天津市河东区2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

天津市河东区2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷 一、选择题．‎ ‎1.复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简即可．‎ 详解】，‎ 则．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎2.下列各式化简正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据向量的加减运算，逐个进行判断即可求解结论．‎ ‎【详解】解：因为，故错误；‎ ‎，故正确；‎ ‎，故错误；‎ ‎，故错误.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的加减法基本运算，属于基础题．‎ ‎3.已知向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，故选B.‎ 考点：本题考查平面向量坐标运算，属于容易题.‎ ‎4.下列命题中正确的有（ ）‎ ‎①一个棱柱至少有5个平面；‎ ‎②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；‎ ‎③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；‎ ‎④正方形的直观图是正方形；‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用棱柱的定义判断①的正误；利用正棱锥的定义判断②；棱台的侧棱所在的直线必交于一点判断③的正误；正方形的直观图判断④的正误即可．‎ ‎【详解】解：①因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故①正确；‎ ‎②正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，‎ 射影侧面都是全等的等腰三角形，故②正确；‎ ‎③不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点；‎ ‎④正方形的直观图是平行四边形，所以④不正确；‎ 正确的命题只有①②．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及棱锥、棱柱、棱台以及直观图的基本知识，考查对概念的理解．‎ ‎5.已知，，，则（ ）‎ A. ，，三点共线 B. ，，三点共线 C. ，，三点共线 D. ，，三点共线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的线性运算与共线定理，证明与共线，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 与共线，‎ ‎、、三点共线．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，属于基础题．‎ ‎6.在中，角所对的边分别为，已知，则边为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到，再由三角形的面积求得的值，再利用余弦定理即可求得的值．‎ ‎【详解】解：由题可知，，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即：，‎ 解得：，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用，以及利用余弦定理解三角形，考查计算能力．‎ ‎7.在中，向量和满足，则为（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 三边不等的三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中，，代入已知式子中，化简得，所以为等腰三角形．‎ ‎【详解】解：中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 为等腰三角形．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查三角形形状的判断，以及平面向量的线性运算的应用．‎ ‎8.在中，角所对的边分别为，，则角为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中利用正弦定理求出角，再利用三角形内角和，即可求出角．‎ ‎【详解】解：在中，，‎ 由正弦定理得：，即，‎ ‎，‎ ‎，，又，‎ 或，‎ 或.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，考查了计算能力．‎ ‎9.已知等边的边长为1，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系．‎ ‎【详解】解：因为三角形是等边三角形，边长为1，各内角为，‎ 所以.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或者互补．‎ ‎10.如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样四面体得到的，如果正方体的棱长是，那么石凳的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案．‎ ‎【详解】解：由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，‎ 体积是：，‎ 正方体的体积为：，‎ 则石凳的体积是：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查正方体与三棱锥体积的求法，是基础的计算题．‎ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）‎ ‎11.计算复数_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】解：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎12.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题.‎ ‎13.等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．‎ ‎【详解】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的结构特征和体积公式，属于基础题．‎ ‎14.如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退‎20米 到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设，则，，则，∴，故答案为.‎ ‎15.在复平面内，复数与对应的向量分别是，其中O是原点，则向量的坐标为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得的坐标，再由向量的坐标减法求解．‎ ‎【详解】由题意，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴向量的坐标为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，考查向量的坐标减法运算，是基础题．‎ ‎16.平面向量两两夹角都相等，且，则____________.‎ ‎【答案】5或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是或 ‎，由于三个向量的模已知，当两两夹角为时，直接算出结果；当两两夹角为时，采取平方的方法求三个向量的和向量的模．‎ ‎【详解】解：因为由题意三个平面向量两两夹角相等，‎ 可得任意两向量的夹角是或，‎ 当两两夹角时，方向相同，则；‎ 当两两夹角时，由于，‎ 则：‎ ‎，‎ 即：，，‎ 综上得：或.‎ 故答案为：5或．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.‎ 三、解答题：（5个题，共46分）‎ ‎17.当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？‎ ‎（1）复数实数；‎ ‎（2）复数纯虚数；‎ ‎（3）复平面内，复数对应的点位于直线上.‎ ‎【答案】（1）或；（2）；（3）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由虚部为0，求解值；‎ ‎（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值；‎ ‎（3）由实部与虚部的和为0，列式求解值．‎ ‎【详解】解：由题可知，复数，‎ ‎（1）当为实数时，则虚部为0，‎ 由，解得：或；‎ ‎（2）当纯虚数时，实部为0且虚部不为0，‎ 由，解得：；‎ ‎（3）当对应的点位于直线上时，则，‎ 即：实部与虚部的和为0，‎ 由，解得：或．‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．‎ ‎18.已知向量,.‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）-1；（2）-11.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行的性质，求出的值；‎ ‎（2）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量垂直的性质，求出的值．‎ ‎【详解】解：（1）已知向量，，‎ ‎，，，‎ 若，则，‎ 解得：．‎ ‎（2）若，‎ 则 ‎.‎ 解得：．‎ ‎【点睛】本题考查两个向量坐标形式的运算，根据两个向量垂直、平行的坐标运算求参数值，考查计算能力．‎ ‎19.在中，角所对的边分别为，.‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若，且的面积为2，求边的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理结合，可得，从而求出角；‎ ‎（2）由三角形面积求出，代入余弦定理求得，从而得出．‎ ‎【详解】解：（1），‎ 由正弦定理得：，‎ 又，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，又，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，还涉及三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式，考查了计算能力．‎ ‎20.已知 是夹角为的单位向量，且，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求与的夹角．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题知，由向量的数量积公式进行运算即可，注意，在去括号的向量运算过程中可采用多项式的运算方法；（2）根据向量数量积公式，可先求出的值，又，从而可求出的值.‎ 试题解析：（1）‎ ‎ = ‎ ‎ = ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.在海岸处，发现北偏东方向，距离为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距离为海里的处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向北偏东方向逃窜.‎ ‎（1）问船与船相距多少海里？船在船的什么方向？‎ ‎（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.‎ ‎【答案】（1），船在船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中根据余弦定理计算，再利用正弦定理计算即可得出方位；‎ ‎（2）在中，利用正弦定理计算，再计算得出追击时间．‎ ‎【详解】解：（1）由题意可知，，，‎ 在中，由余弦定理得：，‎ ‎，‎ 由正弦定理得：，‎ 即，‎ 解得：，‎ ‎，‎ 船在船的正西方向．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 设小时后缉私艇在处追上走私船，‎ 则，，‎ 在中，由正弦定理得：，‎ 解得：，‎ ‎，‎ 是等腰三角形，‎ ‎，即．‎ 缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船．‎ ‎【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．‎