陕西省2020届高三第三次联考理科数学试题

陕西省2020届高三第三次联考理科数学试题

陕西省2020届高三年级第三次联考 理科数学 一、选择题 ‎1.全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合、，再利用集合的交、补运算即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数函数的性质以及二次函数的图像与性质，属于基础题.‎ ‎2.已知复数（为虚数单位），则在复平面内所对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算，求得复数，再结合复数的几何意义，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据复数除法运算，可得复数，‎ 则在复平面内所对应的点为，在第一象限.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，以及复数的除法运算，其中解答中熟练应用复数的除法运算，求得复数的代数形式是解答的关键，着重考查了计算能力.‎ ‎3.已知向量，，且，则（ ）‎ A. 5 B. C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量平行的条件列方程，解方程求得的值，求得的坐标后，求得.‎ ‎【详解】由题得.，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查向量平行的坐标表示，考查向量减法和模的坐标运算，属于基础题.‎ ‎4.已知二项式，且，则（ ）‎ A. 128 B. ‎127 ‎C. 64 D. 63‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合二项式展开式的通项公式以及，求得的值，利用赋值法求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】由题意，二项式展开式的通项为，‎ 令，可得，即.解得.‎ 令，则.‎ 故选:C ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式以及展开式系数和的求法，属于基础题.‎ ‎5.‎ 某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）‎ A. 2800 B. ‎3000 ‎C. 3200 D. 3400‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数.‎ ‎【详解】高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比，所以总交稿数为，‎ 高二年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数为．‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6.已知点在直线上，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. ‎4 ‎C. 3 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用“”的代换的方法，结合基本不等式，求得的最小值.‎ ‎【详解】由题意知，‎ 所以.‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 故选:D ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.‎ ‎7.设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）‎ A. 若与所成的角相等，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：A项中两直线还可能相交或异面,错误；‎ B项中两直线还可能相交或异面,错误；‎ C项两平面还可能是相交平面，错误；‎ 故选D.‎ ‎8.抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为（ ）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为求的最小值，根据抛物线的定义可知，即求的最小值，当、、三点共线时，最小，由即可求解.‎ ‎【详解】由抛物线为可得焦点坐标，准线方程为．‎ 由题可知求周长的最小值．即求的最小值．‎ 设点在准线上的射影为点．‎ 则根据抛物线的定义．可知．‎ 因此求的最小值即求的最小值．‎ 根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小．‎ 所以．‎ 又因为，‎ 所以周长的最小值为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了转化与化归的思想，属于基础题.‎ ‎9.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 令，则问题转化为不等式在上恒成立，即，应选答案B．‎ ‎10.若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则求出此函数的导函数，由单调性只需恒成立，根据二次函数的图像与性质只需即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 由题意恒成立．‎ ‎，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了由函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟记基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.‎ ‎11.设、是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，配方可得，从而利用双曲线的定义可求出，进而利用求出，得出双曲线的标准方程即可求出渐近线方程.‎ ‎【详解】由题意可得，，‎ 可得，可得，，‎ 可得渐近线方程为．‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了双曲线的定义、双曲线的简单几何性质，属于基础题.‎ ‎12.已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若 a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. c＞a＞b D. c＞b＞a ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由偶函数的性质可得：，‎ 结合偶函数的性质可得函数f(x)在区间是单调递增，‎ 且：，故，‎ 即.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ 二、填空题 ‎13.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额（单位：元），并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按，，，，进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知，，成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______.‎ ‎【答案】600‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据频率分布直方图求出的值，然后利用等差数列的性质求出，进而得到消费金额超过150元的频率，用其估计总体即可．‎ ‎【详解】，‎ 又由频率分布直方图可得，‎ ‎，故消费金额超过150元的频率为，故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为，故答案为600.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图中的基本运算及等差数列的基本性质，是一道基础题．‎ ‎14.已知函数，且，则函数的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可证得为奇函数；利用求得，进而求得.‎ ‎【详解】令 ‎ 为奇函数 ‎ 又 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查构造具有奇偶性的函数求解函数值的问题；关键是能够构造合适的函数，利用所构造函数的奇偶性得到所求函数值与已知函数值的关系.‎ ‎15.甲船在岛的正南处， ，甲船以每小时的速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可求解出最值.‎ ‎【详解】假设经过小时两船相距最近，甲、乙分别行至，，‎ 如图所示，可知，，，‎ ‎．‎ 当小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将待求量用未知数表示，最后利用函数思想求最值.‎ ‎16.