江苏省南京十三中、中华中学2020届高三下学期联合调研数学试题 Word版含解析

江苏省南京十三中、中华中学2020届高三下学期联合调研数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 南京十三中、中华中学2020届高三年级第二学期联合调研 数学试题 第一卷 必做题（160分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1.已知集合，则________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集的定义，即得解.‎ ‎【详解】集合 根据交集定义，‎ ‎【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎2.已知复数，则复数的虚部为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算，化简得，进而求得复数的虚部，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为____.‎ ‎【答案】9‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抽样比，由此可求出高三年级应抽取的学生人数.‎ ‎【详解】解：由题意可得：抽样比，‎ 故高三年级应抽取的学生人数为：，‎ 故答案为：9.‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样的相关知识，求出抽样比是解题的关键.‎ ‎4.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=-1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．解：x=8＞0，执行循环体，x=x-3=5-3=2＞0，继续执行循环体， x=x-3=2-3=-1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5-1=（）-1=2．故答案为2‎ 考点：当型循环结构 点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．‎ - 23 -‎ ‎5.函数的定义域是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．‎ ‎【详解】由，得且． 函数的定义域为：； 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．‎ ‎6.小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先求出基本事件总数，A、B,2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是A、B 2首歌曲都没有被播放，由此能求出A、B ,2首歌曲至少有1首被播放的概率．‎ 详解：小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，基本事件总数，A、B 2首歌曲都没有被播放的概率为：，故A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是1-，故答案为 点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎7.已知双曲线的右焦点与抛物线 - 23 -‎ 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点坐标，根据题意可以知道双曲线的右焦点坐标，结合双曲线标准方程中之间的关系求出的值，最后利用双曲线的渐近线方程进行求解即可.‎ ‎【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以双曲线的右焦点也是，即，而，所以该双曲线的渐近线方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，考查了抛物线的焦点，考查了数学运算能力.‎ ‎8.设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是_________‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数奇偶性和单调性之间的关系得到不等式和的解，然后将不等式 转化为或进行求解.‎ ‎【详解】‎ - 23 -‎ 是奇函数，且在内是增函数，‎ 在内是增函数，‎ ‎，‎ 则当或时，，‎ 当或时，，‎ 则不等式等价为：，①或，②‎ 由①得，解得，‎ 由②得得，解得，‎ 综上，或，故答案为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.‎ ‎9.若数列为等差数列，且，则的值等于 ________．.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，故答案24.‎ ‎10.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为__________.‎ - 23 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意正方形中，为的中点，‎ 可知：．‎ 则的值为：．‎ 故答案为 ‎11.已知圆：， 圆：. 若圆上存在点，过点作圆的两条切线. 切点为，使得，则实数的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得问题转化为圆和圆有公共点，从而根据几何法即可求出答案．‎ ‎【详解】解：已知有，即点的轨迹方程为圆：，‎ 问题转化为圆和圆有公共点，‎ 则，故，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆和圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎12.已知，，，则的最小值为______．‎ - 23 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，,由条件可得，而代换后用均值不等式求最小值.‎ ‎【详解】解：令，，则已知得，，且．‎ ‎，‎ 当且仅当，时等号成立，此时．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用均值不等式求最小值，利用换元法化简变形是本题的难点，属于难题.‎ ‎13.已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用正弦定理边化角，得，再结合诱导公式和内角和代换，进而求得最值 ‎【详解】由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，，‎ 即 则，‎ 当且仅当时取到等号；‎ - 23 -‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题 ‎14.