【数学】2019届一轮复习全国通用版第68讲参数方程学案

【数学】2019届一轮复习全国通用版第68讲参数方程学案

第 68 讲　参数方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 2017·全国卷Ⅰ，22 2016·全国卷Ⅲ，23 2016·江苏卷，21(C) 1.了解参数方程，了解参数的意义． 2．能选择适当的参数写出直线、 圆和圆锥曲线的参数方程. 分值：5～10 分 参数方程部分主要 考查参数方程与普通方 程的互化，并且多与极 坐标方程结合考查. 1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__任意一点__的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数：Error!并且对于 t 的每一个允许值，由方程组Error!所确定的点 M(x，y)都在这条曲 线上，那么方程Error!就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参变数，简称__参数__，相 对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__普通方程__． 2．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． (2)圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为Error!(θ 为参数)． (3)①椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的参数方程为Error!(φ 为参数)． ②椭圆x2 b2＋y2 a2＝1(a>b>0)的参数方程为Error!(φ 为参数)． 1．思维辨析(在括号内打“√”或打“×”)． (1)参数方程Error!(t≥1)表示直线．(　×　) (2)参数方程Error!当 m 为参数时表示直线，当 θ 为参数时表示的曲线为圆．(　√　) (3)直线Error! (t 为参数)的倾斜角 α 为 30°.(　√　) (4)参数方程Error!(θ为参数，且θ ∈ [0，π 2 ])表示的曲线为椭圆．(　×　) 解析 (1)∵t≥1，∴x＝t＋1≥2，y＝2－t≤1，故参数方程表示的曲线是直线的一部 分． (2)当 m 为参数时，x＋y＝cos θ＋cos θ 表示直线，当 θ 为参数时，(x－m)2＋(y＋m)2＝1 表示圆． (3)方程可化为Error!表示直线其倾斜角为 30°. (4)∵θ∈[0，π 2 ]，∴x≥0，y≥0，方程不表示椭圆． 2．参数方程Error!(t 为参数)化为普通方程为__3x＋y－4＝0(x∈[0,2))__． 解析 ∵x＝ 2t2 1＋t2， y＝4－2t2 1＋t2 ＝4(1＋t2)－6t2 1＋t2 ＝4－3× 2t2 1＋t2＝4－3x， 又 x＝ 2t2 1＋t2＝2(1＋t2)－2 1＋t2 ＝2－ 2 1＋t2∈[0,2)， ∴x∈[0,2)，∴所求的普通方程为 3x＋y－4＝0(x∈[0,2))． 3 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1 和 C2 的 参 数 方 程 分 别 为 Error! (θ为参数，0 ≤ θ ≤ π 2)和Error!(t 为参数)，则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为__(2,1)__． 解析 由 C1 得 x2＋y2＝5，且Error!① 由 C2 得 x＝1＋y，② ∴由①②联立Error!解得Error!或Error!(舍)． 4．直线Error!(t 为参数)与圆Error!(θ 为参数)相切，则切线的倾斜角为__π 3或2π 3 __. 解析 直线的普通方程为 bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，因为直线与 圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为 3，从而有 3＝|2b－a·0－4b| a2＋b2 ，即 3a2＋3b2＝4b2，所 以 b＝± 3a，而直线的倾斜角 α 的正切值 tan α＝b a，所以 tan α＝± 3，因此切线的倾斜角为 π 3或2π 3 . 5．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：Error!(t 为参数)与曲线 C2：Error!(θ 为参数，a>0) 有一个公共点在 x 轴上，则 a＝　3 2　. 解析 将曲线 C1 与 C2 的方程化为普通方程求解． ∵Error!消去参数 t 得 2x＋y－3＝0， 又Error!消去参数 θ 得x2 a2＋y2 9＝1. 根据题意可知 C1 与 x 轴交点在 C2 上， 则在方程 2x＋y－3＝0 中，令 y＝0 得 x＝3 2. 将( 3 2，0 )代入x2 a2＋y2 9＝1，得 9 4a2＝1，又 a>0，∴a＝3 2. 一　参数方程与普通方程的互化 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常 见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程， 常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2θ＋cos2θ＝1 等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解． 【例 1】 将下列参数方程化为普通方程． (1)Error!(t 为参数)； (2)Error!(θ 为参数)． 解析 (1)( 1 t )2＋( 1 t t2－1)2＝1， ∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1 或 t≤－1.又 x＝1 t， ∴x≠0.当 t≥1 时，0＜x≤1， 当 t≤－1 时，－1≤x＜0，∴所求普通方程为 x2＋y2＝1， 其中Error!或Error! (2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin 2 θ≤1，∴2≤x≤3， ∴所求的普通方程为 2x＋y－4＝0(2≤x≤3)． 二　直线与圆的参数方程及应用 直线与圆的参数方程中的参数是可以具有几何意义的，如果能正确应用它，可以使问题 的解决事半功倍，也可以把直线和圆的方程都普通化，再行解决． 【例 2】 已知曲线 C1：Error!(θ 为参数)及曲线 C2：Error!(t 为参数)． (1)指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数； (2)若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 C′1，C′2，写出 C′1，C′2 的参数方程．C′1 与 C′2 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同？说 明你的理由． 解析 (1)C1 是圆，C2 是直线，C1 的普通方程为 x2＋y2＝1， 圆心 C1(0,0)，半径 r＝1.C2 的普通方程为 x－y＋ 2＝0. 因为圆心到直线 x－y＋ 2＝0 的距离为 1， 所以 C1 与 C2 只有一个公共点． (2)压缩后的参数方程分别为 C′1：Error!(θ 为参数)，C′2：Error!(t 为参数)． 