2018届二轮复习数形结合思想课件理（全国通用）

2018届二轮复习数形结合思想课件理（全国通用）

第二讲　 数形结合思想 【思想解读】 数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学 问题的思想.其应用包括以下两个方面: (1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维. (2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确. 热点1　利用数形结合思想研究零点、方程的根 【典例1】(2016·大连一模)函数f(x)= -2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.因为f(x)= -2sinx-|ln(x+1)| =2(1+cosx)·sinx-2sinx-|ln(x+1)| =sin2x-|ln(x+1)|， 所以函数f(x)的零点个数为函数y=sin2x与y=|ln(x+1)| 图象的交点的个数. 函数y=sin2x与y=|ln(x+1)|的图象如图所示， 由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数f(x)有2个零点. 【规律方法】利用数形结合探究方程解的问题的关注 点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数, 使问题转化为讨论两曲线的交点问题,但用此法讨论方 程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到 错解. (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数 形结合应以快和准为原则,不要刻意去用数形结合. 【变式训练】(2016·洛阳一模)已知函数f(x)满足 f(x)=2f ,当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间 内,函数g(x)=f(x)-ax与x轴有三个不同的交点,则实数 a的取值范围为________. 【解析】由题意知,f(x)= 因为在区间 内,函数g(x)=f(x)-ax与x轴有三个不 同的交点, 所以函数f(x)= 与y=ax在区间 内有 三个不同的交点, 作函数f(x)= 与y=ax在区间 内的 图象如图, 结合图象可知, 当直线y=ax与f(x)=lnx相切时, 解得,x=e;此时a= 当直线y=ax过点(3,ln3)时, 答案: 热点2　利用数形结合思想解决最值问题 【典例2】(2016·重庆一模)过点( ,0)引直线l与 曲线y= 相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的 面积取最大值时,直线l的斜率等于　(　　) 【解析】选B.由于y= ,即x2+y2=1(y≥0),直线l 与x2+y2=1(y≥0)交于A,B两点,如图所示 S△AOB= ·sin∠AOB≤ ,且当∠AOB=90°时,S△AOB取得 最大值,此时AB= ,点O到直线l的距离为 ,则 ∠OCB=30°,所以直线l的倾斜角为150°,则斜率 为- . 【规律方法】利用数形结合思想解决最值问题的一般 思路 (1)对于几何图形中的动态问题,应分析各个变量的变化 过程,找出其中的相互关系求解. (2)对于求最大值、最小值问题,先分析所涉及知识,然后 画出相应的图象数形结合求解. 【变式训练】 1.记实数x1,x2,…,xn中最小数为min{x1,x2,…,xn},则定义 在区间[0,+∞)上的函数f(x)=min{x2+1,x+3,13-x}的最 大值为　(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 【解析】选C.在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1, y=x+3,y=13-x的图象如图: 由图可知,min{x2+1,x+3,13-x}为y=x+3上A点下方的射 线,抛物线AB之间的部分,线段BC,与直线y=13-x点C下 方的部分的组合体,显然,在C点时,y=min{x2+1,x+3, 13-x}取得最大值.解方程组 得:C(5,8).所以 max{min{x2+1,x+3,13-x}}=8. 2.若实数x,y满足等式x2+y2=1,那么 的最大值为 　(　　) 【解析】选B.设k= ,如图所示, kPB=tan∠OPB= kPA=-tan∠OPA=- , 且kPA≤k≤kPB,所以kmax= . 热点3　利用数形结合思想解决不等式、参数问题 【典例3】实系数一元二次方程x2+ax+2b=0的一个根在 (0,1)上,另一个根在(1,2)上,则 的取值范围是 　(　　) A.[1,4] B.(1,4) 【解析】选D.设f(x)=x2+ax+2b, 因为方程x2+ax+2b=0的一个根在区间(0,1)内,另一个 根在区间(1,2)内, 所以可得 作出满足上述不等式组对应的点(a,b)所在的平面区域, 得到△ABC及其内部,即如图所示的阴影部分(不含边界 ). 其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0), 设点E(a,b)为区域内的任意一点, 则k= ,表示点E(a,b)与点D(1,2)连线的斜率. 因为 结合图形可知:kAD1, 在同一坐标系内作出y=(x-1)2,x∈(1,2)及y=logax的图 象, 若y=logax过点(2,1),得loga2=1, 所以a=2. 根据题意,函数y=logax,x∈(1,2)的图象恒在y=(x-1)2, x∈(1,2)的上方, 所以1

查看更多