已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图象，求出方程的根，分类讨论的正负，数形结合即可.‎ ‎【详解】当时，令，解得，‎ 所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，‎ 当时，单调递减，且，‎ 作出函数的图象如图：‎ ‎（1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件；‎ ‎（2）若，则当时，方程整理得，‎ 则，，此时各有1解，‎ - 23 -‎ 故当时，方程整理得，‎ 有1解同时有2解，即需，，因为（2），故此时满足题意；‎ 或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立；‎ 或有3解同时有0解，根据图象不存在此种情况，‎ 或有0解同时有3解，则，解得，‎ 故，‎ ‎（3）若，显然当时，和均无解，‎ 当时，和无解，不符合题意．‎ 综上：的范围是，‎ 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB=bsin2A.‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若a=5，△ABC的面积为，求△ABC的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）12.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理可得：sinAsinB=2sinBsinAcosA，可得的值，可得角A的大小；‎ ‎（2）由△ABC的面积为及角A的值，可得的值，由余弦定理可得的值，可得△ABC的周长.‎ - 23 -‎ ‎【详解】解：（1）由asinB=bsin2A及正弦定理，得sinAsinB=2sinBsinAcosA，‎ 因为sinA>0，sinB>0，所以， ‎ 又，所以.‎ ‎（2）由△ABC的面积为，得，‎ 又，所以.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得，‎ 因为a=5，所以，‎ 所以， ‎ 所以，即△ABC的周长为12.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，注意灵活运用定理解题.‎ ‎16.如图，在直三棱柱中，，点M为棱的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明，利用线面平行判定定理，即可证得结论；‎ ‎（2）证明，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ - 23 -‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）证明同理可知，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵M是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直的判定定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎17.某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m，在点P处有一灯塔（如图），且点P到BC，CD的距离都是1200m，现拟将养殖区ACD分成两块，经过灯塔P增加一道分隔网EF，在△AEF内试验养殖一种新的水产品，当△AEF的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小．设AE=d．‎ ‎（1）若P是EF的中点，求d的值；‎ ‎（2）求对原有水产品养殖的影响最小时的d的值，并求△AEF面积的最小值． ‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）480; （2）对原有水产品养殖的影响最小时，d=480．△AEF面积的最小值为192000 m2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立平面坐标系，求出直线AD，AC的方程，根据P为EF的中点列方程得出E点坐标，从而可计算d；‎ ‎（2）根据基本不等式得出AE•AF的最小值，进而求出△AEF的面积最小值．‎ ‎【详解】解：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则C（800，1600），B（800，0），P（-400，400），D（-3200，1600）．‎ AC所在直线方程为y=2x，AD所在直线方程为y=-x．‎ 设E（-2m，m），F（n，2n），m＞0，＞0．‎ ‎∵P是EF的中点，∴，解得，‎ ‎∴E（-960，480），‎ ‎∴d=|AE|==480．‎ ‎（2）∵EF经过点P，∴kPE=kPF，‎ 即=，化简得80m+240n=mn．‎ 由基本不等式得：mn=80m+240n≥160，‎ 即mn≥76800，当且仅当m=3n=480时等号成立．‎ ‎∵kAC•kAD=-1，∴AC⊥AD，‎ ‎∴S△AEF=AE•AF=m•n=mn≥76800=192000，‎ - 23 -‎ 此时E（-960，480），d=AE=480．‎ 故对原有水产品养殖的影响最小时，d=480．△AEF面积的最小值为192000 m2．‎ ‎【点睛】本题考查了直线方程的应用，基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段的中点，且.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）已知，四边形内接于椭圆，.记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，由M为线段的中点得，再根据向量的数量积坐标运算得，结合，可求得离心率；‎ ‎（2）根据，故可设的方程为，设，直线，的斜率分别用坐标和表示，再进行计算，即可得答案.‎ ‎【详解】（1），由M为线段的中点得.‎ 所以.‎ - 23 -‎ 因为，所以，‎ 整理得，即.‎ 因为，所以，即.‎ 所以椭圆离心率.‎ ‎（2）由得，故椭圆方程为.‎ 从而，直线的斜率为.‎ 因为，故可设的方程为，设.‎ 联立，消去y，得，‎ 所以，从而.‎ 直线的斜率，直线的斜率，‎ 所以 ‎，‎ 即为定值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ - 23 -‎ ‎19.已知函数，.