2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据一元二次不等式的解法，求得集合Q，之后根据交集中元素的特征，求得，得到结果.‎ 详解：由，解得，所以，‎ 又因为，所以，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在求解的过程中，需要先确定集合Q中的元素，之后结合交集中元素的特征求得结果.‎ ‎2．已知是虚数单位，则满足的复数在复平面上对应点所在的象限为（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴‎ ‎∴复数在复平面内所对应的点位于第一象限 故选：A ‎3．等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质，得到，从而求得结果.‎ 详解：在等差数列中，因为，‎ 所以，‎ 所以，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关等差数列的性质以及求和公式的问题，在解题的过程中，只要认真审题，细心计算，就可以正确求解.‎ ‎4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先可以根据题意能够确定直线所过的顶点是椭圆的短轴的端点，之后画出相应的图，利用直线三角形中对应的边长所满足的条件，得出其等量关系式，求得结果.‎ 详解：如图，根据题意得，‎ 在椭圆中，，在中，，且，‎ 代入解得，所以椭圆的离心率为，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，还可以将直线方程写出来（截距式，再整理成一般式）之后应用点到直线的距离公式，结合题的条件，求得其满足的等量关系式，求得结果.‎ ‎5．函数f(x)= sin(x+)+cos(x−)的最大值为 A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由诱导公式可得，‎ 则,‎ 函数的最大值为.‎ 所以选A.‎ ‎【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．‎ ‎6．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： ）可得这个几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积．‎ ‎【考点】空间几何体的体积计算．‎ ‎7．若x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，再将目标函数化为直线方程的斜截式，再画出直线，结合z的几何意义，从而得到将直线移动到过哪个点时取得最大值，接着联立方程组求得最优解，之后代入目标函数解析式，求得结果.‎ 详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示： ‎ 将转化为，‎ 画出直线，之后上下移动，‎ 可以发现当直线过点C时，直线在y轴上的截距最小，即z取得最大值，‎ 由，解得，即，‎ 此时，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.‎ ‎8．将长宽分别为和的长方形沿对角线折起，得到四面体，则四面体外接球的表面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先应该能够分析得到折叠后所得的四面体的外接球的球心的位置在矩形对角线AC的中点处，从而得到其外接球的半径为矩形对角线AC的一半，从而求得其半径，之后应用球的表面积公式求得结果.‎ 详解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，‎ 所以长宽分别为2和1的长方形沿对角线AC折起，得到四面体，‎ 则四面体的外接球的球心O为AC的中点，半径，‎ 所以四面体的外接球的表面积为，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的有关问题，首先要明白几何体的外接球的球心到各顶点的距离是相等的，对于该题能够发现，在折叠的过程中，对角线的中点到四个顶点的距离始终保持是相等的，从而判断得到外接球的球心的位置，从而得到半径，代入公式求得结果.‎ ‎9．执行右图中的程序框图，输出的（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据题中所给的程序框图，判断其任务是什么，以及对应的条件是什么，之后按照其流程运算，并输出结果.‎ 详解：，不满足，执行循环体；‎ ‎，不满足，执行循环体；‎ ‎，不满足，执行循环体；‎ ‎，不满足，执行循环体；‎ ‎，不满足，执行循环体；‎ ‎，满足，退出循环体，‎ 所以，输出的，故选C.‎ 点睛：该题考查的是程序框图的问题，在解题的过程中，顺着流程线，按照题的条件，按部就班走即可，注意分析其任务是什么，判断框里的条件是什么，什么时候可以退出循环体，从而结束，得到相应的结果.‎ ‎10．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股方圆图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股方圆图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先根据直角三角形，解出对应的小正方形的边长，分别求出大正方形和小正方形的面积，即阴影部分的面积，之后根据几何概型的求法，飞镖落在小正方形区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，即可得结果.‎ 详解：观察这个图可知“大正方形的边长为2，总面积为4，‎ 而阴影区域的边长为，面积为，‎ 故飞镖落在阴影区域的概率为，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关几何概型的问题，在解题的过程中，需要注意对应的基本事件与满足条件的基本事件的几何度量分别是什么，从而应用相应的公式计算即可得结果，对应的几何概型一共有长度型、面积型、体积型和角度型.‎ ‎11．已知函数，且，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据题中所给的条件，结合指数式和对数式的运算性质，可以求得，再由分段函数求得的值，从而求得结果.