2017-2018学年山东省寿光现代中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2017-2018学年山东省寿光现代中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

山东省寿光现代中学 2017-2018 学年高二上学期开学考试数 学试题 评卷人 得分 一、选择题 1．在 中， ， ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】由正弦定理可得 ，因 ，故 ，应选答案 B 。 2．在 中， ， ， ，那么角 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【考点】余弦定理． 专题：计算题． 分析：直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案． 解答：解：根据余弦定理得 cosB= = = B∈（0，180°） ∴∠B=60° 故选 C． 点评：本题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值，解题过程中要注意角的范围，属 于基础题． 3．已知锐角三角形的边长分别为 2、3、 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由余弦定理可得 ，应选答案 B。 4．在 中，若 ， ， ，则此三角形外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由余弦定理可得 ，因 ，故 ，应选 答案 D。 5．数列 1， ， ， ， ，…的一个通项公式 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设中提供的数列的规律可每一项的分子是正整数，分母是首项为 1 的奇数 ，所以其通项公式 ，应选答案 B。 6．在 中，已知 ，则角 为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】由题意结合余弦定理有： . 本题选择 C 选项. 7．在 中，若 ，则 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】由正弦定理可得 ，即 或 ，即 的形状是等腰或直角三角形，应选答案 D。 8． 中，已知 ， ， ，若 有两组解，则 的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由余弦定理可得 ，即 ，由题设及根与系数的关系可 得 ，应选答案 C。 9．已知不等式 的整数解构成等差数列 的前三项，则数列 的第 4 项为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3 或 【答案】D 【 解 析 】 由 可 得 ， 则 ， 即 或 ， 故 首 项 为 或 ， 公 差 或 ， 故 或 ，应选答案 D。 10．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ， ， 的面积为 ，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得： ，则由余弦定理可得 ： ，故选 D． 【考点】1、余弦定理的应用；2、三角形面积公式． 11．在 中，若 ，则 是（ ） A. 有一内角为 的直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一内角为 的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】试题分析： 即 ，又因为根据正弦定理 ， 所以 ，所以 ，因为 为三角形内角，所以 ，则 。所以此三角形为等腰直角三角形。故 B 正确。 【考点】正弦定理。 12．在等差数列 中， ，公差 ，若 ，则 的值为（ ） A. 37 B. 36 C. 20 D. 19 【答案】A 【解析】由题设可知 ，即 ，故 ，故 ，应选答案 A。 评卷人 得分 二、填空题 13．在 中，若 ，则 __________． 【答案】 【 解 析 】 由 三 角 形 内 角 和 定 理 可 得 ， 所 以 由 正 弦 定 理 ，应填答案 。 14．已知数列 中， ， ，则 等于__________． 【答案】 【解析】由题设可得 ，即 ，故由等比数列的定义可知数列 是公比为 ，首项是 的等比数列，所以 ，即 ，故 ，则 ，应填答案 。 点睛：解答本题时，先依据题设条件 ， ，运用转化化归思想将其化为 ，即 ，然后运用等比数列的定义推得数列 是公比为 ， 首 项 是 的 等 比 数 列 ， 进 而 求 出 ， 即 ， 故 ，即 。 