山西省长治市2020届高三上学期第二次联考 数学（理）（扫描版含答案）

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共 7 页，第 1 页 长治市 2019 年高三年级九月份统一联考（理科）数学答案 1--5 C B A D D 6----10 A B A B C 11,12 A A 13.0 14.1 15.42 16. 13 17 17.解：（Ⅰ） ( ) sin cos cos cossin sin cos f x x x x xx xx               2 13 2 3 1 2 122 2 2 312222 sin x     2 6 ……………………………………4 分 又因为 xx21的最小值为  2 ，所以 22 T  ,即 2 2T   ， 所以 1  ，即   sin 2 6f x x  ……………………………6 分 （Ⅱ） 1 2 3sin sin cos2 3 3 6 2 5f                              …………………7 分  1 5 5 5sin sin sin2 12 6 6 13f                          所以 5sin 13  ，…………………8 分 又因为 , ( , )  0 2 所以 4 12sin ,cos5 13，…………………10 分 所以   3 12 4 5 56cos cos cos sin sin 5 13 5 13 65             .…………………12 分 18.解：(1)证明 方法一 如图(1)， 过 E 作 EO⊥BC，垂足为 O，连接 OF. 由题意得⊥ABC⊥⊥DBC， 可证出⊥EOC⊥⊥FOC. 所以⊥EOC＝⊥FOC＝ ， 即 FO⊥BC. 又 EO⊥BC，EO∩FO＝O， 共 7 页，第 2 页 因此 BC⊥平面 EFO. 又 EF⊥平面 EFO，所以 EF⊥BC.……………………………6 分 方法二 由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直于 BC 的直线为 x 轴，BC 所 在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图(2)所示的空间直角 坐标系，易得 B(0,0,0)，A(0，－ 1， )，D( ，－ 1,0)，C(0,2,0)，因而 E(0， ， )， F( ， ，0)，所以 ＝( ，0，－ )， ＝(0,2,0)， 因此 · ＝0. 从而 ⊥ ，所以 EF⊥BC.……………………………6 分 (2)解 方法一 如图(1)，过 O 作 OG⊥BF，垂足为 G，连接 EG. 由平面 ABC⊥平面 BDC， 从而 EO⊥平面 BDC. 又 OG⊥BF， 由三垂线定理知 EG⊥BF. 因此⊥EGO 为二面角 E－BF－C 的平面角． 在⊥EOC 中， EO＝ EC＝ FC＝ BC. BC·cos 30°＝ ， 由⊥BGO⊥⊥BFC 知，OG＝ ·FC＝ ， 因此 tan⊥EGO＝ ＝2， 从而 sin⊥EGO＝ ， 共 7 页，第 3 页 即二面角 E－BF－C 的正弦值为 .……………………………12 分 方法二 如图(2)，平面 BFC 的一个法向量为 n1＝(0,0,1)． 设平面 BEF 的法向量为 n2＝(x，y，z)， 又 ＝( ， ，0)， ＝(0， ， )， 由 得其中一个 n2＝(1，－ ，1)． 设二面角 E－BF－C 的大小为 θ，且由题意知 θ 为锐角，则 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝ ＝ . 因此 sinθ＝ ＝ ，即二面角 E－BF－C 的正弦值为 ..…………………12 分 19.解：（Ⅰ）焦点到准线的距离为 2，即 2p  .，所以求抛物线 C 的方程为 2 4xy …2 分 （Ⅱ）抛物线的方程为 2 4xy ，即 21 4yx ，所以 1 2yx  ……………3 分 设  11,A x y ，  22,B x y ，   2 11 11: 42 xxl y x x     2 22 22: 42 xxl y x x   由于 12ll ，所以 12 122 xx   ，即 12 4xx  ……………5 分 设直线 l 方程为 y kx m，与抛物线方程联立，得 2 4 y kx m xy    所以 2 4 4 0x kx m   216 16 0km    ， 1 2 1 24 , 4 4x x k x x m      ，所以 1m  ……………7 分 即 :1l y kx 共 7 页，第 4 页 联立方程 2 11 2 22 24 24 xxyx xxyx     得 2 1 xk y    ，即：  2 , 1Mk ……………8 分 M 点到直线 l 的距离 2 22 212 1 1 11 kkkd kk     ……………9 分      222 1 2 1 21 4 4 1AB k x x x x k     ……………10 分 所以     2 3 222 2 211 4 1 4 1 42 1 k S k k k          ……………11 分 当 0k  时， M A B 面积取得最小值 4. ……………12 分 20. （1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为 ， .