎ 答案　B 解析　这是一个用条件分支结构设计的算法，‎ 该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y＝的函数值，输出的结果为，当x≤2时，sin＝，解得x＝1＋12k，或x＝5＋12k，k∈Z，即x＝1，－7，－11，…‎ 当x>2时，2x＝，解得x＝－1(不符，舍去)，‎ 则输入的x可能为1.故选B.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　算法的基本结构 例　1　[2017·全国卷Ⅲ]执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为(　　)‎ A．5 B．4 ‎ C．3 D．2‎ 答案　D 解析　假设N＝2，程序执行过程如下：‎ t＝1，M＝100，S＝0，‎ ‎1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－＝－10，t＝2，‎ ‎2≤2，S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝3，‎ ‎3＞2，输出S＝90＜91.符合题意．‎ ‎∴N＝2成立．显然2是最小值．故选D.‎ 触类旁通 利用循环结构表示算法应注意的问题 ‎(1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；‎ ‎(2)注意选择准确地表示累计的变量；‎ ‎(3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．‎ ‎【变式训练1】　[2018·河南百校联盟]‎ ‎《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．7 D．11‎ 答案　A 解析　起始阶段有m＝2a－3，i＝1，‎ 第一次循环，m＝2(2a－3)－3＝4a－9，i＝2；‎ 第二次循环，m＝2(4a－9)－3＝8a－21，i＝3；‎ 第三次循环，m＝2(8a－21)－3＝16a－45，i＝4；‎ 接着计算m＝2(16a－45)－3＝32a－93，跳出循环，‎ 输出m＝32a－93，令32a－93＝35，得a＝4.‎ 考向　算法的交汇性问题 命题角度1　与函数的交汇问题 例　2　[2018·郑州模拟]执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于(　　)‎ A．[－3,4] B．[－5,2] ‎ C．[－4,3] D．[－2,5]‎ 答案　A 解析　当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．当1≤t≤3时，s＝4t－t2.函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s∈[3,4]．‎ 综上知s∈[－3,4]．故选A.‎ 命题角度2　与数列求和的交汇问题 例　3　执行如图所示的程序框图，则输出的k＝(　　)‎ A．7 B．8 ‎ C．9 D．10‎ 答案　C 解析　由程序框图可知，当k＝1时，s＝，当k＝2时，s＝＋，当k＝n时，s＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－，由1－≥⇒n≥9，即当k＝9时，s＝.故选C.‎ 命题角度3　与统计的交汇问题 例　4　在2017～2018赛季NBA季后赛中，当一个球队进行完7场比赛被淘汰后，某个篮球爱好者对该队的7场比赛得分情况进行统计，如下表：‎ 场次i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 得分xi ‎100‎ ‎104‎ ‎98‎ ‎105‎ ‎97‎ ‎96‎ ‎100‎ 为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算σ的算法流程图如图所示(其中是这7场比赛的平均得分)，求输出的σ的值．‎ 解　由题知＝(100＋104＋98＋105＋97＋96＋100)＝100，由算法流程图可知s＝(100－100)2＋(104－100)2＋(98－100)2＋(105－100)2＋(97－100)2＋(96－100)2＋(100－100)2＝70.故σ＝＝.‎ 触类旁通 解决算法的交汇性问题的方法 循环结构的程序框图与数列、不等式、统计等知识综合是高考命题的一个热点，解决此类问题时应把握三点：一是初始值，即计数变量与累加变量的初始值；二是两个语句，即循环结构中关于计数变量与累加变量的赋值语句；三是一个条件，即循环结束的条件，注意条件与流程线的对应关系．‎ 考向　基本算法语句 例　5　[2018·南京模拟]执行下边的程序，输出的结果是________．‎ 答案　11‎ 解析　根据循环结构可得：‎ 第一次：S＝1×3＝3，i＝3＋2＝5，由3≤200，则循环；第二次：S＝3×5＝15，i＝5＋2＝7，由15≤200，则循环；第三次：S＝15×7＝105，i＝7＋2＝9，由105≤200，则循环；第四次：S＝105×9＝945，i＝9＋2＝11，由945>200，则循环结束，故此时i＝11.‎ 触类旁通 基本算法语句应用中需注意的问题 ‎(1)赋值号“＝”的左、右两边不能对调，A＝B和B＝A的含义及运行结果是不同的；‎ ‎(2)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)，在赋值语句中的赋值号右边的表达式中每一个“变量”都必须事先赋给确定的值；‎ ‎(3)赋值号与数学中的等号意义不同，比如在数学中式子N＝N＋1一般是错误的，但在赋值语句中它的作用是将原有的N的值加上1再赋给变量N，这样原来的值被“冲”掉．‎ ‎【变式训练2】　[2018·龙岩质检]如图所示的程序，若最终输出的结果为，则在程序中横线____？