2018届二轮复习（理）不等式选讲学案（全国通用）
专题 11.8 不等式选讲
【最新考纲解读】
【考点深度剖析】
1. 江苏高考中，主要考查解不等式、不等式证明、柯西不等式、排序不等式和均值不等式，尤其关注不等
式的证明.
2.注意了解不等式及其证明的几何意义与背景，提高分析问题、解决问题的能力.注意控制难度，力争少做
或不做无用功.
【课前检测训练】
【练一练】
1.解不等式|x－1|－|x－5|<2 的解集.
解 ①当 x≤1 时，原不等式可化为 1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当 1
0，y>0，若不等式
1
x＋
1
y＋
λ
x＋y≥0 恒成立，求实数 λ 的最小值.
【题根精选精析】
考点 1:绝对值不等式
【1-1】已知不等式|2x－t|＋t－1<0 的解集为(－1
2，1
2)，则 t＝____________
【答案】0
【解析】|2x－t|<1－t，t－1<2x－t<1－t，
2t－1<2x<1，t－
1
2k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围为______
【答案】k<－3
【解析】根据绝对值的几何意义，设数 x，－1,2 在数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于|PA|
－|PB|>k 恒成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当 k<－3 时，原不等式恒成立．
【1-3】在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6 的解集为____________．
【答案】{x|－
3
2 ≤ x ≤
3
2}
【解析】当 x>
1
2时，原不等式转化为 4x≤6⇒x≤
3
2；当－
1
2≤x≤
1
2时，原不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x<－
1
2时，原不等式转化为－4x≤6⇒x≥－
3
2.综上知，原不等式的解集为{x|－
3
2 ≤ x ≤
3
2}.．
【1-4】若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值范围是________．
【答案】[－2,4]
【解析】利用绝对值不等式的性质求解．
∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3 有解，
可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
【1-5】若关于 x 的不等式|x－a|<1 的解集为(1,3)，则实数 a 的值为________．
【答案】2
【解析】原不等式可化为 a－1
0a > 0a = 0a <
x a< ( ),a a− φ φ
x a> ( ) ( ), ,a a−∞ − +∞ ( ) ( ),0 0,−∞ +∞ R
ax b c+ ≤ 0c > ax b c+ ≥ 0c >
ax b c c ax b c+ ≤ ⇔ − ≤ + ≤
ax b c ax b c+ ≥ ⇔ + ≤ − ax b c+ ≥
x a x b c− + − ≥ 0c > x a x b c− + − ≤ 0c >
0a > x a a x a< ⇔ − < < x a x a> ⇔ > x a< −
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
3.证明绝对值不等式主要有三种方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；
(2)利用三角不等式 进行证明；
(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
4 对于求 或 型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如
的函数只有最小值，形如 的函数既有最大值又有最小值．
【温馨提醒】证明绝对值不等式主要有三种方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；
(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明；
(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
考点 2：不等式的证明
【2-1】已知 x2＋y2＝10，则 3x＋4y 的最大值为______．
【答案】5 10.
【2-2】已知 a，b，c∈R＋，则
1
a＋
1
b＋
1
c与
1
ab＋
1
bc＋
1
ac的大小关系是________．
【答案】详见解析
【解析】2
1
a＋
1
b＋
1
c＝
1
a＋
1
b＋
1
b＋
1
c＋
1
c＋
1
a≥
2
ab＋
2
bc＋
2
ca.
所以
1
a＋
1
b＋
1
c≥
1
ab＋
1
bc＋
1
ac.
【2-3】设 M＝
1
210＋
1
210＋1＋
1
210＋2＋…＋
1
211－1，则 M 与 1 的大小关系是__________．
【答案】M<1
【解析】∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210，
∴M＝
1
210＋
1
210＋1＋
1
210＋2＋…＋
1
211－1
a b a b a b− ≤ ± ≤ +
y x a x b= − + − y x a x b= − − −
y x a x b= − + − y x a x b= − − −
<
1
210＋
1
210＋…＋
1
210＝1.
210 个
【2-4】已知 c>b>a，求证：a2b＋b2c＋c2a0，b>0,2c>a＋b，求证：c－ c2－ab0，所以只要证 a－2c<－b，
即证 a＋b<2c.