……………………………2 分 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C3 1푝(1 − 푝)2[1 − (1 − 푝)2]， .……………………………3 分 所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 . ……5 分 （2）设每篇学位论文的评审费为 元，则 的可能取值为 900，1500. ， ， .……………………………7 分 所以 . .……………………………8 分 令 共 7 页，第 5 页 ..……………………………9 分 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减, 所以 的最大值为 . .……………………………11 分 所以实施此方案，最高费用为 （万元）. 综上，若以此方案实施，不会超过预算. ……12 分 21.解：（ 1） 2 2 '( ) (2 1) [ ( 1) 1] [ ( 1) ] ( )( 1) xx xx f x x a e x a x e x a x a e x a x e               …………1 分 当 1a  时， ' ( ) 0fx ，解得 1,x x a   或 ， ' ( ) 0fx ，解得 1ax    ， ∴f(x)在( , ),( 1, )a    上是增函数，在( , 1)a上是减函数； …………2 分 当 1a  时， ' ( ) 0fx ，解得 ,1x a x   或 ， ' ( ) 0fx ，解得 1 xa    ， ∴f(x)在( , 1),( , )a    上是增函数，在 ( 1, ) a 上是减函数； …………3 分 当 1a  时， ' ( ) 0fx 恒成立，且只在 1x  时 ' ( ) 0fx ，∴f(x)在 R 上是增函数. …4 分 （2） R、 时，sin [ 1,1]、cos ， 若要 R、 使得 (sin ) (cos ) 1gf   成立， 只需 [ 1,1]x  时， max min( ) ( ) 1g x f x   成立， …………5 分 由（1）知当 1a  时，f(x)在[ 1,1] 上是增函数， min 3( ) ( 1) af x f e    ， …………6 分 当 11a   时，f(x) 在[ 1, ]a 上是减函数，在[ ,1]a 上是增函数， min 1( ) ( ) a af x f a e    ， …………7 分 当 1a  时，f(x)在[ 1,1] 上是减函数， min( ) (1) ( 1)f x f a e   ， …………8 分 共 7 页，第 6 页 2( ) 2 2g x x a x a    ，对称轴 xa ， 当 1a  时，g(x)在 [ 1,1] 上是增函数， max( ) (1) 4 1g x g a   ， max min 3( ) ( ) 4 1 1ag x f x a e       ，解得 3 41a e  ∴ 1a  …………9 分 当 11a   时，g(x) 在 [ 1, ] a 上是增函数，在 [ ,1]a 上是减函数， 2 max( ) ( ) 2g x g a a a   ， 2 max min 1( ) ( ) 2 1a ag x f x a a e       整理得 (1 )[(1 ) 1] 0 a a a a e e     ，∵ 11a   ，∴只需 (1 ) 1 0 aae   ， 令 ( ) ( 1 ) 1 xh x x e    ， ' ( ) (2 ) xh x x e  ，当 11x   时， ' ( ) 0hx ， ()hx 在 ( 1,1) 上 是增函数，又 (0 ) 0h  ，∴ 0a  时， ( ) 0ha  ，∴ 01a …………11 分 当 1a  时，g(x)在 [ 1,1] 上是减函数， max( ) ( 1 ) 1g x g     ， max min( ) ( ) 1 ( 1) 1g x f x a e       ，解得 1a  综上所述， 0a  或 1a  …………12 分 22.解：（1）由题意：曲线 的直角坐标方程为 ．.……………4 分 （2）设直线 的参数方程为 cos 1 sin xt yt        （ 为参数）代入曲线 的方程有： ，.……………………6 分 设点 对应的参数分别为 ，则 ， 则 ， ，.…………………8 分 ∴ ，∴直线 的方程为 ．.……………………………10 分 23.解：(1)当 a＝－3 时，f(x)＝    －2x＋5，x≤2， 1，2

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