2019-2020学年山东省淄博市高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省淄博市高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省淄博市高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．命题“”的否定是( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意,根据全称命题与存在性命题的关系,‎ 可得命题“”的否定是“”.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.‎ ‎2．下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】A ‎【解析】根据不等式性质证明A成立，举反例说明B,C,D错误 ‎【详解】‎ 因为，，所以，A正确 若，则，所以B错误；‎ 若，，则，所以C错误；‎ 若，，则，所以D错误 综上选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎3．在等比数列中，已知，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知求得等比数列的公比,然后再由等比数列的前项和公式求得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：因为,所以.‎ 令,‎ 则 ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的性质,属于基础题.‎ ‎4．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】已知，,2成等差数列,得到，化简得到。‎ ‎【详解】‎ 已知，,2成等差数列,得到，化简得到 ‎ ‎ 可知是焦点在x轴上的抛物线的一支.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是对数的运算以及化简公式的应用，也涉及到了轨迹的问题，求点的轨迹，通常是求谁设谁，再根据题干将等量关系转化为代数关系，从而列出方程，化简即可.‎ ‎5．设，则关于的不等式的解集是( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得,将转化为,求出该不等式的解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：时,,且,‎ 则关于的不等式可化为,‎ 解得或,‎ 所以不等式的解集为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题,解题时应考虑字母系数的取值情况,是基础题.‎ ‎6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）‎ A．134 B．135 C．136 D．137‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得出，求出，即可得出数列的项数.‎ ‎【详解】‎ 因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故.由得，故此数列的项数为，故答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.‎ ‎7．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出椭圆的焦点,即为双曲线的焦点,则得,又由渐近线方程与圆相切,用圆心到渐近线的距离等于半径,代入圆的方程求出,根据即可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 解：椭圆的焦点为,所以,‎ 所以.‎ 双曲线的渐近线方程为,‎ 由双曲线C的渐近线与圆相切,‎ 圆心到渐近线的距离等于半径，即，‎ 得,带入得.离心率.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线的概念、性质及其离心率之间的计算,属于中等题.‎ ‎8．抛物线0）的焦点为F，0为坐标原点，M为抛物线上一点，且的面积为，则抛物线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设点坐标，由关系得点坐标由表示，‎ 再由的面积可解得，从而得解.‎ ‎【详解】‎ 设 由可得： ‎ 又因为 所以 即 解得 或（舍去），‎ 所以 ‎ 所以 解得 ‎ 因为 所以 ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，关键由线段的长度关系转化到点的坐标关系，属于难度题.‎ ‎9．在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为　　‎ A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 ‎【答案】B ‎【解析】利用累加法求出数列的通项公式，可得，进一步利用，建立不等式组，从而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 数列中，，，‎ 得到：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 上边个式子相加得：‎ ‎，‎ 解得：．‎ 当时，首项符合通项．‎ 故：．‎ 数列满足，‎ 则，‎ 由于，‎ 故：，‎ 解得：，‎ 由于是正整数，‎ 故．故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查递推公式求数列的通项公式、累加法的应用，数列最大项的求法，属于难题．由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加法求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推公式，可构造等比数例，进而得出的通项公式.‎ ‎10．.如图，已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为,则点的轨迹为 A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】延长与的延长线交于点，连接，根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出的长恰好等于椭圆的长半轴,得到点的轨迹方程为，由此得到答案。