____处应填入的语句为(　　)‎ A．i>＝8 B．i>＝7 ‎ C．i<7 D．i<8‎ 答案　B 解析　S＝0，n＝2，i＝1，执行S＝，n＝4，i＝2；S＝＋＝，n＝8，i＝3；S＝＋＝，n＝16，i＝4；S＝＋＝，n＝32，i＝5；S＝＋＝，n＝64，i＝6；S＝＋＝，n＝128，i＝7.此时满足条件输出的S＝，∴“？”处应填上i>＝7.故选B.‎ 核心规律 ‎1.‎ 在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，则只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论，则必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行多次重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律，则必须引入变量，应用循环结构．‎ ‎2.利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．‎ 满分策略 ‎1.注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．‎ ‎2.注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体．‎ ‎3.赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值.‎ 板块三　启智培优·破译高考 规范答题系列6——解决程序框图问题的答题模板 ‎ [2017·全国卷Ⅱ]执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ 解题视点　按部就班法是按照所给程序框图流程线的指向，逐个程序框运行，逐步进行运算，逐步检验，直至满足输出的条件，即可求得输出结果的方法．此种方法适用于处理运算次数不是很多的条件分支结构以及循环结构的程序框图．‎ 解析　当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；‎ 当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；‎ 当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；‎ 当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；‎ 当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；‎ 当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7>6‎ ‎，输出S＝3.结束循环．故选B.‎ 答案　B ‎[答题模板]　‎ 跟踪训练 ‎[2017·天津高考]阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ 答案　C 解析　第一次循环执行条件语句，此时N＝24,24能被3整除，则N＝24÷3＝8.‎ ‎∵8≤3不成立，∴进入第二次循环执行条件语句，此时N＝8,8不能被3整除，则N＝8－1＝7.‎ ‎∵7≤3不成立，∴进入第三次循环执行条件语句，此时N＝7,7不能被3整除，则N＝7－1＝6.‎ ‎∵6≤3不成立，∴进入第四次循环执行条件语句，此时N＝6,6能被3整除，则N＝6÷3＝2.‎ ‎∵2≤3成立，∴此时输出N＝2.故选C.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎ [A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·沈阳调研]要计算1＋＋＋…＋的结果，下面程序框图中的判断框内可以填(　　)‎ A．n<2018? B．n≤2018?‎ C．n>2018? D．n≥2018?‎ 答案　B 解析　题中所给的程序框图中的循环结构为当型循环，累加变量初始值为0，计数变量初始值为1，要求S＝0＋1＋＋＋…＋的值，共需要计算2018次．故选B.‎ ‎2．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(mod m)，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于(　　)‎ A．21 B．22 ‎ C．23 D．24‎ 答案　C 解析　当n＝21时，21被3整除，执行否．‎ 当n＝22时，22除以3余1，执行否；‎ 当n＝23时，23除以3余2，执行是；‎ 又23除以5余3，执行是，输出的n＝23.故选C.‎ ‎3．[2017·全国卷Ⅰ]如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)‎ A．A>1000？和n＝n＋1 B．A>1000？和n＝n＋2‎ C．A≤1000？和n＝n＋1 D．A≤1000？和n＝n＋2‎ 答案　D 解析　因为题目要求的是“满足3n－2n＞1000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1000？”．故选D.‎ ‎4．[2018·汕头模拟]若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是(　　)‎ A．k<6? B．k<7? ‎ C．k<8? D．k<9?