由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立．
【基础知识】
1．不等式证明的方法
(1)比较法：①求差比较法：
知道 ， ，因此要证明 只要证明 即可，这种方法称为求
差比较法．
0a b a b> ⇔ − > 0a b a b< ⇔ − < a b> 0a b− >
②求商比较法：由 且 ，因此当 时，要证明 ，只要证明
即可，这种方法称为求商比较法．
(2)综合法：
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因
导果”的方法．
(3)分析法：
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为
判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成
立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．
(4)反证法和放缩法：
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确
的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，
从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．
②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种
方法叫作放缩法．
2．几个常用基本不等式
(1)柯西不等式：
①柯西不等式的代数形式：设 均为实数，则 (当且仅当
时，等号成立)．
②柯西不等式的向量形式：设 为平面上的两个向量，则 .
③二维形式的三角不等式：设 ，那么 .
④柯西不等式的一般形式：设 为实数，则
，当且仅当 时，等
号成立．
(2)平均值不等式：
定理：如果 为正数，则 ，当且仅当 时，等号成立．
我们称 为正数 的算术平均值， 为正数 的几何平均值，定理中的不等式为三个正
数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．
0 1aa b b
> > ⇔ > 0, 0a b> > 0, 0a b> > a b> 1a
b
>
1 2 1 2, , ,a a b b ( )( ) ( )22 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2a a b b a b a b+ + ≥ +
1 2
1 2
a a
b b
=
,α β α β α β⋅ ≥ ⋅
1 2 1 2, , ,x x y y R∈ ( ) ( )2 22 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2x y x y x x y y+ + + ≥ − + −
1 2 1 2, , , , , , ,n na a a b b b
( )( ) ( )22 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2n n n na a a b b b a b a b a b+ + + + + + ≥ + + + 1 2
1 2
n
n
aa a
b b b
= = =
, ,a b c 3
3
a b c abc
+ + ≥ a b c= =
3
a b c+ +
, ,a b c 3 abc , ,a b c
一般形式的算术—几何平均值不等式：如果 为 个正数，则 ，
当且仅当 时，等号成立．
3.易错点：使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件．
易混淆分析法与综合法，分析法是执果索因，综合法是由因导果．
【思想方法】
1. 绝对值不等式的证明：含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公
式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：
，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，
往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
2. 利用柯西不等式证明不等式：使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个
式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大，从而
证得问题．利用柯西不等式求最值的一般结构为：
，在使用柯西不等式时，要注意右边为
常数且应注意等号成立的条件．
3.放缩法证明不等式的技巧
(1)放缩法原理简单，但放缩技巧性强，而且应用广泛，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质、函
数的性质、不等式的性质等．其理论依据是不等式的传递性，使用此方法时要注意把握放大或缩小的度，
既不能放的过小，也不能放过了头．常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分
式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变
大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．
(2)常见的放缩技巧有：
① ( )；
②
2
k－1＋ k>
2
2 k>
2
k＋ k＋1(k≥2，且 k∈N*)．
4.对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法．作差法中作差
后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符号．
用作商法证明不等式应注意：
. .因此，用作商法必须先判定符号．
1 2, , , na a a n 1 2
1 2
n n
n
a a a a a an
+ + + ≥
1 2 na a a= = =
a b a b a b− ≤ ± ≤ +
( ) ( )22 2 2 2
1 2 2 2 2
1 2
1 1 1 1 1 1n
n
a a a na a a
+ + + + + + ≥ + + + =
( ) ( )2
1 1 1
1 1k k k k k
> >− + 2,k k N ∗≥ ∈
2 2 2
1 2 1k k k k k
> >
− + + +
1
0
A
A BB
B
> ⇒ >
>
1
0
A
A BB
B
> ⇒ <
<
5.应用不等时注意以下几点：
（1）使用均值不等式求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件，且注意变形配凑技巧．
（2）基本不等式及其变式中的条件要准确把握．如 ( )， ( )
等．
（3）含绝对值三角不等式： 中等号成立的条件应注意 中
，而 中 等．
（4）分析法证明不等式的每一步都是寻求不等式成立的充分条件．
（5）换元法证明不等式时要注意换元后新元的取值范围忽视它会导致错误结论或无法进行下去．
（6）用数学归纳法证明不等式时，关键是配凑合适的项便于应用归纳假设．
（7）应用柯西不等式关键是分析、观察所给式子的特点，从中找出柯西不等式的必备形式特点及等号成立
的条件．
（8）柯西不等式及排序不等式中 (i＝1,2，…，n)均为实数，而平均值不等式中 为正数．
【温馨提醒】对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法．作
差法中作差后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符
号．
【易错问题大揭秘】
在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等
号是否成立.
2 2 2a b ab+ ≥ ,a b R∈ 2a b ab+ ≥ ,a b R+∈
a b a b a b a b− ≤ − ≤ ± ≤ + a b a b+ ≤ +
0ab ≥ a b a b− ≤ + 0ab ≤
,i ia b ia