化为普通方程为 C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝1 2x＋ 2 2 ， 联立消元得 2x2＋2 2x＋1＝0，其 Δ＝(2 2)2－4×2×1＝0， 故压缩后 C′1 与 C′2 仍然只有一个公共点，和 C1 与 C2 公共点个数相同． 三　参数方程与极坐标方程的综合问题 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标 方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． 【例 3】 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲 线 C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点 P(－2，－4)的直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)，l 与 C 分别交于点 M，N. (1)写出 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求 a 的值． 解析 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 y2＝2ax(a＞0)； 直线 l 的普通方程为 x－y－2＝0. (2)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立并整理， 得 t2－2(4＋a) 2t＋8(4＋a)＝0，(*) Δ＝8a(4＋a)＞0，设点 M，N 分别对应参数 t1，t2，则 t1，t2 恰为上述方程的两根，则|PM| ＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|. 由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|. 由(*)得 t1＋t2＝2(4＋a) 2，t1t2＝8(4＋a)＞0， 则有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得 a＝1 或 a＝－4.因为 a＞0， 所以 a＝1.　 1．将下列参数方程化为普通方程． (1)Error!(k 为参数)； (2)Error!(θ 为参数)． 解析 (1)两式相除，得 k＝ y 2x，将其代入 x＝ 3k 1＋k2得 x＝ 3· y 2x 1＋( y 2x )2 ， 化简得所求的普通方程是 4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程 y2＝2－x，x∈[0,2]． 2．设直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数，α 为倾斜角)，圆 C 的参数方程为Error!(θ 为 参数)． (1)若直线 l 经过圆 C 的圆心，求直线 l 的斜率； (2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点，求直线 l 的斜率的取值范围． 解析 (1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3,4)，而圆 C 的圆心是 C(1，－1)，所以，当直 线 l 经过圆 C 的圆心时，直线 l 的斜率为 k＝5 2. (2)由圆 C 的参数方程Error!得圆 C 的圆心是 C(1，－1)，半径为 2. 当 α≠90°时，设 k＝tan α，则直线 l 的普通方程为 y－4＝k(x－3)，即 kx－y＋4－3k＝0. 当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k| k2＋1 ＜2， 解得 k＞21 20， 即直线 l 的斜率的取值范围为( 21 20，＋∞). 3．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!(θ 为参数)，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. 解析 (1)曲线 C 的普通方程为x2 9＋y2＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0， 由Error!解得Error!或Error! 从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，(－21 25，24 25). (2)直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0，故 C 上的点(3cos θ，sin θ)到 l 的距离为 d＝ |3cos θ＋4sin θ－a－4| 17 . 当 a≥－4 时，dmax＝a＋9 17 ＝ 17，所以 a＝8； 当 a<－4 时，dmax＝ －a＋1 17 ＝ 17，所以 a＝－16. 综上，a＝8 或 a＝－16. 4．已知 P(x，y)是圆 x2＋y2－2y＝0 上的动点． (1)求 2x＋y 的取值范围； (2)若 x＋y＋c≥0 恒成立，求实数 c 的取值范围． 解析 方程 x2＋y2－2y＝0 变形为 x2＋(y－1)2＝1. 其参数方程为Error!(θ 为参数)． (1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝ 5sin (θ＋φ)＋1， 其中 φ 由 sin φ＝ 2 5 ，cos φ＝ 1 5 确定， ∴1－ 5≤2x＋y≤1＋ 5. (2)若 x＋y＋c≥0 恒成立， 即 c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切 θ∈R 恒成立． ∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是 2－1， ∴当且仅当 c≥ 2－1 时，x＋y＋c≥0 恒成立． 易错点　不清楚直线的参数方程中参数的几何意义 错因分析：只有直线的参数方程中的参数具有几何意义，否则会导致解题错误．因此， 需要牢记直线的点斜式参数方程． 【例 1】 已知直线 l 过点 P(2,0)，斜率为4 3，直线 l 和抛物线 y2＝2x 相交于 A，B 两点， 设线段 AB 的中点为 M，求： (1)点 P，M 两点间的距离|PM |； (2)点 M 的坐标； (3)线段 AB 的长． 解析 (1)∵直线 l 过点 P(2,0)，斜率为4 3， 设直线的倾斜角为 α，tan α＝4 3，sin α＝4 5，cos α＝3 5， ∴直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)．(*) ∵直线 l 与抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 y2＝2x 中，整理得 8t2－15t －50＝0，且 Δ＝152＋4×8×50＞0， 设这个一元二次方程的两个根为 t1，t2， 由根与系数的关系，得 t1＋t2＝15 8 ，t1t2＝－25 4 ， 由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义， 得|PM |＝| t1＋t2 2 |＝15 16. (2)将 t 中＝t1＋t2 2 ＝15 16代入(*)式， 得 M 点的坐标为( 41 16，3 4). (3)|AB |＝|t2－t1 |＝ (t1＋t2)2－4t1t2＝5 73 8 . 【跟踪训练 1】 (2018·河北衡水中学质检)在平面直角坐标系 xOy 中，斜率为 1 的直线 l 过定点 P(－2，－4)，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 C 的 极坐标方程为 ρsin2θ－4cos θ＝0. (1)求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的参数方程； (2)两曲线相交于 M，N 两点，求|PM|＋|PN|的值． 