‎ 详解：当时，，由有，无解；‎ 当时，，由有，解得，‎ 所以，所以，故选C.‎ 点睛：该题是以分段函数为载题，考查求解对数函数及指数函数值的题目，解题的关键是将自变量的值代入相应的函数解析式，根据题中所给的式子求得结果.‎ ‎12．在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先根据题中的条件，利用直角三角形，建立相应的平面直角坐标系，设出对应的点的坐标，将向量的数量积应用坐标来表示，将其转化为关于b的函数，结合自变量的取值范围，利用二次函数在某个闭区间上的值域进行求解，得到结果.‎ 详解：由题意，可以C为原点，分别以CB,CA为x,y轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则有，直线AB的方程为，‎ 不妨设点M,N的坐标分别为，，‎ 不妨设，由，所以，‎ 整理得，则，‎ 即 ，‎ 所以当时，取得最小值，当时，取得最大值9，‎ 所以的取值范围是，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关向量的数量积的取值范围问题，解题的关键是将其转化我关于某个量的函数解析式，从而显得建立坐标系就尤为重要，结合题的条件，得出相应的点的坐标，利用二次函数在某个闭区间上的值域来解决，在求解的过程中，一定要注意自变量的取值范围.‎ 二、填空题 ‎13．若双曲线的标准方程是，则双曲线的渐近线方程是________ ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，，∴渐近线方程为．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎14．甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。‎ 甲说：是乙做的。乙说：不是我做的。丙说：不是我做的。‎ 则做好事的是_____________.(填甲、乙、丙中的一个)‎ ‎【答案】丙 ‎【解析】假如甲说的是对的，则乙说了假话，丙说的是真话，与条件不符；假如乙说的是真话，则甲说的是假话，丙说的也是假话，符合条件；假如丙说的是真话，则甲乙二人中必有一人说的是真话，与条件不符，所以乙说的是真话，是丙做的好事.‎ 故答案为丙.‎ ‎15．在各项均为正数的等比数列中，若， ，则的值是 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】试题分析：设等比数列的公比为．∵，∴，化为，解得．∴．故答案为：4．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎16．定义在上的函数，如果，则实数a的取值范围为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先根据函数解析式，可以判断得出函数是奇函数，应用导数可以判断函数在其定义域内是减函数，下一步就是根据题意将不等式转化，化为两个函数值的大小，从而根据函数的定义域和单调性，列出其满足的不等式组，求解即可.‎ 详解：因为，所以是奇函数，‎ 又，所以是减函数，‎ 若，则有，‎ 所以有，‎ 解得，故实数的取值范围是.‎ 点睛：该题考查的是有关已知函数解析式，求解不等式的问题，在解题的过程中，需要首先根据题意，判断得出函数是奇函数，之后应用导数判断函数的单调性，下一步就是将不等式转化，将其化为两个函数值的大小，从而根据题的条件，求得结果，在找关系式的时候，需要注意定义域优先原则，先得保证函数的生存权.‎ 三、解答题 ‎17．在中，已知内角对边分别是，且.‎ ‎（1）求； （2）若， 的面积为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意利用正弦定理边化角可得，结合诱导公式和两角和差正余弦公式可得，结合三角形的性质可得 ‎(Ⅱ)由题意结合面积公式可得，然后利用角C的余弦定理得到关于c的等式，整理计算可得.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理得 又 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∴‎ ‎（Ⅱ）由面积公式可得 ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎18．某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为80,90、90,100、100,110、110,120、120,130，由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：‎ ‎（1）完成下面2×2列联表，你能有97.5的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由； ‎ 成绩小于100分 成绩不小于100分 合计 甲班 ‎50‎ 乙班 ‎ ‎ ‎50‎ 合计 ‎100‎ ‎（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是105.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分？‎ 附：‎ ‎，其中 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5. 024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）4‎ ‎【解析】分析：第一问首先应用题中的条件，结合频率分布直方图，得到相应的数据，完善列联表，之后应用公式求得观测值，之后与临界值比较大小，得到结果；第二问应用频率分布直方图中的相关数据得到对应组的人数，利用总分除以人数得到对应的平均分，进而得到两个班的平均分的差距.‎ 详解：（1） ，，，， ‎ ‎， ‎ ‎∵，‎ ‎∴有97.5的把握认为这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”‎ ‎（2）乙班各段人数分别是：‎ ‎80,90‎ ‎90,100‎ ‎100,110,‎ ‎110,120‎ ‎120,130‎ ‎4‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎1‎ 估计乙班的平均分为：‎ 两班平均分相差4分．