【推荐】专题12-1+复数-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

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真题回放 ‎1.【2017北京，文2】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【考点】复数的运算 ‎【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.‎ ‎2.【2017天津，文9】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：为实数，‎ ‎3. 【2017浙江，12】已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ，ab= ．‎ ‎【答案】5，2‎ ‎【解析】试题分析：由题意可得，则，解得，则 ‎【考点】复数的基本运算和复数的概念 ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 复数的概念　　‎ B 复数的四则运算　　‎ B 复数的几何意义　　‎ A ‎1.利用复数与复平面内的点是一一对应关系，利用点所在的象限解题是近几年高考的热点．‎ ‎2.复数与从原点出发的向量是一一对应的关系，根据向量的几何意义，利用复数加法和减法的几何意义解题． ‎ ‎3.题型以选择题和填空题为主，属于基础题 知识链接 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．(i为虚数单位)‎ ‎(2)分类：‎ 满足条件(a，b为实数)‎ 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0‎ a＋bi为虚数⇔b≠0‎ a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0‎ ‎(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．‎ ‎2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R ‎(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．‎ 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.‎ 融会贯通 题型一　复数的概念 例1　(1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　)‎ A．3，－2 B．3,2‎ C．3，－3 D．－1,4‎ ‎(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎(3)(2016·天津)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)A　(3)1‎ 引申探究 ‎1．将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a，b的值．‎ ‎【答案】a＝5，b＝－1.‎ ‎【解析】　(1＋i)(2－3i)‎ ‎＝2＋3－i＝5－i＝a＋bi，‎ 所以a＝5，b＝－1.‎ ‎2．将本例(3)中的条件“(1＋i)z＝2”改为“(1＋i)3z＝2”，求z的实部．‎ ‎【答案】－.‎ ‎【解析】　z＝＝＝－－i，‎ ‎∴z的实部为－.‎ 解题技巧与方法总结　‎ ‎　解决复数概念问题的方法及注意事项 ‎(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程 (不等式)组即可．‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．‎ ‎【变式训练】(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(　　)‎ A．1B．iC.D．0‎ ‎(2)如果复数是实数，则实数m等于(　　)‎ A．－1B．1C．－D. ‎【答案】　(1)A　(2)A 题型二　复数的运算 命题点1　复数的乘法运算 例2　(1)(2016·四川)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2等于(　　)‎ A．0B．2C．2iD．2＋2i ‎(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于(　　)‎ A．1B.C.D．2‎ ‎(3)(2015·课标全国Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a等于(　　)‎ A．－1B．0C．1D．2‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B　(3)B 命题点2　复数的除法运算 例3　(1)(2016·全国丙卷)若z＝1＋2i，则等于(　　)‎ A．1B．－1C．iD．－i ‎(2)(2016·北京)复数等于(　　)‎ A．iB．1＋iC．－iD．1－i ‎(3)()6＋＝________.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A　(3)－1＋i ‎【解析】　(1)z＝1＋2i，z＝5，＝i.‎ ‎(2)＝＝＝i.‎ ‎(3)原式＝[]6＋ ‎＝i6＋＝－1＋i. ‎ 命题点3　复数的综合运算 例4　(1)(2016·山东)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i ‎(2)(2016·全国丙卷)若z＝4＋3i，则等于(　　)‎ A．1 B．－1‎ C.＋i D.－i ‎(3)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)‎ A．－4B．－C．4D. ‎【答案】　(1)B　(2)D　(3)D 解题技巧与方法总结　‎ ‎　复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.‎ ‎(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．‎ ‎(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．‎ ‎(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．‎ ‎【变式训练1】(1)(2015·山东)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)‎ A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i ‎(2)2017＝________.‎ ‎(3)＋2017＝________.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)i　(3)＋(＋1)i 题型三　复数的几何意义 例5　(1)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的(　　)‎ A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 ‎【答案】　D ‎【解析】　由几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．‎ ‎(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：‎ ‎①、所表示的复数；‎ ‎②对角线所表示的复数；‎ ‎③B点对应的复数．‎ ‎【答案】见解析 解题技巧与方法总结 ‎　因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．‎ ‎【变式训练】已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(2,6)‎ ‎【解析】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，‎ ‎∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.‎ ‎∵＝＝(x－2i)(2＋i)‎ ‎＝(2x＋2)＋(x－4)i，‎ 由题意得x＝4.∴z＝4－2i.‎ ‎∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，‎ 根据条件，可知 解得2

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