解析 (1)由 ρsin 2θ－4cos θ＝0 得 ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2＝4x， 直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． (2)将直线 l 的参数方程代入 y2＝4x，得 t2－12 2t＋48＝0， 设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1＋t2＝12 2，t1·t2＝48， ∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝12 2. 课时达标　第 68 讲 [解密考纲]高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角 坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，两种不同方式的方程的互化是考查的热点， 常以解答题的形式出现． 1．已知曲线 C1：Error!(t 为参数)，C2：Error!(θ 为参数)． (1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π 2，Q 为 C2 上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 C3：Error!(t 为参数)距离的最小值． 解析 (1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x2 64＋y2 9＝1. C1 是圆心为(－4,3)，半径为 1 的圆．C2 是中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长 是 8，短半轴长是 3 的椭圆． (2)当 t＝π 2时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)， 故 M(－2＋4cos θ，2＋3 2sin θ). C3 为直线 x－2y－7＝0，M 到 C3 的距离 d＝ 5 5 |4cos θ－3sin θ－13|＝ 5 5 |5cos(θ＋φ)－13|≥8 5 5. 从而当 cos θ＝4 5，sin θ＝－3 5时，d 取得最小值8 5 5 . 2．已知直线 l：Error!(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 C 的极坐标方程 ρ＝2cos θ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点 M 的直角坐标为(5， 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|·|MB|的值． 解析 (1)ρ＝2cos θ 等价于 ρ2＝2ρcos θ，① 将 ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x 代入①， 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0.② (2)将Error!代入②，得 t2＋5 3t＋18＝0， 设这个方程的两个实根分别为 t1，t2， 则由参数 t 的几何意义即知|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 3．在极坐标系中，圆 C 的圆心为 C(2，π 3 )，半径为 2.以极点为原点，极轴为 x 轴的正 半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)设 l 与圆的交点为 A，B，l 与 x 轴的交点为 P，求|PA|＋|PB|. 解析 (1)在直角坐标系中，圆心为 C(1， 3)，所以圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝4， 即 x2＋y2－2x－2 3y＝0， 化为极坐标方程得 ρ2－2ρcos θ－2 3ρsin θ＝0， 即 ρ＝4sin (θ＋π 6 ). (2)把Error!代入 x2＋y2－2x－2 3y＝0，得 t2＝4，所以点 A，B 对应的参数分别为 t1＝2， t2＝－2. 令 3＋1 2t＝0 得点 P 对应的参数为 t0＝－2 3. 所以|PA|＋|PB|＝|t1－t0|＋|t2－t0|＝|2＋2 3|＋|－2＋2 3|＝2＋2 3＋(－2＋2 3)＝4 3. 4．已知曲线 C 的参数方程是Error!(α 为参数)， 直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． (1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，且|PQ|＝4 5 5 ，求实数 m 的值． 解析 (1)由Error!得Error! ①2＋②2 得曲线 C 的普通方程为 x2＋(y－m)2＝1. 由 x＝1＋ 5 5 t，得 5 5 t＝x－1，代入 y＝4＋2 5 5 t，得 y＝4＋2(x－1)， 所以直线 l 的普通方程为 y＝2x＋2. (2)圆心(0，m)到直线 l 的距离为 d＝|－m＋2| 5 ， 所以 ( |－m＋2| 5 )2＋( 2 5 5 )2＝1，解得 m＝3 或 m＝1. 5．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(α 为参数)．以坐 标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ＋π 4 )＝2 2.　 (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标． 解析 (1)C1 的普通方程为x2 3＋y2＝1， C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0. (2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cos α，sin α)．因为 C2 是直线，所以|PQ|的最 小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值， d(α)＝| 3cos α＋sin α－4| 2 ＝ 2|sin(α＋π 3 )－2|. 当且仅当 α＝2kπ＋π 6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直角坐标为 ( 3 2，1 2 ). 6．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)， 曲线 C 的参数方程为Error!(s 为参数)．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的 最小值． 解析 直线 l 的普通方程为 x－2y＋8＝0. 因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2,2 2s)， 从而点 P 到直线 l 的距离 d＝|2s2－4 2s＋8| 12＋(－2)2 ＝2(s－ 2)2＋4 5 . 当 s＝ 2时，dmin＝4 5 5 . 因此当点 P 的坐标为(4,4)时，曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取得最小值4 5 5 .