‎ ‎【详解】‎ 延长与的延长线交于点，连接.‎ 因为是的外角的角平分线，且，所以在中，，且为线段的中点．又为线段的中点，由三角形的中位线定理，得．由椭圆的定义，得，所以，可得点的轨迹方程为，所以点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆中求动点轨迹，着重考查椭圆的定义，等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题。‎ 二、多选题 ‎11．下列表达式的最小值为的有( )‎ A．当时，‎ B．当时，‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】BC ‎【解析】对式子变形,利用基本不等式的的性质即可求得.‎ ‎【详解】‎ 解：①对选项A,当均为负值时,,故最小值不为2;‎ ‎②对选项B,因为,所以同号,所以,‎ 所以,当且仅,即时取等号,故最小值为;‎ ‎③对选项C,,当时,取最小值2;‎ ‎④对选项D,‎ 当且仅当,即时,取等号,但等号显然不成立,‎ 故最小值不为.‎ 故选:BC ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用,要注意“一正,二定,三相等”.‎ ‎12．“存在正整数，使不等式都成立”的一个充分条件是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】BD ‎【解析】根据对数函数的运算将题目转化为,因为,则,约掉,再对不等式分离常数,分情况讨论求解.‎ ‎【详解】‎ 解：由,‎ 得,‎ ‎,,‎ 即,‎ 若存在正整数,使,需,‎ 当时,取最小值,‎ ‎,又,的取值范围为,‎ 易知选项BD是子集.‎ 故选:BD ‎【点睛】‎ 本题考查含参数的不等式的解法,分离参数再分情况讨论是解题的关键.‎ ‎13．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的取值可以为( )‎ A．3 B．4 C． D．‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】利用抛物线的定义,将的取值转化为求点到直线的距离即可求得结论.‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离,‎ 所以过焦点作直线的垂线,‎ 则到直线的距离为的最小值,如图所示：‎ 所以,选项ABD均大于或等于3.‎ 故选:ABD ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.利用点到直线的距离公式即可求解.‎ 三、填空题 ‎14．关于的不等式的解集为，则 _____________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】由不等式的解集可得到方程的两个根，把代入方程可得p，然后通过解不等式确定q，最后可得结果。‎ ‎【详解】‎ 由题意，方程有一个根为1，得，则不等式为，其解集为，得，，所以答案为-1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式和一元二次方程的关系。‎ ‎15．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.‎ ‎∴椭圆C的方程为 ‎【考点】椭圆的定义及几何性质 ‎16．设单调递增的等差数列的前项和是，若和是方程的两根，则数列的前项和的最小值为________.‎ ‎【答案】-56‎ ‎【解析】根据是单调递增的等差数列得出为单调递增的等差数列,求出的两根,即为和,即可求出的首项和公差.再用等差数列的求和公式,根据二次函数求最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 设单调递增的等差数列的首项为,公差为,‎ 则,,‎ 故数列为单调递增的等差数列,‎ 由于方程的两根分别为-6,-10,所以,可得数列的首项为-14,公差为2,‎ 所以前项和为,‎ 当或时取最小值.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和求等差数列的前项和,数列掌握等差数列的公式即可求解,对于求等差等差和数列前项和的最值需要考虑.‎ ‎17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，‎ 两点，若的周长为16，则的最大值为______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题意可得的周长为32，利用双曲线的定义，可得，进而转化，变形后利用均值不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 如图：‎ 由的周长为16，所以的周长为32，AB是双曲线的通径，，‎ ‎，‎ 可得，可得 则，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的定义，基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于难题.‎ 四、解答题 ‎18．已知：曲线表示双曲线；：曲线表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（1）分别求出条件中的实数的取值范围；‎ ‎（2）甲同学认为“是的充分条件”，乙同学认为“是的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）满足条件的实数的取值范围是；满足条件的实数的取值范围是；（2）甲同学的判断正确，乙同学的判断不正确，理由详见解析.‎ ‎【解析】（1）根据双曲线的定义有,根据椭圆焦点在轴上有,分别解不等式,求交集即可.‎ ‎(2)由(1)得出是中的取值范围,由“小范围可以推出大范围,大范围不能推出小范围”即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）若曲线表示双曲线,‎ 则,得;‎ 因此满足条件的实数的取值范围是.‎ 若曲线表示焦点在轴上的椭圆,‎ 需,‎ 得,得或.