‎ 答案　C 解析　根据程序框图，运行结果如下：‎ 第一次循环：S＝log23，k＝3；‎ 第二次循环：S＝log23·log34，k＝4；‎ 第三次循环：S＝log23·log34·log45，k＝5；‎ 第四次循环：S＝log23·log34·log45·log56，k＝6；‎ 第五次循环：S＝log23·log34·log45·log56·log67，k＝7；‎ 第六次循环：S＝log23·log34·log45·log56·log67·log78＝log28＝3，k＝8，‎ 故如果输出S＝3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k<8.故选C.‎ ‎5．[2018·汉中模拟]给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则x的可能值的个数为(　　)‎ A．1个 B．2个 ‎ C．3个 D．4个 答案　C 解析　分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是计算并输出分段函数 y＝的值，‎ 又∵输入的x值与输出的y值相等，‎ 当x≤2时，x＝x2，解得x＝0，或x＝1，‎ 当25时，x＝，解得x＝±1(舍去)，‎ 故满足条件的x值共有3个．故选C.‎ ‎6．已知[x]表示不超过x的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2.4，则输出z的值为(　　)‎ A．1.2 B．0.6 ‎ C．0.4 D．－0.4‎ 答案　D 解析　输入x＝2.4，则y＝2.4，x＝[2.4]－1＝1>0，‎ ‎∴x＝＝1.2；y＝1.2，x＝[1.2]－1＝0，∴x＝＝0.6；y＝0.6，x＝[0.6]－1＝－1<0，则z＝x＋y＝－1＋0.6＝－0.4.故选D.‎ ‎7．[2018·湖南模拟]给出30个数：1,2,4,7,11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入(　　)‎ A．i≤30？；p＝p＋i－1 B．i≤31？；p＝p＋i＋1‎ C．i≤31？；p＝p＋i D．i≤30？；p＝p＋i 答案　D 解析　由于要计算30个数的和，‎ 故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30，即①中应填写i≤30；‎ 又由第1个数是1，‎ 第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2；‎ 第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4；‎ 第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7；‎ ‎……‎ 故②中应填写p＝p＋i.故选D.‎ ‎8．[2017·江苏高考]下图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．‎ 答案　－2‎ 解析　输入x＝，≥1不成立，执行y＝2＋log2＝2－4＝－2.输出y的值为－2.‎ ‎9．[2018·黄冈模拟]随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次为A1，A2，A3，A4.如图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S＝18，则判断框应填________．‎ 答案　i<5？(或i≤4？)‎ 解析　由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2＋A3＋A4，因此，判断框应填i<5？或i≤4？.‎ ‎10．已知a，b，c为集合A＝{1,2,3,4,5}中三个不同的数，通过如下图所示的算法框图给出一个算法，输出一个整数a，则输出的数a＝5的概率是________．‎ 答案　 解析　由算法知输出的a是a，b，c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，从集合A＝{1,2,3,4,5}中选三个不同的数共有10种取法：C＝10，满足条件的有C＝6种，所求概率为.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2017·山东高考]执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为(　　)‎ A．0,0 B．1,1 ‎ C．0,1 D．1,0‎ 答案　D 解析　当x＝7时，∵b＝2，∴b2＝4＜7＝x.‎ 又7不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.‎ 此时b2＝9＞7＝x，∴退出循环，a＝1，∴输出a＝1.‎ 当x＝9时，∵b＝2，∴b2＝4＜9＝x.‎ 又9不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.‎ 此时b2＝9＝x，又9能被3整除，∴退出循环，a＝0.‎ ‎∴输出a＝0.故选D.‎ ‎2．[2018·湖南模拟]执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是(　　)‎ A．5 B．3 ‎ C．4 D．2‎ 答案　A 解析　模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：‎ k＝2，k＝3，k＝4，k＝5，大于4，可得S＝sin＝，输出S的值为.故选A.‎ ‎3．[2018·西城期末]如图所示的程序框图运行后输出结果为，则输入的x值为(　　)‎ A．－1 B. ‎ C. D．－1或 答案　D 解析　分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是计算并输出分段函数 y＝的函数值．‎ 当x≤0时，若y＝2x＝，则x＝－1；‎ 当01，故输出的S的最大值为2.‎