‎ ‎（1）若曲线在处的切线恰与曲线相切，求a的值；‎ ‎（2）不等式对一切正实数x恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）已知，若函数在上有且只有一个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）或或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出切线方程后，再与二次函数联立，利用判别式为0，即可求得的值；‎ ‎（2）将问题转化为对任意的恒成立，再利用参变分离和构造函数，即可得答案；‎ ‎（3）由题意得，，对分和两种情况讨论，从而求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，又切点为，‎ 因此曲线在处的切线为，‎ 将与联立，消去y得：，‎ 由题意知，‎ 解得.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 即，‎ 设，‎ 则，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ - 23 -‎ 因此，‎ 所以，即.‎ ‎（3），，‎ ‎①当时，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 所以，‎ 当，即时，‎ 因为，‎ 又，‎ 所以在上存在唯一的零点，‎ 因此在上无零点，所以即，解得 又，所以 当，即时，有唯一的零点.‎ 当，即时，恒成立，所以无零点.‎ ‎②当时，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 因为，所以当，无零点.‎ 设，则，于是，‎ 又，‎ 所以在上存在唯一的零点，即在上有且只有一个零点，‎ - 23 -‎ 综上可知，或或.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎20.已知数列的各项均为正数，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，且.‎ ‎（1）求值； ‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）若，且成等比数列，求k和t的值.‎ ‎【答案】（1）1（2）.（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令代入递推关系，即可求得的值；‎ ‎（2）连续两次利用“临差法”，即多递推一项再相减，从而构造出这一递推关系，再利用等比数列通项公式，即可得答案；‎ ‎（3）由（2）可知，由成等比数列，可得，即，再根据等式两边奇、偶数的特点，推理得到k和t的值.‎ ‎【详解】（1）由，得，即.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为，①‎ 所以，②‎ ‎②－①，得.‎ 因为，‎ 所以，③‎ - 23 -‎ 所以，④ ‎ ‎④－③，得，即，‎ 所以当时，.‎ 又由，得，‎ 即.‎ 因为，所以，所以，所以对，都有成立， ‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（3）由（2）可知.‎ 因为成等比数列，‎ 所以，即，‎ 所以，即.‎ 由于，所以，即.‎ 当时，，得.‎ 当时，由，得为奇数，‎ 所以，即，代入(*)得，即，此时k无正整数解.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推关系的应用、等比数列中项性质、数列中的推理问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ 第二卷 附加题（40分）‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎[选修4－2：矩阵与变换]‎ - 23 -‎ ‎21.已知矩阵的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量是.求矩阵M的另一个特征值以及它的逆矩阵.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将特征值于特征向量代入，可得关于方程，可得的值，求出矩阵,可求出其另一个特征值，可得其逆矩阵.‎ ‎【详解】解：由题意，λ＝2是矩阵M的一个特征值，所以，‎ 所以， ‎ 所以， ‎ 由方程. ‎ 所以或，‎ 所以M的另一个特征值－2. ‎ 又因为，‎ 所以矩阵M的逆矩阵为.‎ ‎【点睛】本题主要考查矩阵与逆矩阵的相关知识，属于矩阵的特征值与特征向量的相关知识并灵活运用是解题的关键.‎ ‎[选修4－4：坐标系与参数方程] ‎ ‎22.在极坐标系中，求曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 将曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，从而求得对称曲线的直角坐标方程，再转化成极坐标方程.‎ ‎【详解】以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，‎ 则曲线的直角坐标方程为，且圆心C为.‎ 直线的直角坐标方程为，‎ 因为圆心C关于的对称点为，‎ 所以圆心C关于的对称曲线为.‎ 所以曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎23.某班图书角有文学名著类图书5本，学科辅导书类图书3本，其它类图书2本，共10本不同的图书，该班从图书角的10本不同图书中随机挑选3本不同图书参加学校活动.‎ ‎（1）求选出的三本图书来自于两个不同类别的概率；‎ ‎（2）设随机变量X表示选出的3本图书中，文学名著类本数与学科辅导类本数差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选出的三本书共有种，再利用古典概型概率求解；‎ ‎（2）由题意得的所有可能取值为，再通过概率计算可得：，，，，从而写出分布列和计算期望值.‎ ‎【详解】（1）选出的三本书共有种，‎ 记选出的三本书来自于两个不同类别为事件 - 23 -‎ 则.‎ ‎（2）由题意得的所有可能取值为 ‎，，，，‎ X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查计数原理和离散型随机变量分布列和期望，考查逻辑推理能力、数据处理能力.‎ ‎24.已知为给定的正整数，设，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二项式定理可求出和的值；‎ ‎（2）利用组合数公式得出，可得出，然后利用二项式定理即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，；‎ - 23 -‎ ‎（2）当时，，‎ 又因为， ‎ 当时，； ‎ 当时，‎ ‎，当时，也符合.‎ 所以的值为.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式定理化简求值，解题的关键就是二项展开式通项和二项式定理的逆用，考查计算能力，属于中等题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