2018-2019学年陕西省渭南市蒲城县高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年陕西省渭南市蒲城县高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年陕西省渭南市蒲城县高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．直线l：y＝x﹣6的倾斜角为（　　　　）‎ A．π B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接由斜率求出倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 解：设倾斜角为，‎ 则，又，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题.‎ ‎2．已知集合M＝{﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|0≤x≤2}，则M∩N＝（　　　　）‎ A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{0，1}‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接通过M和N，求M∩N即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为M＝{﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|0≤x≤2}，‎ 所以M∩N＝{0，1，2}，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集，是基础题.‎ ‎3．若直线l的斜率为2，且在y轴上的截距为﹣2，则直线l的方程为（　　　　）‎ A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+1 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x+2‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接由直线的斜截式方程得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：因为直线l的斜率为2，且在y轴上的截距为﹣2，‎ 所以直线l的方程为y＝2x﹣2，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的斜截式方程，是基础题.‎ ‎4．如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，那么△ABC是（　　　　）‎ A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，即可判断出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：根据斜二测画法中平行于坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半， ∴直观图△A'B'C'的原来图形△ABC是直角三角形，且AC＝2AB，不是等腰直角三角形. 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了斜二测画法与应用问题，是基础题.‎ ‎5．直线l1：3x+4y﹣7＝0与直线l2：3x+4y+1＝0之间的距离为（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】运用两平行直线的距离公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：直线l1：3x+4y﹣7＝0与直线l2：3x+4y+1＝0是平行线， 则由两平行直线的距离公式可得 ‎， 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎6．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 ‎【答案】A ‎【解析】作出几何体的直观图进行判断 ‎【详解】‎ 由于三视图均为三角形，作出几何体的直观图如图所示，故几何体为三棱锥 故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道基础图，主要考查了简单空间图形的三视图，作出几何体的直观图即可得到答案 ‎7．圆与圆的位置关系是（　　　　）‎ A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 ‎【答案】A ‎【解析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距，与半径和与差比较得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：圆的圆心坐标为，半径为2； 圆的圆心坐标为，半径为7. ； ∴圆与圆的位置关系是内切. 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆与圆位置关系的判定，考查两点间距离公式的应用，求出圆心距与半径和与差的关系是解题的关键，是基础题.‎ ‎8．已知实数满足，且，则　　‎ A． B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，可得，从而得，解出的值即可得结果．‎ ‎【详解】‎ 实数满足，故，‎ 又由得：，‎ 解得：，或舍去，‎ 故，‎ ‎，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是指数的运算与对数的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．‎ ‎9．若一个圆柱的轴截面是面积为的正方形，则这个圆柱的侧面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设圆柱的底面半径为，可得知其高为，根据轴截面的面积计算出的值，即可计算出圆柱的侧面积.‎ ‎【详解】‎ 设圆柱的底面半径为，则该圆柱的母线长为，‎ 由于该圆柱的轴截面面积为，‎ 因此，该圆柱的侧面积为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆柱侧面积的计算，解题时要计算出圆柱底面半径和母线这两个基本量，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎10．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，则下列说法正确的是（　　　　）‎ A．若m⊥l，则m⊥α B．若m∥l，则m∥α C．若l∥β，则β∥α D．