2018-2019学年江西省南昌市第十中学高二上学期第二次月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年江西省南昌市第十中学高二上学期第二次月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 江西省南昌市第十中学2018-2019学年高二上学期第二次月考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．“”是“”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：当时可得，反之不成立，所以“”是“” 的充分但不必要条件 考点：充分条件与必要条件 ‎2．表示的图形是(    )‎ A． 一条线段 B． 一条直线 C． 一条射线 D． 圆 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用极坐标方差化为直角坐标方程即可得出．‎ ‎【详解】‎ 表表示的图形是一条射线：y=x（x≥0）． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了射线的极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3．点在曲线：为参数上，则的最大值为  ‎ A． 3 B． 4 C． 5 D． 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把参数方程代入x+y得到关于θ的三角函数，根据三角函数的性质求出最值．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎∴当sin（φ+θ）=1时，x+y取得最大值5，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程的应用，属于基础题．‎ ‎4．用反证法证明“，”，应假设为　　‎ A． ， B． ，‎ C． ， D． ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项．‎ ‎【详解】‎ 根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，P（x0）成立的否定是使得P（x0）不成立，即用反证法证明“∀x∈R，2x＞0”，应假设为，.‎ ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．‎ ‎5．已知P为抛物线上一点，F为该抛物线焦点，若A点坐标为，则最小值为　　‎ A． B． 5 C． 7 D． 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义，转化为A到准线的距离就是|PA|+|PF|的最小值，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 将x=3代入抛物线方程y2=8x，得 ‎ ‎∴A在抛物线内部． 设抛物线上的点P到准线l：x=-2的距离为d， 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，所以当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值为5． 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义和性质的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎6．已知命题“，如果，则”，则它的否命题是 （ ）‎ A． ，如果，则 B． ，如果，则 C． ，如果，则 D． ，如果，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 略 ‎7．已知命题若，则；命题若，则．在命题①；②；③④中真命题的序号是（ ）．‎ A． ①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 是真命题，是假命题，是假命题，∴真命题是②③.‎ 点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.‎ ‎8．在同一平面直角坐标系中，将直线按变换后得到的直线，若以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程为　　‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线直角坐标方程，将直线上的点按坐标变换得到直线的方程；利用直角坐标与极坐标的互化公式，写出直线的极坐标的方程；‎ ‎【详解】‎ 将直线按变换后得到的直线， ，即，化为极坐标方程为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了坐标变换的应用，极坐标与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9．已知椭圆的焦点分别是，，点M在该椭圆上，如果，那么点M到y轴的距离是　　‎ A． B． C． D． 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设M（x，y），则椭圆…①，，可得x2+y2=3…②，由①②可求解．‎ ‎【详解】‎ 设M（x，y），则椭圆…①， ‎ ‎∵椭圆的焦点分别是 ‎∵ ，∴x2+y2=3…② 由①②得 ， ∴点M到y轴的距离为，故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的方程及向量运算，属于中档题．‎ ‎10．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是    ‎ A． B． C． D． 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 点P到直线AB的距离得最大值为圆心M到直线AB的距离加上半径．由此可求面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 设点P到直线AB的距离为h，点M到直线AB的距离为d， 则 ， ∴ ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点到直线的距离、三角形面积公式．属中档题．‎ ‎11．已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则　　‎ A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据椭圆与双曲线的基本性质知，所以，又 ‎ ，所以，故选A．‎ 点睛：本题考查椭圆和双曲线的标准方程及其简单几何性质，基本量之间的关系，属于中档题．处理此类问题注意分析之间的关系，利用离心率定义写出，为了判别其积是否大于1，可考察其平方，根据条件转化为，从而大于1．‎ ‎12．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是　　 ．‎ A． B． C． D． （-∞，0）∪（0，1）．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 椭圆C：焦点在x轴上，由P在圆x2+y2=4上，则，可得设 ‎ 则，设t=cosθ，t∈（-1，1），则，进而得出．‎ ‎【详解】‎ 椭圆C：焦点在x轴上，，右焦点F（1，0）， 由P在圆x2+y2=4上，则PA⊥PB， 则 ，则 ，‎ 设 ‎ 则 ， 设 则 且不等于0． 故选D：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在极坐标系中，已知，则A，B两点之间的距离 ________________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，进行代换将极坐标化成直角坐标，再在直角坐标系中算出两点间的距离即可．