已知正方体的棱长为为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面垂直的条件先确定平面，再根据截面形状求周长即可得解.‎ ‎【详解】在正方体中，，，‎ 面，，‎ 取的中点，的中点，连接，，，‎ 易知，‎ 由面可得，面，，‎ 面，取的中点，由可知点在面上，‎ 平面截正方体所得截面为，‎ 由正方体棱长为2易得截面周长为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定和截面的性质，考查了空间思维能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎（一）必考题 ‎17.记数列的前项和为，已知点在函数的图像上.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可根据点在函数的图像上得出，然后根据与的关系即可求得数列的通项公式；‎ ‎(2)首先可根据数列的通项公式得出，然后根据裂项相消法求和即可得出结果．‎ ‎【详解】(1)由题意知.‎ 当时，；‎ 当时，，适合上式.‎ 所以.‎ ‎(2).‎ 则．‎ ‎【点睛】本题考查根据数列的前项和为求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，与满足以及，考查计算能力，是中档题．‎ ‎18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费（万元）和年销售量（单位：）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.‎ ‎（万元）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎（单位：）‎ ‎2.5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎（1）根据表中数据建立年销售量关于年宣传费的回归方程；‎ ‎（2）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（1）中的结果回答下列问题：‎ ‎①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润预报值是多少？‎ ‎②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.‎ 附：问归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.‎ 参考数据：，.‎ ‎【答案】（1）；（2）①年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25；②5万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.‎ ‎（2）‎ ‎①先求得年利润关于的表达式，然后将分别代入回归直线方程和年利润的函数表达式，由此求得年销售量及年利润的预报值 ‎②求得年利润与年宣传费的比值的表达式，利用基本不等式求得时，年利润与年宣传费的比值最大.‎ ‎【详解】（1）由题意，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）①由（1）得，‎ 当时，，.‎ 即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.‎ ‎②令年利润与年宣传费的比值为，则，.‎ 当且仅当即时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.‎ ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.‎ ‎19.如图所示，平面平面，为直角三角形，的中点为，中点为，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过等腰三角形的性质证得、，由此证得平面，从而证得.‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，根据直线的方向向量和平面的法向量，计算线面角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）的中点为，，，‎ ‎，，‎ 又，‎ 平面，而平面，.‎ ‎（2）平面平面，，平面平面，‎ 平面，又平面，‎ ‎，‎ 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，‎ ‎.，是直角三角形，.，，‎ ‎，，，，.是中点，‎ ‎，，，，‎ 设平面的法向量为，则，令，则，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，极小值；当时，无极值；当时，极大值；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得的定义域和导函数，对分成三种情况进行分类讨论 的极值.‎ ‎（2）构造函数，通过的导函数研究的零点，对分成进行分类讨论，结合有三个零点，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，‎ ‎，‎ 当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，‎ 当时，，所以无极值，‎ 当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值.‎ ‎（2）设，即，‎ ‎.‎ ‎①若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，至多有两个零点.‎ ‎②若，则，（仅）.单调递增，‎ 至多有一个零点.‎ ‎③若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立.‎ 由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.‎ ‎④若，则.当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立，‎ 由，得，由及，得，‎ ‎.‎ 并且，当时，，，‎ ‎，.‎ 综上，使有三个零点的的取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.‎ ‎21.已知椭圆的离心率，是椭圆上一点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为，且直线交椭圆于、两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，判断直线与的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）是定值，0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可知，解方程组即可求出、，即可求解. ‎ ‎ （2）设直线的方程为，代入椭圆，设点、，可得点，利用韦达定理以及两点求斜率化简即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意知，‎ 又离心率，所以，‎ 于是有，‎ 解得，．‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）由于直线的斜率为．可设直线的方程为，‎ 代入椭圆，可得．‎ 由于直线交椭圆于、两点，‎ 所以，‎ 整理解得．‎ 设点、，由于点与点关于原点对称，‎ 故点，于是有，．‎ 设直线与的斜率分别为，，由于点，‎ 则 ‎，‎ 又，．‎ 于是有 ‎ ‎ ‎，‎ 故直线与的斜率之和为0，即．‎ ‎【点睛】本题考查了根据离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此题要求有较高的计算能力，属于难题.‎ ‎（二）选考题 ‎22.‎ 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.‎ ‎【答案】（1）:;:;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．‎ 详解】（1）∵，∴，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为． ‎ ‎∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．‎ ‎∴直线l的极坐标方程为． ‎ ‎（2）将代入曲线C的极坐标方程得，‎ ‎∴A点的极坐标为． ‎ 将代入直线l的极坐标方程得，解得． ‎ ‎∴B点的极坐标为，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2），使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；‎ ‎（2）去绝对值得，对于恒成立，设，只需即可得解 ‎【详解】（1）可化为，‎ ‎∴或或，‎ 分别解得或或无解.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）由题意：，.‎ 设，要想，成立，只需，‎ ‎∵，∴在上单调递增，∴，‎ ‎∴，∴的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.‎