若l⊥β，则β⊥α ‎【答案】D ‎【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个命题得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：对于A，由l⊂α，m⊥l，得m∥α或m⊂α或m与α相交，故A错误； 对于B，由l⊂α，m∥l，得m∥α或m⊂α，故B错误； 对于C，由l⊂α，l∥β，得β∥α或β与α相交，故C错误； 对于D，由l⊂α，l⊥β，结合面面垂直的判定可得β⊥α，故D正确. 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.‎ ‎11．若函数在（﹣∞，0）上有零点，则实数a的取值范围为（　　　　）‎ A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．R ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知在（−∞，0）上有零点，结合函数在（−∞，0）上单调性可求.‎ ‎【详解】‎ 解：∵在（−∞，0）上有零点， ∴‎ 在（−∞，0）上有零点， 由于函数在（−∞，0）上单调递增， ， 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数零点存在条件的应用，体现了转化思想的应用，属于基础试题.‎ ‎12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（　　　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】①由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得答案； ②由正方体的性质得 AC⊥BD，，⊥BD，再利用线面垂直可得答案. ③由正方体的性质得 BD∥，并且结合②可得⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面；所以①正确. 由正方体的性质得 AC⊥BD，⊥BD，可得⊥平面 ，所以⊥BD，所以②正确.‎ ‎　　　　 由正方体的性质得 BD∥，由②可得⊥BD，所以⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到：⊥平面 ，所以③正确. 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与有关的判定定理，本题考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．直线l1：x﹣y＝0与直线l2：x+y﹣2＝0的交点坐标为_____．‎ ‎【答案】（1，1）‎ ‎【解析】联立，能求出直线l1：x﹣y＝0与直线l2：x+y﹣2＝0的交点坐标.‎ ‎【详解】‎ 联立，得，‎ ‎∴直线l1：x﹣y＝0与l2：x+y﹣2＝0的交点坐标为（1，1）.‎ 故答案为：（1，1）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两直线的交点坐标的求法，是基础题.‎ ‎14．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）＝x2﹣x+1，则f（﹣2）+f（0）＝_____．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】结合已知函数解析式及f（x）为奇函数代入可求.‎ ‎【详解】‎ 奇函数f（x）满足当x＞0时，f（x）＝x2﹣x+1，‎ 则f（﹣2）+f（0）＝﹣f（2）+f（0）＝﹣3+0＝﹣3，‎ 故答案为：-3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇函数的应用以及函数的函数值的求解，属于基础试题.‎ ‎15．已知圆（x+1）2+（y﹣1）2＝2﹣m截直线x+y+2＝0所得弦的长度为2，则实数m＝_____．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝2﹣m，‎ 则圆心坐标为（﹣1，1），半径r；‎ ‎∵圆（x+1）2+（y﹣1）2＝2﹣m截直线x+y+2＝0所得弦的长度为2；‎ ‎∴圆心到直线的距离d，解得r2＝3⇒m＝﹣1，‎ 故答案为：-1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决本题的关键.‎ ‎16．我国古代数学名著《増删算法统宗》有如下问题：有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意是：有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是_____斤．（注：π≈3，结果两位小数）‎ ‎【答案】123.23‎ ‎【解析】根据题给信息将实际问题转化为数学问题，代入相应体积公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：空心金球体积可用大体积减小体积，设大半径为R，小半径为r， 则R＝6，r＝5.7， 所以空心金球体积为， 因为1立方寸金重1斤，所以金球重123.23斤. 故答案为：123.23.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的体积，考查空心球的问题，考查实际问题的审题能力，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线，直线．‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据两直线垂直得出关于实数的方程，解出即可；‎ ‎（2）根据两直线平行得出关于实数的方程，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，已知直线，直线，‎ 若，必有，即，解得；‎ ‎（2）若，必有，整理得，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用两直线平行与垂直求参数，解题时要结合两直线的位置关系列出方程或不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18．已知函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，6）．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）求使f（x）≥0成立的x的取值范围．‎ ‎【答案】（1）f（x）＝3x+1﹣3；（2）[0，+∞）．‎ ‎【解析】（1）将点（1，6）代入即可得解； （2）利用指数函数的性质直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，6），‎ ‎∴a1+1﹣3＝6，解得a＝3，‎ ‎∴函数f（x）的解析式为f（x）＝3x+1﹣3；‎ ‎（2）由f（x）≥0，得3x+1﹣3≥0，即3x+1≥3，‎ ‎∴x+1≥1，得x≥0，‎ ‎∴f（x）≥0的解集为[0，+∞）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝lg（x+1）．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）在给出的坐标纸上画出函数f（x）的图象；‎ ‎（3）求f（x）在区间[﹣2，9]上的值域．‎ ‎【答案】（1）f（x）；（2）见解析；（3）[0，1]‎ ‎【解析】（1）结合已知区间上的函数解析式及偶函数的定义可求； （2）结合对数函数的图象即可作出函数f（x）的图象； （3）由图象可知，f（x）的单调性，然后结合单调性可求函数的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝lg（x+1），‎ 当x＜0时，﹣x＞0，‎ 则f（﹣x）＝lg（﹣x+1）＝f（x），‎ 故f（x）；‎ ‎（2）函数f（x）的图象如图所示，‎ ‎；‎ ‎（3）由图象可知，f（x）在[﹣2，0]上单调递减，[0，9]上单调递增，‎ 故当x＝0时，函数取得最小值0，当x＝9时，函数取得最大值1，‎ 故f（x）在区间[﹣2，9]上的值域[0，1]‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用偶函数的定义求解函数解析式及函数值域的求解，体现了数形结合思想的应用.‎ ‎20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个侧面均是边长为2的正方形，O为BC1与B1C的交点，D为AC的中点．求证：‎ ‎（1）AB1∥平面BC1D；‎ ‎（2）BD⊥平面ACC1A1．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】（1）推导出OD∥AB1，由此能证明AB1∥平面BC1D. （2）推导出BD⊥AC，AA1⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACC1A1.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个侧面均是边长为2的正方形，‎ O为BC1与B1C的交点，‎ ‎∴O是B1C的中点，∵D为AC的中点.∴OD∥AB1，‎ ‎∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，‎ ‎∴AB1∥平面BC1D.‎ ‎（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个侧面均是边长为2的正方形，D为AC的中点.‎ ‎∴BD⊥AC，AA1⊥BD，‎ ‎∵AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面ACC1A1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.‎ ‎21．已知直线l经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3），圆C1的圆心在直线l上，且圆C1与y轴相切于点（0，3），圆C1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣3y+5＝0相交于M、N两点．‎ ‎（1）求直线l与圆C1的方程；‎ ‎（2）求圆C1与圆C2的公共弦MN的长．（提示：对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程．）‎ ‎【答案】（1）y＝x﹣1．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16；（2）2‎ ‎【解析】（1）求出过两点（2，1）与（−2，−3）的直线方程，与直线y＝3联立求得圆心坐标，再求得圆的半径，可得圆C1的方程； （2）求出两圆的公共弦所在直线方程，再由垂径定理求弦长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为，‎ ‎∴‎ 即y＝x﹣1.‎ 由题意可得，圆心在直线y＝3上，‎ 联立，解得圆心坐标为（4，3），‎ 故圆C1的半径为4.‎ 则圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16；‎ ‎（2）∵圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16，‎ 即x2+y2﹣8x﹣6y+9＝0，‎ 圆C2：x2+y2﹣6x﹣3y+5＝0，‎ 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为2x+3y﹣4＝0.‎ 圆C1的圆心（4，3）到直线2x+3y﹣4＝0的距离d.‎ ‎∴两圆的公共弦MN的长为22.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题.‎ ‎22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBC⊥平面ABCD，∠BCD，BC⊥PD，PE⊥BC．‎ ‎（1）求证：PC＝PD；‎ ‎（2）若底面ABCD是边长为2的菱形，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求点B到平面PCD的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）．‎ ‎【解析】（1）通过证明BC⊥平面PDE来得到BC⊥DE，从而得到ED＝EC，则Rt△PED≌Rt△PEC，即可征得PC＝PD；‎ ‎（2）先分别求出ED＝EC，找到PE是四棱锥P−ABCD的高.再根据四棱锥P−ABCD的体积为，求得PE，从而得到PC＝PD＝2.然后利用等体积VB﹣PCD＝VP﹣BCDVP﹣ABCD，来求得点B到平面PCD的距离.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：由题意，BC⊥PD，BC⊥PE，‎ ‎∴BC⊥平面PDE，‎ ‎∵DE⊂平面PDE，‎ ‎∴BC⊥DE.‎ ‎∵∠BCD，∠DEC，‎ ‎∴ED＝EC，‎ ‎∴Rt△PED≌Rt△PEC，‎ ‎∴PC＝PD.‎ ‎（2）解：由题意，底面ABCD是边长为2的菱形，则ED＝EC，‎ ‎∵平面PBC⊥平面ABCD，PE⊥BC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，‎ ‎∴PE⊥平面ABCD，即PE是四棱锥P﹣ABCD的高.‎ ‎∴VP﹣ABCD2PE，解得PE.‎ ‎∴PC＝PD＝2.‎ 设点B到平面PCD的距离为h，‎ ‎∵VB﹣PCD＝VP﹣BCDVP﹣ABCD，‎ ‎∴2×2×sin60°×h，‎ ‎∴h.‎ ‎∴点B到平面PCD的距离是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间立体几何中线面垂直，三角形全等来证明对应边相等，以及等体积法求点到面的距离，本题考查了逻辑推理能力，几何计算能力.本题属中档题.‎