‎ 点睛：本题是基础题，关键还在于分析、处理数据，此类题目，侧重考查的是分析能力，由于跟实际联系比较密切，所以这类题目会成为出题的趋势.‎ ‎19．如图，在三棱柱中，，，‎ 为的中点，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：第一问取AB中点为O，连接，证明，可得，又，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定证得结果；第二问求点到面的距离应用等级法求得结果.‎ 详解：（1）取中点为，连接，．‎ 因为，所以．‎ 又，，‎ 所以平面，‎ 因为平面，所以，‎ 由已知，，又，‎ 所以，因为，所以平面．‎ 又平面，所以平面平面； ‎ ‎（2）由（1）知， ，，‎ ‎，，，‎ 因为平面，所以，‎ 设到平面的距离是，则，‎ 由，得到平面的距离．‎ 点睛：该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是空间的垂直关系的证明，二是求点到平面的距离，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的内容，注意理清线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求点到平面的距离时应以三棱锥的顶点和底面可以转换，利用等级法求得结果.‎ ‎20．抛物线：上的点到其焦点的距离是.‎ ‎（1）求的方程．‎ ‎（2）过点作圆：的两条切线，分别交于两点，若直线的斜率是，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】分析：第一问利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到其准线的距离，列出等量关系式，求得p的值，进而求得抛物线的方程；第二问先设出抛物线上的两个点的坐标，应用两点斜率坐标公式，求得，利用点M的坐标，得到两条切线的斜率，之后应用过圆外一点作圆的切线，设其斜率为k，利用圆心到切线的距离等于半径，得到关于k的方程，应用两根和得到，进一步求得结果.‎ 详解：（1）的准线是，根据抛物线定义有，．‎ 故的方程是． ‎ ‎（2）设，，则，所以 因为，所以斜率，同理斜率，所以．‎ 可设经过点的圆切线方程是，即，则，得，故．‎ 因此，．‎ 点睛：该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义和抛物线的标准方程，再者有过圆外一点圆的切线方程的求法，有关直线与抛物线相较于两点的处理思路，结合题的条件，求得结果.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：；‎ ‎（3）当时，求函数在上的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】分析：第一问首先求出函数的导数，求得函数和导函数在处的函数值，结合导数的几何意义，利用直线方程的点斜式求得切线方程；第二问应用导数研究函数的单调性，找到相应的最值求得结果；第三问应用导数研究函数的单调性，分类讨论，找到函数的最值来得到结果.‎ 详解：（1）当时，，．所以，，切线方程为． ‎ ‎（2）由（Ⅰ）知，则．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．当时，函数最小值是，因此.‎ ‎（3），令，则．当时，设，因为，所以在上单调递增，且，所以在恒成立，即．‎ 当，，当，；所以在上单调递减，在上单调递增．所以在上的最大值等于．因为，．‎ 设()，所以．由（2）知在恒成立，所以在上单调递增．‎ 又因为，所以在恒成立，即，因此当时，在上的最大值为．‎ 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，应用导数研究函数单调性，从而得到函数的最值，从而证得相应的不等式，有关含有参数的问题，需要分情况讨论，从而求得结果.‎ ‎22．在极坐标系中，点坐标是，曲线的方程为 ‎；以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是的直线经过点．‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求证直线和曲线相交于两点、，并求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）3‎ ‎【解析】分析：（1）由题意得到直线的参数方程即可，根据转化公式可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）根据直线的参数方程中参数的几何意义求解可得结论．‎ 详解：（1）∵点的直角坐标是，直线倾斜角是， ‎ ‎∴直线参数方程是，即，‎ ‎∴直线的参数方程为．‎ 由得，，‎ ‎∴，‎ 将代入上式得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为． ‎ ‎（2）将代入，整理得，‎ ‎∵，‎ ‎∴ 直线的和曲线相交于两点、，‎ 设点、对应的参数分别为，‎ 则，‎ ‎∴ ．‎ 点睛：在直线的参数方程中，只有当参数的系数的平方和为1时，才有几何意义且其几何意义为：是直线上任意一点到定点的距离，即．利用此结论可解决与线段长度有关的问题．‎ ‎23．设关于的不等式．‎ ‎（1）若，求此不等式解集；‎ ‎（2）若此不等式解集不是空集，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据分类讨论法去掉绝对值号后解不等式组即可．（2）先由绝对值的三角不等式求得，于是可得满足题意．‎ 详解：（1）当时，原不等式为，‎ 等价于，或 ，或 ．‎ 解得或 或 ．‎ 综上可得．‎ ‎∴原不等式解集是． ‎ ‎（2）∵，当，即 时等号成立，‎ ‎∴当不等式解集不是空集时，需满足．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 点睛：解绝对值不等式的关键是去掉绝对值号，对于含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