‎ ‎【详解】‎ 根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，点，的直角坐标为： ， 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，本题解题的关键是能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎14．设，q：，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式即可求出m的范围．‎ ‎【详解】‎ 不等式可得：0＜x＜2， 因为p是q成立的充分不必要条件， 所以集合{x|0＜x＜2}是集合{x|0＜x＜m}的真子集 ∴m＞2 故答案为：（2，+∞）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用集合关系来判断条件关系．当A⊊B时，A是B的充分不必要条件是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎15．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，，仿此，若的“分裂数”中有一个是31，则m的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由前几个得出规律并归纳即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵23=3+5，是从3开始的2个奇数的和； 33=7+9+11，是从5的下一个奇数7开始的3个奇数的和； …； 而31之前除了1以外的奇数有15个，又2+3+4+5=14， ∴63=31+33+35+37+39+41． 故m的值应为6． 故答案为6．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，掌握归纳归纳猜想的思想方法是解题的关键．‎ ‎16．椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，右顶点为，直线与交于点.若，则的离心率等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图：设，由，得根据相似三角形得： 求得，又直线方程为： ，将点D代入得： ‎ ‎17．已知，p：：‎ 若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；‎ 若，““为真命题，““为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎【答案】（I）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1），是的充分条件，是的子集，所以；（2）由题意可知一真一假，当时，，分别求出真假、假真时的取值范围，最后去并集就可以．‎ 试题解析：‎ ‎（1），∵是的充分条件，∴是的子集，‎ ‎，∴的取值范围是．‎ ‎（2）由题意可知一真一假，当时，，‎ 真假时，由；‎ 假真时，由或．‎ 所以实数的取值范围是．‎ 考点：含有逻辑联结词命题真假性．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎18．若抛物线的焦点是，，求此抛物线的标准方程；‎ 双曲线的右焦点是，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎ 设抛物线的方程为 ，由题意抛物线的焦点是，‎ 求出p,即可得到抛物线的标准方程；‎ ‎ 设双曲线的方程为 则由题意，联立解出，‎ 即可得到双曲线的标准方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设抛物线的方程为，‎ 可得，‎ 解得，‎ 则抛物线的标准方程为；‎ ‎（2）设双曲线的方程为，，‎ 则， ‎ 由渐近线方程，‎ 可得，‎ 解得，，‎ 则双曲线的方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线，双曲线的标准方程的求法，属基础题.‎ ‎19．已知直线l的参数方程为 为参数，曲线C极坐标方程为．‎ 求曲线C的直角坐标方程．‎ 求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得到，将 代入上式中，即可得到曲线C的直角坐标方程．‎ 直线l的参数方程为 为参数，消去t，得普通方程为 ‎ 代入得到 利用弦长公式可得直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由 ，得，‎ 将，代入上式中，得曲线C的普通方程为．‎ ‎（2）由直线l的参数方程 ，消去t，得普通方程为，‎ 将式代入式中，整理得，‎ 设直线l与曲线C相交于，，‎ 由韦达定理得，‎ 又由式得直线l的斜率，‎ 所以直线l被曲线C截得的弦长为 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．已知曲线：为参数，：为参数．‎ 化，的方程为普通方程；‎ 若Q是的任意一点，求Q到直线：为参数距离的最小值．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆； （2）把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用点到直线的距离公式表示出Q到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）把曲线：为参数化为普通方程得：，‎ 把：为参数化为普通方程得：；‎ ‎（2） 把直线：为参数化为普通方程得：，‎ 设Q的坐标为，所以M到直线的距离 ‎，其中 d的最小值．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．‎ ‎21．已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，‎ 求双曲线的渐近线方程；‎ 当时，的面积为，求此双曲线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，根据点到直线距离公式可得，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可得，再根据的面积为，可得，得，从而可得结果.‎ 试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.‎ ‎（2）因为，由余弦定理得，即。又由双曲线的定义得，平方得，相减得。‎ 根据三角形的面积公式得，得 ‎。再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为.‎ ‎（1）求该椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线的斜率之和为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）直线AP，AQ的斜率之和为定值1. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知，，离心率，求得，则，即可求得椭圆的方程；（2）则直线的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线，的斜率，即可证明直线，的率之和为定值.‎ 试题解析：（1）由题 所以，. ‎ 所以椭圆C的方程为 ‎ ‎（2）当直线PQ的斜率不存在时，不合题意； ‎ 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为， ‎ 代入 得， ‎ 设，，则：‎ ‎，，， ‎ ‎ 所以，， ‎ 又 ‎=1.‎ 所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1. ‎