及等比数列的定义推得解答 15．计算 __________． 【答案】 【解析】由题设可知该数列是首项为 3，公差为 2 的等差数列的前 项和，则 ，应填答案 。 16．如图，四边形 中， ， ， ，则该四边形的面积等于 __________． 【答案】 【解析】连接 ，在 中，由余弦定理可得 ，且 ，故 在 中 ， ， 即 直 角 三 角 形 ， 该 四 边 形 的 面 积 是 ，应填答案 。 点睛：解答本题的关键是将四边形的面积转化为两个三角形的面积，求解时先连接 ， 在 中，运用余弦定理求得 ，且 ，然后在 中，求 得 ，推得 直角三角形，分别求出两个三角形的面积之和即 为该四边形的面积 。 评卷人 得分 三、解答题 17．在 中， ， ， ， 是方程 的两个根，且 .求：（1）角 的度数；（2） 的长度。 【答案】解：（1）C＝120；（2） 【解析】试题分析：（1） ，所以 ；（2） 由韦达定理得 ，根据余弦定理 ， 故 . 试题解析： （1） ，∴ ； （2）由题设： ， ∴ ， ∴ 【考点】解三角形. 18．在 中， ， ， 边上的中线长为 2，求边 及 的面积 . 【答案】 【解析】【试题分析】延长中线 至点 使得 ，连 ， ，构造 ， ， ， ，在 中，运用余弦定理求出 ，即 ，再运用余弦定理求出 ，即 ，进而求出 ，算出 的面积 ： 解：如图在 中，中线 ，延长 至点 使得 ，连 ， ，平行四边形 中， ， ， ， 中，根据余弦定理 所以 ， 又 的面积 19．已知数列 是各项均为正数的等差数列， 和 是方程 的两根，则 求（1）数列 的通项公式； （2）数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】【试题分析】（1）依据题设求出一元二次方程的两根 ， ，借助题设 数 列 的 各 项 均 为 正 数 ， 推 出 ， ， 进 而 求 得 公 差 ；（2）运用等差数列的前 项和求出 。 解：（1）解方程 得 ， . ∵数列 的各项均为正数， ∴ ， . ∴公差 . ∴ . （2） . 20．已知数列 的前 项和公式为 ， 求（1）数列 的通项公式； （2）求使得 最小的序号 的值. 【答案】（1） ；（2） 时， 有最小值 . 【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，运用分类整合思想分别求出当 时， ； 当 时，由 得 ，进而求出 ， 又 成立，从而求出数列 的通项公式 ；（2）借助数列 的 前 项和公式为 ，依据 是正整数，求得 时， 有最小值 ： 解：（1）当 时， ； 当 时，由 得 所以 ， 又 成立， 数列 的通项公式 . （2）因为 . 又因为 是正整数，所以 时， 有最小值 . 21．已知 的周长为 ，且 . （1）求边 的长； （2）若 的面积为 ，求角 的大小. 【答案】（1）1；（2）60°． 【解析】【试题分析】（1）先依据题设运用正弦定理求得 ，再借助题设 中的周长建立方程 ，即 ，求出 ；（2）先依据 题设中的 的面积为 ，即 ，再借 助（1）中的条件 及余弦定理求得 ，进而求出 ： 解：（1）由正弦定理，得 ， ∵ ， ∴ ， . （2）∵ ， ∴ . 又 ，由余弦定理，得 ， ∴ . 点睛：解答本题的第一问时，先依据题设运用正弦定理求得 ，再借助题 设中的周长建立方程 ，即 ，求出 ；求解本题 的第二问时，先依据题设中的 的面积为 ， 求出 ，再借助（1）中的条件 及余弦定理求得 ，进而求出 ，使得问题获解。 22．如图，在某海滨城市 附近的海面上正形成台风。据气象部门检测，目前台风中心 位于城市 的南偏东 方向 的海面 处，并以 的速度向北偏西 方向移动 .如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为 ，并以 的速度 不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到 ）？ 【答案】4.1 小时． 【解析】【试题分析】先依据题设 小时后台风中心到达 点，该城市开始受到台风侵袭 ，如图 中，确定 ， ， ， ，然后 运 用 余 弦 定 理 得 到 ， 即 ， 解得 ： 解：根据题意可设 小时后台风中心到达 点， 该城市开始受到台风侵袭，如图 中， ， ， ， ， 由余弦定理得， ， 化简得 ， 解得 . 答：大约 4.1 小时后该城市开始受到台风的侵袭。 点睛：本题是一道应用型问题，旨在考查余弦定理等解三角形的工具的有关知识的综合 运用问题。求解时先依据题设 小时后台风中心到达 点，该城市开始受到台风侵袭，如 图 中，确定 ， ， ， ，然后运用 余弦定理得到 ，即 ， 解得 ，从而使得问题获解。