‎ 因此满足条件的实数的取值范围是.‎ ‎（2）甲同学的判断正确,乙同学的判断不正确.‎ 由（1）得,‎ 因为,‎ 所以是的充分条件,‎ 因为,‎ 所以不是的必要条件.‎ 故：甲同学的判断正确,乙同学的判断不正确.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出含有字母的双曲线与椭圆的方程,求参数的取值范围,着重考查双曲线与椭圆的标准方程的区别.熟练掌握双曲线与椭圆的标准方程和简单的几何性质是解题的关键.本题还考查命题的充分性与必要性,由“小范围可以推出大范围,大范围不能推出小范围”即可得出结论.‎ ‎19．某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元 ‎（1）求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；‎ ‎（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？‎ ‎【答案】（1），（2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元 ‎【解析】（1）运用等差数列前项和公式可以求出年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；‎ ‎（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知，年总收入为万元 年维护总费用为万元.‎ ‎∴总利润，‎ 即，‎ ‎（2）年平均利润为 ‎∵，∴‎ 当且仅当，即时取“”‎ ‎∴‎ 答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.‎ ‎20．已知等比数列的公比，且成等差数列.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据等比数列的通项公式和题目给出的条件,列出关于的方程,求出,再代入化简即可.‎ ‎（2）将代入,化简后裂项,用裂项相消法求和即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知得,‎ 又,‎ 所以,‎ 解得,‎ 故.‎ ‎（2）因为 所以 ‎【点睛】‎ 本意考查了等比数列的通项公式,对数的运算,以及裂项相消法求数列的前项和,属于中档题.‎ ‎21．已知抛物线上一点到焦点的距离，倾斜角为的直线经过焦点，且与抛物线交于两点、.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程及准线方程；‎ ‎（2）若为锐角，作线段的中垂线交轴于点.证明：为定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；‎ ‎（2）为定值，证明见解析.‎ ‎【解析】（1）利用抛物线的定义结合条件，可得出，于是可得出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的方程求出的值，于此可得出抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，列出韦达定理，计算出线段的中点的坐标，由此得出直线的方程，并得出点的坐标，计算出和的表达式，可得出，然后利用二倍角公式可计算出为定值，进而证明题中结论成立.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由抛物线的定义知，，.‎ 将点代入，得，得.‎ 抛物线的方程为，准线方程为；‎ ‎（2）设点、，设直线的方程为，‎ 由，消去得：，则，‎ ‎，.‎ 设直线中垂线的方程为：，‎ 令，得：，则点，，.‎ ‎，‎ 故为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，以及直线与抛物线的综合问题，常将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理进行计算，解题时要合理假设直线方程，可简化计算.‎ ‎22．已知数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎（3）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）利用递推公式求出，，递推到当时，，两个式子相减，得到 ‎，进而求出数列的通项公式；‎ ‎（2）运用错位相减法可以求出数列的前项和；‎ ‎（3）对任意的，都有成立，转化为的最小值即可，‎ 利用商比的方法可以确定数列的单调性，最后求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）数列{an}中，，．‎ 可得时，，即，‎ 时，，‎ 又，‎ 两式相减可得，‎ 化为，‎ 可得，即，‎ 综上可得；‎ ‎（2），‎ 则前项和，‎ ‎，‎ 相减可得，‎ 化为；‎ ‎（3）对任意的，都有成立，‎ 即为的最小值，‎ 由可得，‎ ‎，‎ 可得时，递增，‎ 当或2时，取得最小值，‎ 则．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知递推公式求数列通项公式，考查了数列的单调性，考查了错位相减法，考查了数学运算能力.‎ ‎23．已知椭圆过点，且离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）利用椭圆过点，以及离心率为，求出，即可得到椭圆方程．‎ ‎（2）设直线方程为，则，求得，当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及，得到与的关系，代入直线的方程，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，椭圆过点，即，解得，‎ 由离心率为，又由，解得，所求椭圆方程为：.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，‎ 则，所以，解得，‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为，‎ 联立方程组，得，‎ 设，则 （），‎ 则，‎ 将式代入化简可得：，即，整理得，‎ 代入直线方程，得，‎ 即，联立方程组，解得，‎ 恒过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